Най-важното от урока
Алгебра:
- Квадратни уравнения: Решават се чрез дискриминанта (\(D = b^2 - 4ac\)). Знаците на корените се анализират бързо с помощта на формулите на Виет.
- Биквадратни уравнения: Свеждат се до квадратни чрез полагане \(y = x^2\).
- Рационални изрази: Винаги се започва с определяне на дефиниционно множество (знаменател \(\neq 0\)), преди да се пристъпи към решаване или съкращаване.
- Средна отсечка: Свързва средите на две страни. Винаги е успоредна на основата (или основите) и зависи пропорционално от нейната дължина.
- Ъгли и окръжности: Мярката на ъглите е пряко свързана с отсечените дъги (централният е равен на дъгата, вписаният и периферният – на половината).
- Вписан четириъгълник: Сборът от срещуположните му ъгли е винаги точно \(180^\circ\).
Средна отсечка е отсечка, която свързва средите на две от страните на триъгълника. Тя е успоредна на третата страна и равна на половината от нейната дължина.
Ако M и N са среди съответно на AC и BC в \(\Delta ABC\), то:
\[ MN \parallel AB \quad \text{и} \quad MN = \frac{1}{2}AB \]
В \(\Delta ABC\), страната \(AB = 14\) см. Ако MN е средна отсечка, успоредна на AB, то \(MN = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7\) см.
Страните на триъгълник са 6 см, 8 см и 10 см. Намерете периметъра на триъгълника, образуван от средните отсечки.
Страните на новия триъгълник ще са \( \frac{6}{2}=3 \) см, \( \frac{8}{2}=4 \) см и \( \frac{10}{2}=5 \) см.
Периметърът е \(3 + 4 + 5 = 12\) см.
Периметърът е \(3 + 4 + 5 = 12\) см.
Средна отсечка в трапец е отсечката, която свързва средите на двете бедра. Тя е успоредна на основите и е равна на полусбора от дължините им.
Ако трапецът ABCD има основи AB и CD, а MN е средната му отсечка:
\[ MN = \frac{AB + CD}{2} \]
В трапец с основи 10 см и 6 см, средната отсечка е с дължина \( \frac{10 + 6}{2} = \frac{16}{2} = 8 \) см.
Средната отсечка на трапец е 12 см, а едната му основа е 9 см. Намерете другата основа.
Нека основите са \(a\) и \(b\). Имаме \( \frac{a+b}{2} = 12 \).
\( \frac{9+b}{2} = 12 \Rightarrow 9+b = 24 \Rightarrow b = 15 \) см.
\( \frac{9+b}{2} = 12 \Rightarrow 9+b = 24 \Rightarrow b = 15 \) см.
Квадратно уравнение е уравнение от вида \(ax^2 + bx + c = 0\), където \(a \ne 0\). Решенията му (корените) се намират чрез дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\).
- Ако \(D > 0\), има два различни реални корена: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).
- Ако \(D = 0\), има един двоен реален корен: \( x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a} \).
- Ако \(D < 0\), няма реални корени.
За уравнението \(2x^2 - 5x + 3 = 0\):
\(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1\).
Тъй като \(D > 0\), има два корена:
\(x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 1}{4}\).
\(x_1 = \frac{6}{4} = 1.5\), \(x_2 = \frac{4}{4} = 1\).
\(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1\).
Тъй като \(D > 0\), има два корена:
\(x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 1}{4}\).
\(x_1 = \frac{6}{4} = 1.5\), \(x_2 = \frac{4}{4} = 1\).
Намерете броя на реалните корени на уравнението \(x^2 + 4x + 4 = 0\).
\(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0\).
Уравнението има един двоен реален корен.
Уравнението има един двоен реален корен.
Ако \(x_1\) и \(x_2\) са корените на квадратното уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\), тогава връзката между тях и коефициентите се описва от формулите на Виет.
Сума на корените: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \)
Произведение на корените: \( x_1 x_2 = \frac{c}{a} \)
Произведение на корените: \( x_1 x_2 = \frac{c}{a} \)
За уравнението \(2x^2 - 5x + 3 = 0\), без да го решаваме, намираме:
Сума: \(x_1 + x_2 = - \frac{-5}{2} = \frac{5}{2}\).
Произведение: \(x_1 x_2 = \frac{3}{2}\).
Сума: \(x_1 + x_2 = - \frac{-5}{2} = \frac{5}{2}\).
Произведение: \(x_1 x_2 = \frac{3}{2}\).
Без да решавате уравнението \(x^2 - 7x + 10 = 0\), намерете стойността на израза \( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} \).
\( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1x_2} \).
От формулите на Виет: \(x_1+x_2 = 7\) и \(x_1x_2 = 10\).
Стойността на израза е \( \frac{7}{10} \).
От формулите на Виет: \(x_1+x_2 = 7\) и \(x_1x_2 = 10\).
Стойността на израза е \( \frac{7}{10} \).
Ако квадратният тричлен \(ax^2 + bx + c\) има реални корени \(x_1\) и \(x_2\), той може да бъде разложен на линейни множители.
\[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \]
Да разложим \(2x^2 - 5x + 3\). Корените са \(x_1 = 1.5\) и \(x_2 = 1\).
Разлагането е: \(2(x - 1.5)(x - 1) = (2x - 3)(x-1)\).
Разлагането е: \(2(x - 1.5)(x - 1) = (2x - 3)(x-1)\).
Разложете на множители тричлена \(x^2 - 4x - 5\).
Корените на \(x^2 - 4x - 5 = 0\) са \(x_1 = 5\) и \(x_2 = -1\).
Разлагането е: \(1(x - 5)(x - (-1)) = (x-5)(x+1)\).
Разлагането е: \(1(x - 5)(x - (-1)) = (x-5)(x+1)\).
Централен ъгъл е ъгъл с връх в центъра на окръжността. Мярката му е равна на мярката на съответната дъга. \(\angle AOB = \widehat{AB}\).
Вписан ъгъл е ъгъл с връх върху окръжността, чиито рамене я пресичат. Мярката му е равна на половината от мярката на съответната дъга. \(\angle ACB = \frac{1}{2}\widehat{AB}\).
Всеки вписан ъгъл е равен на половината от централния ъгъл, отсичащ същата дъга.
Ако дъгата \(\widehat{AB}\) е \(80^\circ\), то централният \(\angle AOB = 80^\circ\), а всеки вписан ъгъл, който отсича тази дъга, е \(\frac{80^\circ}{2} = 40^\circ\).
Вписан ъгъл е \(35^\circ\). Колко градуса е централният ъгъл, отсичащ същата дъга?
Централният ъгъл е два пъти по-голям от вписания.
\(2 \cdot 35^\circ = 70^\circ\).
\(2 \cdot 35^\circ = 70^\circ\).
Ъгъл с връх вътре в окръжността, образуван от две пресичащи се хорди, е равен на полусбора на дъгите, заключени между раменете му и техните продължения.
\[ \angle AMB = \frac{1}{2} (\widehat{AB} + \widehat{CD}) \]
Ъгъл с връх извън окръжността, образуван от две секущи, е равен на полуразликата на отсечените от тях дъги.
\[ \angle M = \frac{1}{2} (\widehat{BD} - \widehat{AC}) \]
Две хорди се пресичат в окръжност и отсичат дъги от \(40^\circ\) и \(100^\circ\). Намерете острия ъгъл между хордите.
Единият ъгъл е \(\frac{40^\circ + 100^\circ}{2} = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ\). Това е остър ъгъл.
Четириъгълник е вписан в окръжност, ако всичките му върхове лежат на окръжността.
Четириъгълник може да се впише в окръжност тогава и само тогава, когато сборът на срещуположните му ъгли е \(180^\circ\).
\[ \angle A + \angle C = 180^\circ \]
\[ \angle B + \angle D = 180^\circ \]
Ако в четириъгълник ABCD \(\angle A = 70^\circ\) и \(\angle C = 110^\circ\), а \(\angle B = 100^\circ\), тогава \(\angle D = 360^\circ - (70+110+100) = 80^\circ\). Тъй като \(70+110=180^\circ\) и \(100+80=180^\circ\), четириъгълникът може да се впише в окръжност.
Във вписан четириъгълник ABCD ъгъл A е два пъти по-голям от ъгъл C. Намерете мерките на двата ъгъла.
Нека \(\angle C = x\). Тогава \(\angle A = 2x\).
От свойството \(\angle A + \angle C = 180^\circ\) имаме \(2x + x = 180^\circ\).
\(3x = 180^\circ \Rightarrow x = 60^\circ\).
Следователно \(\angle C = 60^\circ\) и \(\angle A = 120^\circ\).
От свойството \(\angle A + \angle C = 180^\circ\) имаме \(2x + x = 180^\circ\).
\(3x = 180^\circ \Rightarrow x = 60^\circ\).
Следователно \(\angle C = 60^\circ\) и \(\angle A = 120^\circ\).
Дробно уравнение е уравнение, в което неизвестното участва в знаменател. Ключова стъпка е намирането на дефиниционното множество (ДМ) - стойностите, за които знаменателите не са нула.
Намерете ДМ, като приравните всеки знаменател на нула и изключите получените стойности.
Приведете под общ знаменател или умножете двете страни на уравнението с най-малкия общ знаменател, за да се освободите от дробите.
Решете полученото уравнение (линейно, квадратно и т.н.).
Проверете дали получените корени принадлежат на ДМ. Корени, които не са в ДМ, са "чужди" и се отхвърлят.
Да решим \( \frac{x^2}{x-2} = \frac{4}{x-2} \).
1. ДМ: \(x-2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 2\).
2. Умножаваме по \(x-2\): \(x^2 = 4\).
3. Решенията са \(x_1 = 2\) и \(x_2 = -2\).
4. Проверка: \(x_1 = 2\) не принадлежи на ДМ, затова е чужд корен. \(x_2 = -2\) принадлежи на ДМ.
Единственото решение е \(x = -2\).
1. ДМ: \(x-2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 2\).
2. Умножаваме по \(x-2\): \(x^2 = 4\).
3. Решенията са \(x_1 = 2\) и \(x_2 = -2\).
4. Проверка: \(x_1 = 2\) не принадлежи на ДМ, затова е чужд корен. \(x_2 = -2\) принадлежи на ДМ.
Единственото решение е \(x = -2\).
Решете уравнението \( \frac{3}{x} + x = 4 \).
ДМ: \(x \ne 0\).
Умножаваме по \(x\): \(3 + x^2 = 4x\).
Получаваме квадратното уравнение \(x^2 - 4x + 3 = 0\).
Корените са \(x_1=1\) и \(x_2=3\).
И двата корена са в ДМ, следователно са решения.
Умножаваме по \(x\): \(3 + x^2 = 4x\).
Получаваме квадратното уравнение \(x^2 - 4x + 3 = 0\).
Корените са \(x_1=1\) и \(x_2=3\).
И двата корена са в ДМ, следователно са решения.
Задачи за упражнение
Лесна: Даден е трапец с основи 15 см и 7 см. Бедрата му са 6 см и 8 см. Намерете дължината на средната отсечка и периметъра на трапеца.
Средна отсечка: \(m = \frac{15+7}{2} = \frac{22}{2} = 11\) см.
Периметър: \(P = 15+7+6+8 = 36\) см.
Периметър: \(P = 15+7+6+8 = 36\) см.
Средна: За кои стойности на параметъра \(k\) уравнението \(x^2 + kx + 9 = 0\) има точно един реален корен?
За да има уравнението един реален корен, дискриминантата трябва да е равна на нула (\(D=0\)).
\(D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = k^2 - 36\).
\(k^2 - 36 = 0 \Rightarrow k^2 = 36\).
Следователно \(k = 6\) или \(k = -6\).
\(D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = k^2 - 36\).
\(k^2 - 36 = 0 \Rightarrow k^2 = 36\).
Следователно \(k = 6\) или \(k = -6\).
Средна: Дъгата \(\widehat{AC}\) в една окръжност е \(100^\circ\). Точка B лежи на тази дъга. Върху голямата дъга \(\widehat{AC}\) е избрана точка D. Намерете \(\angle ABC\) и \(\angle ADC\).
\(\angle ADC\) е вписан и отсича малката дъга \(\widehat{AC} = 100^\circ\). Следователно \(\angle ADC = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ\).
Голямата дъга \(\widehat{AС}\) е \(360^\circ - 100^\circ = 260^\circ\).
\(\angle ABC\) е вписан и отсича голямата дъга \(\widehat{AC}\). Следователно \(\angle ABC = \frac{260^\circ}{2} = 130^\circ\).
Проверка: ABCD е вписан четириъгълник, затова \(\angle ADC + \angle ABC = 50^\circ + 130^\circ = 180^\circ\).
Голямата дъга \(\widehat{AС}\) е \(360^\circ - 100^\circ = 260^\circ\).
\(\angle ABC\) е вписан и отсича голямата дъга \(\widehat{AC}\). Следователно \(\angle ABC = \frac{260^\circ}{2} = 130^\circ\).
Проверка: ABCD е вписан четириъгълник, затова \(\angle ADC + \angle ABC = 50^\circ + 130^\circ = 180^\circ\).
Трудна: Решете уравнението: \(\frac{x}{x+3} - \frac{x-1}{x-3} = \frac{x-11}{x^2-9}\).
Знаменателят \(x^2-9\) се разлага като \((x-3)(x+3)\).
Дефиниционно множество: \(x \ne 3\) и \(x \ne -3\).
Привеждаме под общ знаменател \((x-3)(x+3)\):
\(x(x-3) - (x-1)(x+3) = x-11\)
\((x^2-3x) - (x^2+3x-x-3) = x-11\)
\(x^2-3x - (x^2+2x-3) = x-11\)
\(x^2-3x-x^2-2x+3 = x-11\)
\(-5x + 3 = x - 11\)
\(14 = 6x \Rightarrow x = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}\).
Решението \(\frac{7}{3}\) принадлежи на ДМ.
Дефиниционно множество: \(x \ne 3\) и \(x \ne -3\).
Привеждаме под общ знаменател \((x-3)(x+3)\):
\(x(x-3) - (x-1)(x+3) = x-11\)
\((x^2-3x) - (x^2+3x-x-3) = x-11\)
\(x^2-3x - (x^2+2x-3) = x-11\)
\(x^2-3x-x^2-2x+3 = x-11\)
\(-5x + 3 = x - 11\)
\(14 = 6x \Rightarrow x = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}\).
Решението \(\frac{7}{3}\) принадлежи на ДМ.
