Най-важното от урока
Определение: Два триъгълника са подобни (\( \sim \)), ако имат равни ъгли и пропорционални страни.
Коефициент на подобие (\(k\)): Отношението на съответните страни. Пример: ако \(a=6\) и \(a_1=2\), то \(k = \frac{6}{2}=3\).
Периметри: Отношението на периметрите е равно на коефициента на подобие \( \frac{P}{P_1} = k \).
Коефициент на подобие (\(k\)): Отношението на съответните страни. Пример: ако \(a=6\) и \(a_1=2\), то \(k = \frac{6}{2}=3\).
Периметри: Отношението на периметрите е равно на коефициента на подобие \( \frac{P}{P_1} = k \).
Два триъгълника се наричат подобни, ако имат съответно равни ъгли и съответно пропорционални страни.
Подобието се означава със символа \( \sim \). Записът \( \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \) означава, че:
- Съответни ъгли са равни: \( \angle A = \angle A_1, \angle B = \angle B_1, \angle C = \angle C_1 \)
- Съответни страни са пропорционални: \( \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{CA}{C_1A_1} \)
Редът на изписване на върховете е важен, защото показва кои ъгли и страни са съответни.
Дадено е, че \( \triangle MNK \sim \triangle PQR \). Кой ъгъл е равен на \( \angle K \)? Коя страна е съответна на \( MN \)?
От реда на върховете следва, че:
Ъгъл: \( \angle K \) е съответен и равен на \( \angle R \).
Страна: \( MN \) е съответна на \( PQ \).
Ъгъл: \( \angle K \) е съответен и равен на \( \angle R \).
Страна: \( MN \) е съответна на \( PQ \).
Числото \(k\), равно на отношението на дължините на съответните страни на два подобни триъгълника, се нарича коефициент на подобие.
\[ k = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{CA}{C_1A_1} \]
Ако \( \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \) и страната \( AB = 15 \) cm, а съответната ѝ страна \( A_1B_1 = 5 \) cm, то коефициентът на подобие \( k \) е:
\[ k = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{15}{5} = 3 \]
\( \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \) с коефициент на подобие \( k=4 \). Ако \( B_1C_1 = 2 \) cm, намерете дължината на страната \(BC\).
От \( \frac{BC}{B_1C_1} = k \) следва \( \frac{BC}{2} = 4 \).
\( BC = 4 \cdot 2 = 8 \) cm.
\( BC = 4 \cdot 2 = 8 \) cm.
Отношението на периметрите на два подобни триъгълника е равно на коефициента на подобие.
\[ \frac{P_{ABC}}{P_{A_1B_1C_1}} = k \]
Дадено е \( \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \) с \( k = 2 \). Ако периметърът на \( \triangle A_1B_1C_1 \) е \( P_1 = 18 \) cm, то периметърът на \( \triangle ABC \) е:
\[ P = k \cdot P_1 = 2 \cdot 18 = 36 \text{ cm} \]
Периметрите на два подобни триъгълника са \( P = 24 \) cm и \( P_1 = 96 \) cm. Намерете коефициента на подобие на \( \triangle ABC \) спрямо \( \triangle A_1B_1C_1 \).
\( k = \frac{P}{P_1} = \frac{24}{96} = \frac{1}{4} \).
Задачи за упражнение
Лесна: Дадено е, че \( \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \). Ако \( AB = 10 \) cm, \( BC = 14 \) cm и \( A_1B_1 = 5 \) cm, намерете дължината на страната \( B_1C_1 \).
Първо намираме коефициента на подобие: \( k = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{10}{5} = 2 \).
От \( \frac{BC}{B_1C_1} = k \) следва \( \frac{14}{B_1C_1} = 2 \).
\( B_1C_1 = \frac{14}{2} = 7 \) cm.
От \( \frac{BC}{B_1C_1} = k \) следва \( \frac{14}{B_1C_1} = 2 \).
\( B_1C_1 = \frac{14}{2} = 7 \) cm.
Средна: \( \triangle ABC \) има страни 5 cm, 7 cm и 8 cm. Подобният му \( \triangle A_1B_1C_1 \) има периметър 40 cm. Намерете дължините на страните на \( \triangle A_1B_1C_1 \).
1. Намираме периметъра на \( \triangle ABC \): \( P = 5 + 7 + 8 = 20 \) cm.
2. Намираме коефициента на подобие: \( k = \frac{P_1}{P} = \frac{40}{20} = 2 \).
3. Намираме страните на \( \triangle A_1B_1C_1 \), като умножим страните на \( \triangle ABC \) по \( k \):
\( a_1 = k \cdot a = 2 \cdot 5 = 10 \) cm
\( b_1 = k \cdot b = 2 \cdot 7 = 14 \) cm
\( c_1 = k \cdot c = 2 \cdot 8 = 16 \) cm
2. Намираме коефициента на подобие: \( k = \frac{P_1}{P} = \frac{40}{20} = 2 \).
3. Намираме страните на \( \triangle A_1B_1C_1 \), като умножим страните на \( \triangle ABC \) по \( k \):
\( a_1 = k \cdot a = 2 \cdot 5 = 10 \) cm
\( b_1 = k \cdot b = 2 \cdot 7 = 14 \) cm
\( c_1 = k \cdot c = 2 \cdot 8 = 16 \) cm
Трудна: Дадено е, че \( \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \) с коефициент \( k_1 = 3 \). Дадено е също, че \( \triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle A_2B_2C_2 \) с коефициент \( k_2 = \frac{1}{2} \). Ако страната \( A_2B_2 = 4 \) cm, намерете дължината на страната \( AB \).
От \( \triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle A_2B_2C_2 \) имаме \( \frac{A_1B_1}{A_2B_2} = k_2 \), т.е. \( \frac{A_1B_1}{4} = \frac{1}{2} \).
Следователно \( A_1B_1 = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \) cm.
От \( \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \) имаме \( \frac{AB}{A_1B_1} = k_1 \), т.е. \( \frac{AB}{2} = 3 \).
Следователно \( AB = 2 \cdot 3 = 6 \) cm.
Следователно \( A_1B_1 = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \) cm.
От \( \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \) имаме \( \frac{AB}{A_1B_1} = k_1 \), т.е. \( \frac{AB}{2} = 3 \).
Следователно \( AB = 2 \cdot 3 = 6 \) cm.
