Най-важното от урока
Основно тъждество: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\). Позволява да намериш \(\sin\alpha\), ако знаеш \(\cos\alpha\), и обратно.
Тангенс и котангенс: \(\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) и \(\text{cotg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha}\). С тяхна помощ, ако знаеш \(\sin\alpha\) и \(\cos\alpha\), намираш и другите две функции.
Ключово умение: Ако знаеш стойността на една тригонометрична функция за остър ъгъл, можеш да намериш стойностите на всички останали, като използваш тези зависимости.
Тангенс и котангенс: \(\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) и \(\text{cotg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha}\). С тяхна помощ, ако знаеш \(\sin\alpha\) и \(\cos\alpha\), намираш и другите две функции.
Ключово умение: Ако знаеш стойността на една тригонометрична функция за остър ъгъл, можеш да намериш стойностите на всички останали, като използваш тези зависимости.
За всеки остър ъгъл \(\alpha\), сборът от квадратите на синус и косинус е винаги равен на 1. Това е най-важната зависимост в тригонометрията.
\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]
Оттук следва:
\[ \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} \]
\[ \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} \]
(За остър ъгъл \(\alpha\), \(\sin \alpha > 0\) и \(\cos \alpha > 0\))
Ако \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\), можем да намерим \(\cos \alpha\):
\[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \]
\[ \cos \alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \]
Ако \(\cos \alpha = \frac{4}{5}\) за остър ъгъл \(\alpha\), намерете \(\sin \alpha\).
\[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \]
\[ \sin \alpha = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \]
Тангенс, котангенс, синус и косинус са свързани. Тангенсът е отношението \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\), а котангенсът е неговата реципрочна стойност.
\[ \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \]
\[ \text{cotg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \]
\[ \text{tg } \alpha \cdot \text{cotg } \alpha = 1 \]
Ако знаем, че \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\) и \(\cos \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}\), то:
\[ \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1/3}{2\sqrt{2}/3} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \]
\[ \text{cotg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha} = 2\sqrt{2} \]
Ако \(\sin \alpha = \frac{5}{13}\) и \(\cos \alpha = \frac{12}{13}\), намерете \(\text{tg } \alpha\).
\[ \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12} \]
Основните тригонометрични тъждества се използват за опростяване на по-сложни изрази или за доказване на равенства.
Заместете \(\text{tg } \alpha\) и \(\text{cotg } \alpha\) с техните изрази чрез \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\).
Търсете възможности за прилагане на \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\).
Използвайте алгебрични преобразувания (изнасяне на общ множител, формули за съкратено умножение и др.).
Докажете тъждеството: \(1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}\)
Решение: \[ 1 + \text{tg}^2 \alpha = 1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \]
Решение: \[ 1 + \text{tg}^2 \alpha = 1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \]
Опростете израза: \( \text{tg}^2 \alpha (1 - \sin^2 \alpha) \).
Тъй като \(1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha\), изразът става:
\[ \text{tg}^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \]
Задачи за упражнение
Лесна: Опростете израза \(\cos \alpha \cdot \text{tg } \alpha\).
\[ \cos \alpha \cdot \text{tg } \alpha = \cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \sin \alpha \]
Средна: Ако \(\text{tg } \alpha = 3\) и \(\alpha\) е остър ъгъл, намерете стойностите на \(\sin \alpha\), \(\cos \alpha\) и \(\text{cotg } \alpha\).
1. Намираме \(\text{cotg } \alpha\):
\[ \text{cotg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha} = \frac{1}{3} \]
2. Изразяваме \(\sin \alpha\) чрез \(\cos \alpha\):
\[ \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \implies 3 = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \implies \sin \alpha = 3 \cos \alpha \]
3. Заместваме в основното тъждество:
\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]
\[ (3 \cos \alpha)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \]
\[ 9 \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]
\[ 10 \cos^2 \alpha = 1 \implies \cos^2 \alpha = \frac{1}{10} \implies \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10} \]
4. Намираме \(\sin \alpha\):
\[ \sin \alpha = 3 \cos \alpha = 3 \cdot \frac{\sqrt{10}}{10} = \frac{3\sqrt{10}}{10} \]
Трудна: Докажете тъждеството \(\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = 2\sin^2 \alpha - 1\).
Разлагаме лявата страна по формулата за разлика на квадрати \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\):
\[ \sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha)^2 - (\cos^2 \alpha)^2 = (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) \]
Знаем, че \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), следователно:
\[ (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) \cdot 1 = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha \]
От основното тъждество изразяваме \(\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha\) и заместваме:
\[ \sin^2 \alpha - (1 - \sin^2 \alpha) = \sin^2 \alpha - 1 + \sin^2 \alpha = 2\sin^2 \alpha - 1 \]
Лявата страна е равна на дясната.
