Най-важното от урока
Ключови изводи: Йерархията на успоредниците се определя от добавянето на свойства.
- Успоредник: Основата. Срещуположни страни са успоредни и равни, диагоналите се разполовяват.
- Правоъгълник: Успоредник + прав ъгъл. Диагоналите стават равни.
- Ромб: Успоредник + равни съседни страни. Диагоналите стават перпендикулярни и ъглополовящи.
- Квадрат: Едновременно правоъгълник и ромб. Притежава всички техни свойства.
Успоредник е четириъгълник, на който срещуположните страни са успоредни (\(AB \parallel CD\) и \(AD \parallel BC\)).
Свойства:
- Срещуположните страни са равни (\(AB = CD\), \(AD = BC\)).
- Срещуположните ъгли са равни (\(\sphericalangle A = \sphericalangle C\), \(\sphericalangle B = \sphericalangle D\)).
- Сборът на прилежащите на една страна ъгли е \(180^\circ\) (напр. \(\sphericalangle A + \sphericalangle B = 180^\circ\)).
- Диагоналите взаимно се разполовяват (ако \(AC \cap BD = O\), то \(AO = OC\) и \(BO = OD\)).
Диагоналите на успоредника ABCD се пресичат в точка О. Ако \(AO = 6 \text{ cm}\) и \(BD = 14 \text{ cm}\), намерете дължините на \(AC\) и \(BO\).
От свойството на диагоналите:
\(AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 6 = 12 \text{ cm}\).
\(BO = \frac{1}{2} \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7 \text{ cm}\).
\(AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 6 = 12 \text{ cm}\).
\(BO = \frac{1}{2} \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7 \text{ cm}\).
Един четириъгълник е успоредник, ако е изпълнено поне едно от следните условия:
- Двете двойки срещуположни страни са успоредни (определение).
- Двете двойки срещуположни страни са равни.
- Една двойка срещуположни страни са едновременно успоредни и равни.
- Диагоналите му взаимно се разполовяват.
Ако в четириъгълник \(ABCD\) е дадено, че \(AD \parallel BC\) и \(AD = BC\), то по признак 3 следва, че \(ABCD\) е успоредник.
Даден е четириъгълник \(ABCD\) с диагонали \(AC\) и \(BD\). Ако \(AC = 10 \text{ cm}\), \(BD = 8 \text{ cm}\) и те се пресичат в средата си \(O\), какъв е четириъгълникът?
Тъй като диагоналите взаимно се разполовяват, по признак 4 четириъгълникът \(ABCD\) е успоредник.
Правоъгълник е успоредник с прав ъгъл. От това следва, че всичките му ъгли са прави.
Свойства: Притежава всички свойства на успоредник, плюс едно специфично:
- Диагоналите на правоъгълника са равни (\(AC = BD\)).
Признак: Успоредник с равни диагонали е правоъгълник.
В успоредник \(ABCD\) диагоналите са \(AC = 8 \text{ cm}\) и \(BD = 8 \text{ cm}\). Трябва ли \(ABCD\) да е правоъгълник?
Да. Според признака за правоъгълник, успоредник с равни диагонали е правоъгълник.
Ромб е успоредник с две равни съседни страни. От това следва, че всичките му страни са равни.
Свойства: Притежава всички свойства на успоредник, плюс специфични:
- Всички страни са равни.
- Диагоналите са взаимно перпендикулярни (\(AC \perp BD\)).
- Диагоналите са ъглополовящи на ъглите му.
Признак: Успоредник, на който диагоналите са взаимно перпендикулярни, е ромб.
В успоредник \(ABCD\) диагоналът \(AC\) е ъглополовяща на \(\sphericalangle BAD\). Трябва ли фигурата да е ромб?
Да. Ако диагонал в успоредник е ъглополовяща, то успоредникът е ромб.
Квадрат е правоъгълник с равни съседни страни. Може да се дефинира и като ромб с прав ъгъл.
Свойства: Квадратът притежава всички свойства на успоредника, правоъгълника и ромба едновременно.
- Всички страни са равни.
- Всички ъгли са прави.
- Диагоналите са равни, взаимно перпендикулярни и са ъглополовящи на ъглите (разделят ги на ъгли по \(45^\circ\)).
Четириъгълник има равни и взаимно перпендикулярни диагонали. Каква е фигурата?
Равните диагонали го правят правоъгълник, а перпендикулярните – ромб. Фигура, която е едновременно правоъгълник и ромб, е квадрат.
Успоредник: \(P = 2(a+b)\); \(S = a \cdot h_a = b \cdot h_b\)
\(a,b\) - страни; \(h_a, h_b\) - височини към тях.
\(a,b\) - страни; \(h_a, h_b\) - височини към тях.
Правоъгълник: \(P = 2(a+b)\); \(S = a \cdot b\)
Ромб: \(P = 4a\); \(S = a \cdot h = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\)
\(a\) - страна; \(h\) - височина; \(d_1, d_2\) - диагонали.
\(a\) - страна; \(h\) - височина; \(d_1, d_2\) - диагонали.
Квадрат: \(P = 4a\); \(S = a^2 = \frac{d^2}{2}\)
\(a\) - страна; \(d\) - диагонал.
\(a\) - страна; \(d\) - диагонал.
Намерете лицето на ромб с диагонали 10 cm и 12 cm.
\(S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{10 \cdot 12}{2} = \frac{120}{2} = 60 \text{ cm}^2\).
Задачи за упражнение
Лесна: В ромб \(ABCD\), \(\sphericalangle ABC = 140^\circ\). Намерете ъглите на \(\triangle ABO\), където \(O\) е пресечната точка на диагоналите.
\(\sphericalangle AOB = 90^\circ\) (свойство на ромба).
\(\sphericalangle DAB = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\).
\(AC\) е ъглополовяща, затова \(\sphericalangle OAB = \frac{1}{2} \sphericalangle DAB = \frac{1}{2} \cdot 40^\circ = 20^\circ\).
\(\sphericalangle ABO = 180^\circ - 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ\).
Отговор: Ъглите са \(90^\circ, 70^\circ, 20^\circ\).
\(\sphericalangle DAB = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\).
\(AC\) е ъглополовяща, затова \(\sphericalangle OAB = \frac{1}{2} \sphericalangle DAB = \frac{1}{2} \cdot 40^\circ = 20^\circ\).
\(\sphericalangle ABO = 180^\circ - 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ\).
Отговор: Ъглите са \(90^\circ, 70^\circ, 20^\circ\).
Средна: Периметърът на успоредник е 48 cm. Едната му страна е с 4 cm по-дълга от другата. Намерете дължините на страните.
Нека едната страна е \(a\), а другата \(b = a+4\).
Периметърът е \(P = 2(a+b) = 2(a + a+4) = 48\).
\(2(2a+4) = 48 \Rightarrow 4a + 8 = 48 \Rightarrow 4a = 40 \Rightarrow a = 10 \text{ cm}\).
Другата страна е \(b = 10 + 4 = 14 \text{ cm}\).
Отговор: Страните са 10 cm и 14 cm.
Периметърът е \(P = 2(a+b) = 2(a + a+4) = 48\).
\(2(2a+4) = 48 \Rightarrow 4a + 8 = 48 \Rightarrow 4a = 40 \Rightarrow a = 10 \text{ cm}\).
Другата страна е \(b = 10 + 4 = 14 \text{ cm}\).
Отговор: Страните са 10 cm и 14 cm.
Трудна: В успоредника \(ABCD\) ъглополовящата на \(\sphericalangle A\) пресича страната \(CD\) в точка \(M\). Ако \(AD=7 \text{ cm}\) и \(CM=3 \text{ cm}\), намерете периметъра на успоредника.
Нека \(\sphericalangle DAM = \sphericalangle MAB = \alpha\).
Тъй като \(AB \parallel CD\), то \(\sphericalangle DMA = \sphericalangle MAB = \alpha\) (като кръстни ъгли).
Следователно в \(\triangle ADM\) ъглите при основата AM са равни (\(\sphericalangle DAM = \sphericalangle DMA = \alpha\)), което означава, че \(\triangle ADM\) е равнобедрен.
\(\Rightarrow DM = AD = 7 \text{ cm}\).
Цялата страна \(CD = DM + MC = 7 + 3 = 10 \text{ cm}\).
Страните на успоредника са \(AD = 7 \text{ cm}\) и \(CD = 10 \text{ cm}\).
Периметърът е \(P = 2(AD + CD) = 2(7 + 10) = 2 \cdot 17 = 34 \text{ cm}\).
Тъй като \(AB \parallel CD\), то \(\sphericalangle DMA = \sphericalangle MAB = \alpha\) (като кръстни ъгли).
Следователно в \(\triangle ADM\) ъглите при основата AM са равни (\(\sphericalangle DAM = \sphericalangle DMA = \alpha\)), което означава, че \(\triangle ADM\) е равнобедрен.
\(\Rightarrow DM = AD = 7 \text{ cm}\).
Цялата страна \(CD = DM + MC = 7 + 3 = 10 \text{ cm}\).
Страните на успоредника са \(AD = 7 \text{ cm}\) и \(CD = 10 \text{ cm}\).
Периметърът е \(P = 2(AD + CD) = 2(7 + 10) = 2 \cdot 17 = 34 \text{ cm}\).
