Най-важното от урока
Метод на заместването: Най-универсален. Изразете една променлива от едното уравнение (обикновено линейното) и я заместете в другото.
Метод на разлагане: Ефективен, ако едно от уравненията е хомогенно (\(ax^2+bxy+cy^2=0\)). Разложете го на линейни множители, за да получите по-прости системи.
Метод на събирането: Подходящ, когато можете лесно да елиминирате променлива или член, като съберете или извадите уравненията (понякога след умножение с число).
Винаги проверявайте кой метод е най-подходящ за структурата на дадената система.
Метод на разлагане: Ефективен, ако едно от уравненията е хомогенно (\(ax^2+bxy+cy^2=0\)). Разложете го на линейни множители, за да получите по-прости системи.
Метод на събирането: Подходящ, когато можете лесно да елиминирате променлива или член, като съберете или извадите уравненията (понякога след умножение с число).
Винаги проверявайте кой метод е най-подходящ за структурата на дадената система.
От едно от уравненията (обикновено по-простото) изразете едната променлива чрез другата (например \(y\) чрез \(x\)).
Заместете получения израз в другото уравнение. Така ще получите уравнение само с една променлива (например само с \(x\)).
Решете полученото уравнение. Намерените стойности са решенията за тази променлива (\(x_1, x_2, \dots\)).
За всяко намерено решение за първата променлива, намерете съответната стойност на втората, като се върнете към израза от Стъпка 1.
Да решим системата: \( \begin{cases} y - 2x + 1 = 0 \\ 3x^2 - xy = 2y + x - 1 \end{cases} \)
1. От първото уравнение изразяваме \(y\): \(y = 2x - 1\).
2. Заместваме във второто: \(3x^2 - x(2x - 1) = 2(2x - 1) + x - 1\).
3. Решаваме уравнението за \(x\): \(x^2 - 4x + 3 = 0\), което има корени \(x_1 = 1\) и \(x_2 = 3\).
4. Намираме съответните \(y\) стойности:
За \(x_1 = 1 \Rightarrow y_1 = 2(1) - 1 = 1\). Решение: \((1; 1)\).
За \(x_2 = 3 \Rightarrow y_2 = 2(3) - 1 = 5\). Решение: \((3; 5)\).
1. От първото уравнение изразяваме \(y\): \(y = 2x - 1\).
2. Заместваме във второто: \(3x^2 - x(2x - 1) = 2(2x - 1) + x - 1\).
3. Решаваме уравнението за \(x\): \(x^2 - 4x + 3 = 0\), което има корени \(x_1 = 1\) и \(x_2 = 3\).
4. Намираме съответните \(y\) стойности:
За \(x_1 = 1 \Rightarrow y_1 = 2(1) - 1 = 1\). Решение: \((1; 1)\).
За \(x_2 = 3 \Rightarrow y_2 = 2(3) - 1 = 5\). Решение: \((3; 5)\).
Решете системата \( \begin{cases} x - y = 2 \\ x^2 - 2y = 5 \end{cases} \) чрез заместване.
1. От първото уравнение: \(x = y + 2\).
2. Заместваме във второто: \((y + 2)^2 - 2y = 5\).
3. Решаваме: \(y^2 + 4y + 4 - 2y = 5 \Rightarrow y^2 + 2y - 1 = 0\). Корените са \(y_{1,2} = -1 \pm \sqrt{2}\).
4. Намираме \(x\):
За \(y_1 = -1 + \sqrt{2} \Rightarrow x_1 = (-1 + \sqrt{2}) + 2 = 1 + \sqrt{2}\).
За \(y_2 = -1 - \sqrt{2} \Rightarrow x_2 = (-1 - \sqrt{2}) + 2 = 1 - \sqrt{2}\).
Решения: \((1+\sqrt{2}; -1+\sqrt{2})\) и \((1-\sqrt{2}; -1-\sqrt{2})\).
2. Заместваме във второто: \((y + 2)^2 - 2y = 5\).
3. Решаваме: \(y^2 + 4y + 4 - 2y = 5 \Rightarrow y^2 + 2y - 1 = 0\). Корените са \(y_{1,2} = -1 \pm \sqrt{2}\).
4. Намираме \(x\):
За \(y_1 = -1 + \sqrt{2} \Rightarrow x_1 = (-1 + \sqrt{2}) + 2 = 1 + \sqrt{2}\).
За \(y_2 = -1 - \sqrt{2} \Rightarrow x_2 = (-1 - \sqrt{2}) + 2 = 1 - \sqrt{2}\).
Решения: \((1+\sqrt{2}; -1+\sqrt{2})\) и \((1-\sqrt{2}; -1-\sqrt{2})\).
Този метод е удобен, когато едно от уравненията е хомогенно от втора степен, т.е. от вида \(ax^2 + bxy + cy^2 = 0\).
Разложете хомогенното уравнение на множители. Обикновено се получава израз от вида \((k_1x + l_1y)(k_2x + l_2y) = 0\).
Това разлагане води до две линейни зависимости между \(x\) и \(y\). Например, \(k_1x + l_1y = 0\) и \(k_2x + l_2y = 0\).
Решете две отделни системи, като всяка се състои от една от тези линейни зависимости и другото (нехомогенното) уравнение от първоначалната система.
Да решим системата: \( \begin{cases} 2x^2 - 5xy + 3y^2 = 0 \\ 4x^2 - 6xy + y^2 = 9 \end{cases} \)
1. Разлагаме първото уравнение: \((x - y)(2x - 3y) = 0\).
2. Получаваме две възможности: \(x - y = 0 \Rightarrow x = y\) или \(2x - 3y = 0 \Rightarrow y = \frac{2}{3}x\).
3. Разглеждаме два случая:
Случай I: \(x=y\). Заместваме във второто уравнение: \(4x^2 - 6x(x) + x^2 = 9 \Rightarrow -x^2=9\). Няма реални решения.
Случай II: \(y=\frac{2}{3}x\). Заместваме във второто уравнение: \(4x^2 - 6x(\frac{2}{3}x) + (\frac{2}{3}x)^2 = 9 \Rightarrow \frac{4}{9}x^2=9 \Rightarrow x^2 = \frac{81}{4}\), откъдето \(x_1 = \frac{9}{2}, x_2 = -\frac{9}{2}\). Намираме \(y_1 = 3, y_2 = -3\).
Решения: \((\frac{9}{2}; 3)\) и \((-\frac{9}{2}; -3)\).
1. Разлагаме първото уравнение: \((x - y)(2x - 3y) = 0\).
2. Получаваме две възможности: \(x - y = 0 \Rightarrow x = y\) или \(2x - 3y = 0 \Rightarrow y = \frac{2}{3}x\).
3. Разглеждаме два случая:
Случай I: \(x=y\). Заместваме във второто уравнение: \(4x^2 - 6x(x) + x^2 = 9 \Rightarrow -x^2=9\). Няма реални решения.
Случай II: \(y=\frac{2}{3}x\). Заместваме във второто уравнение: \(4x^2 - 6x(\frac{2}{3}x) + (\frac{2}{3}x)^2 = 9 \Rightarrow \frac{4}{9}x^2=9 \Rightarrow x^2 = \frac{81}{4}\), откъдето \(x_1 = \frac{9}{2}, x_2 = -\frac{9}{2}\). Намираме \(y_1 = 3, y_2 = -3\).
Решения: \((\frac{9}{2}; 3)\) и \((-\frac{9}{2}; -3)\).
Решете системата \( \begin{cases} x^2 - 3xy + 2y^2 = 0 \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases} \) чрез разлагане.
1. Разлагаме първото уравнение: \((x - y)(x - 2y) = 0\).
2. Получаваме \(x=y\) или \(x=2y\).
3. Случай I: \(x=y\). Заместваме във второто уравнение: \(y^2+y^2=10 \Rightarrow 2y^2=10 \Rightarrow y^2=5 \Rightarrow y=\pm\sqrt{5}\). Решения: \((\sqrt{5}; \sqrt{5})\) и \((-\sqrt{5}; -\sqrt{5})\).
4. Случай II: \(x=2y\). Заместваме във второто: \((2y)^2+y^2=10 \Rightarrow 5y^2=10 \Rightarrow y^2=2 \Rightarrow y=\pm\sqrt{2}\). Решения: \((2\sqrt{2}; \sqrt{2})\) и \((-2\sqrt{2}; -\sqrt{2})\).
2. Получаваме \(x=y\) или \(x=2y\).
3. Случай I: \(x=y\). Заместваме във второто уравнение: \(y^2+y^2=10 \Rightarrow 2y^2=10 \Rightarrow y^2=5 \Rightarrow y=\pm\sqrt{5}\). Решения: \((\sqrt{5}; \sqrt{5})\) и \((-\sqrt{5}; -\sqrt{5})\).
4. Случай II: \(x=2y\). Заместваме във второто: \((2y)^2+y^2=10 \Rightarrow 5y^2=10 \Rightarrow y^2=2 \Rightarrow y=\pm\sqrt{2}\). Решения: \((2\sqrt{2}; \sqrt{2})\) и \((-2\sqrt{2}; -\sqrt{2})\).
Целта е чрез събиране или изваждане на уравненията (понякога след умножение с подходящи числа) да се елиминира една от променливите или сложен израз.
Умножете едното или двете уравнения с такива числа, че коефициентите пред една от променливите (или член като \(xy\)) да станат противоположни.
Съберете почленно двете уравнения, за да получите ново, по-просто уравнение.
Решете полученото уравнение. След това заместете намерените стойности в някое от първоначалните уравнения, за да намерите другата променлива.
Да решим системата: \( \begin{cases} xy + 3y^2 - x + 4y - 7 = 0 \\ 2xy + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0 \end{cases} \)
1. Умножаваме първото уравнение по \(-2\): \(-2xy - 6y^2 + 2x - 8y + 14 = 0\).
2. Събираме го с второто уравнение. Членовете \(2xy\) и \(-2x\) се унищожават. Получаваме: \(-5y^2 - 10y + 15 = 0\).
3. Делим на \(-5\) и решаваме: \(y^2 + 2y - 3 = 0 \Rightarrow (y+3)(y-1)=0\). Корените са \(y_1=1, y_2=-3\).
За \(y_1=1\), заместваме в едно от началните уравнения и получаваме \(0=0\), т.е. всяко \(x\) е решение. Решения: \((x; 1)\) за всяко \(x\).
За \(y_2=-3\), заместваме и получаваме \(-8x+16=0 \Rightarrow x=2\). Решение: \((2; -3)\).
1. Умножаваме първото уравнение по \(-2\): \(-2xy - 6y^2 + 2x - 8y + 14 = 0\).
2. Събираме го с второто уравнение. Членовете \(2xy\) и \(-2x\) се унищожават. Получаваме: \(-5y^2 - 10y + 15 = 0\).
3. Делим на \(-5\) и решаваме: \(y^2 + 2y - 3 = 0 \Rightarrow (y+3)(y-1)=0\). Корените са \(y_1=1, y_2=-3\).
За \(y_1=1\), заместваме в едно от началните уравнения и получаваме \(0=0\), т.е. всяко \(x\) е решение. Решения: \((x; 1)\) за всяко \(x\).
За \(y_2=-3\), заместваме и получаваме \(-8x+16=0 \Rightarrow x=2\). Решение: \((2; -3)\).
Решете системата \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ x^2 - xy = 3 \end{cases} \). (Подсказка: Тук методът не е очевиден. Опитайте да елиминирате \(x^2\)).
1. Умножаваме второто уравнение по \(-1\): \(-x^2 + xy = -3\).
2. Събираме го с първото: \((x^2+y^2)+(-x^2+xy) = 13-3 \Rightarrow y^2+xy=10\).
3. От полученото уравнение изразяваме \(x\): \(x = \frac{10-y^2}{y}\).
4. Заместваме в \(x^2+y^2=13\) и решаваме за \(y\). Това е сложен път. По-добре е да се използва друг метод за тази система, но задачата илюстрира как елиминирането може да опрости системата.
2. Събираме го с първото: \((x^2+y^2)+(-x^2+xy) = 13-3 \Rightarrow y^2+xy=10\).
3. От полученото уравнение изразяваме \(x\): \(x = \frac{10-y^2}{y}\).
4. Заместваме в \(x^2+y^2=13\) и решаваме за \(y\). Това е сложен път. По-добре е да се използва друг метод за тази система, но задачата илюстрира как елиминирането може да опрости системата.
Задачи за упражнение
Лесна: Решете чрез заместване:
\[ \begin{cases} x = y + 1 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases} \]
Заместваме \(x\) във второто уравнение: \((y+1)^2 + y^2 = 25\).
\(y^2 + 2y + 1 + y^2 = 25 \Rightarrow 2y^2 + 2y - 24 = 0 \Rightarrow y^2 + y - 12 = 0\).
Корените са \(y_1 = 3\) и \(y_2 = -4\).
За \(y_1=3 \Rightarrow x_1 = 3+1=4\).
За \(y_2=-4 \Rightarrow x_2 = -4+1=-3\).
Решения: \((4; 3)\) и \((-3; -4)\).
\(y^2 + 2y + 1 + y^2 = 25 \Rightarrow 2y^2 + 2y - 24 = 0 \Rightarrow y^2 + y - 12 = 0\).
Корените са \(y_1 = 3\) и \(y_2 = -4\).
За \(y_1=3 \Rightarrow x_1 = 3+1=4\).
За \(y_2=-4 \Rightarrow x_2 = -4+1=-3\).
Решения: \((4; 3)\) и \((-3; -4)\).
Средна: Решете чрез събиране:
\[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ x^2 - y^2 = 5 \end{cases} \]
Събираме двете уравнения: \((x^2+y^2)+(x^2-y^2)=13+5 \Rightarrow 2x^2=18 \Rightarrow x^2=9\).
Следователно \(x_1=3\) и \(x_2=-3\).
Изваждаме второто уравнение от първото: \((x^2+y^2)-(x^2-y^2)=13-5 \Rightarrow 2y^2=8 \Rightarrow y^2=4\).
Следователно \(y_1=2\) и \(y_2=-2\).
Тъй като \(x\) и \(y\) са на втора степен, всяка стойност за \(x\) може да се комбинира с всяка за \(y\). Проверяваме в оригиналните уравнения.
Решения: \((3; 2)\), \((3; -2)\), \((-3; 2)\) и \((-3; -2)\).
Следователно \(x_1=3\) и \(x_2=-3\).
Изваждаме второто уравнение от първото: \((x^2+y^2)-(x^2-y^2)=13-5 \Rightarrow 2y^2=8 \Rightarrow y^2=4\).
Следователно \(y_1=2\) и \(y_2=-2\).
Тъй като \(x\) и \(y\) са на втора степен, всяка стойност за \(x\) може да се комбинира с всяка за \(y\). Проверяваме в оригиналните уравнения.
Решения: \((3; 2)\), \((3; -2)\), \((-3; 2)\) и \((-3; -2)\).
Трудна: Решете системата:
\[ \begin{cases} x^2 + 2xy - y^2 = 7 \\ x^2 - 2xy + y^2 = 1 \end{cases} \]
Второто уравнение е формула за съкратено умножение: \((x-y)^2 = 1\).
Оттук имаме два случая:
1. \(x-y = 1 \Rightarrow x = y+1\).
2. \(x-y = -1 \Rightarrow x = y-1\).
Случай 1: \(x=y+1\). Заместваме в първото уравнение:
\((y+1)^2 + 2(y+1)y - y^2 = 7\)
\(y^2+2y+1 + 2y^2+2y - y^2 = 7\)
\(2y^2 + 4y - 6 = 0 \Rightarrow y^2+2y-3=0\).
Корените са \(y_1=1, y_2=-3\).
Съответните \(x\) са \(x_1=1+1=2\) и \(x_2=-3+1=-2\).
Получаваме решения \((2; 1)\) и \((-2; -3)\).
Случай 2: \(x=y-1\). Заместваме в първото уравнение:
\((y-1)^2 + 2(y-1)y - y^2 = 7\)
\(y^2-2y+1 + 2y^2-2y - y^2 = 7\)
\(2y^2 - 4y - 6 = 0 \Rightarrow y^2-2y-3=0\).
Корените са \(y_3=-1, y_4=3\).
Съответните \(x\) са \(x_3=-1-1=-2\) и \(x_4=3-1=2\).
Получаваме решения \((-2; -1)\) и \((2; 3)\).
Общо четири решения.
Оттук имаме два случая:
1. \(x-y = 1 \Rightarrow x = y+1\).
2. \(x-y = -1 \Rightarrow x = y-1\).
Случай 1: \(x=y+1\). Заместваме в първото уравнение:
\((y+1)^2 + 2(y+1)y - y^2 = 7\)
\(y^2+2y+1 + 2y^2+2y - y^2 = 7\)
\(2y^2 + 4y - 6 = 0 \Rightarrow y^2+2y-3=0\).
Корените са \(y_1=1, y_2=-3\).
Съответните \(x\) са \(x_1=1+1=2\) и \(x_2=-3+1=-2\).
Получаваме решения \((2; 1)\) и \((-2; -3)\).
Случай 2: \(x=y-1\). Заместваме в първото уравнение:
\((y-1)^2 + 2(y-1)y - y^2 = 7\)
\(y^2-2y+1 + 2y^2-2y - y^2 = 7\)
\(2y^2 - 4y - 6 = 0 \Rightarrow y^2-2y-3=0\).
Корените са \(y_3=-1, y_4=3\).
Съответните \(x\) са \(x_3=-1-1=-2\) и \(x_4=3-1=2\).
Получаваме решения \((-2; -1)\) и \((2; 3)\).
Общо четири решения.
