Най-важното от урока
Вътрешна ъглополовяща (CL): Разделя срещуположната страна AB на части AL и LB, за които е вярно: \( \frac{AL}{LB} = \frac{AC}{BC} \).
Външна ъглополовяща (CQ): Пресича продължението на AB в точка Q, за която: \( \frac{AQ}{BQ} = \frac{AC}{BC} \).
Ключово умение: Теоремите позволяват да се състави пропорция, чрез която да се намерят неизвестни дължини на отсечки в триъгълник, свързани с ъглополовяща.
Външна ъглополовяща (CQ): Пресича продължението на AB в точка Q, за която: \( \frac{AQ}{BQ} = \frac{AC}{BC} \).
Ключово умение: Теоремите позволяват да се състави пропорция, чрез която да се намерят неизвестни дължини на отсечки в триъгълник, свързани с ъглополовяща.
Вътрешната ъглополовяща на ъгъл в триъгълник разделя срещуположната страна на отсечки, чието отношение е равно на отношението на прилежащите им страни.
За \( \triangle ABC \) с ъглополовяща CL (L \( \in AB \)):
\[ \frac{AL}{LB} = \frac{AC}{BC} \]
В \( \triangle ABC \) ъглополовящата CL разделя страната AB. Ако AC = 12 cm, BC = 8 cm и AL = 6 cm, можем да намерим LB.
От свойството \(\frac{AL}{LB} = \frac{AC}{BC}\) получаваме \(\frac{6}{LB} = \frac{12}{8}\).
\(\frac{6}{LB} = \frac{3}{2} \Rightarrow 3 \cdot LB = 12 \Rightarrow LB = 4\) cm.
От свойството \(\frac{AL}{LB} = \frac{AC}{BC}\) получаваме \(\frac{6}{LB} = \frac{12}{8}\).
\(\frac{6}{LB} = \frac{3}{2} \Rightarrow 3 \cdot LB = 12 \Rightarrow LB = 4\) cm.
В \( \triangle ABC \) ъглополовящата AL (L \( \in BC \)) разделя страната BC на отсечки BL = 3 cm и LC = 5 cm. Ако AB = 6 cm, намерете дължината на страната AC.
От теоремата за ъглополовящата имаме \(\frac{AC}{AB} = \frac{LC}{BL}\).
\(\frac{AC}{6} = \frac{5}{3} \Rightarrow 3 \cdot AC = 30 \Rightarrow AC = 10\) cm.
\(\frac{AC}{6} = \frac{5}{3} \Rightarrow 3 \cdot AC = 30 \Rightarrow AC = 10\) cm.
Ъглополовящата на външен ъгъл на триъгълник пресича продължението на срещуположната страна в точка, която дели страната външно в отношение, равно на отношението на другите две страни.
За \( \triangle ABC \) с външна ъглополовяща CQ (Q е на продължението на AB):
\[ \frac{AQ}{BQ} = \frac{AC}{BC} \]
В \( \triangle ABC \) външната ъглополовяща при върха C пресича продължението на AB в точка Q. Ако AC = 10, BC = 6 и AB = 8, можем да намерим BQ.
Нека \(BQ = x\), тогава \(AQ = AB + BQ = 8 + x\).
\(\frac{AQ}{BQ} = \frac{AC}{BC} \Rightarrow \frac{8+x}{x} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\).
\(3(8+x) = 5x \Rightarrow 24 + 3x = 5x \Rightarrow 2x = 24 \Rightarrow x = 12\).
Следователно \(BQ=12\).
Нека \(BQ = x\), тогава \(AQ = AB + BQ = 8 + x\).
\(\frac{AQ}{BQ} = \frac{AC}{BC} \Rightarrow \frac{8+x}{x} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\).
\(3(8+x) = 5x \Rightarrow 24 + 3x = 5x \Rightarrow 2x = 24 \Rightarrow x = 12\).
Следователно \(BQ=12\).
Външната ъглополовяща при върха C на \( \triangle ABC \) пресича продължението на AB в точка Q. Ако AC = 15, BC = 9 и AB = 8, намерете дължината на BQ.
Нека \(BQ = x\). Тогава \(AQ = AB + BQ = 8 + x\).
От теоремата: \(\frac{AQ}{BQ} = \frac{AC}{BC} \Rightarrow \frac{8+x}{x} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}\).
\(3(8+x) = 5x \Rightarrow 24 + 3x = 5x \Rightarrow 2x = 24 \Rightarrow x=12\).
Следователно \(BQ=12\).
От теоремата: \(\frac{AQ}{BQ} = \frac{AC}{BC} \Rightarrow \frac{8+x}{x} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}\).
\(3(8+x) = 5x \Rightarrow 24 + 3x = 5x \Rightarrow 2x = 24 \Rightarrow x=12\).
Следователно \(BQ=12\).
Ако точка L, лежаща на страната AB (или на нейното продължение), я дели в отношение, равно на отношението на другите две страни (\(\frac{AL}{BL} = \frac{AC}{BC}\)), то правата CL е съответно вътрешна (или външна) ъглополовяща на ъгъла при върха C.
В \( \triangle ABC \) страните са AC = 16 и BC = 12. Точка L лежи на AB и я разделя на отсечки AL = 8 и BL = 6. Правата CL ъглополовяща ли е на \( \angle ACB \)?
Проверяваме отношението: \(\frac{AL}{BL} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\).
Проверяваме отношението на страните: \(\frac{AC}{BC} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}\).
Тъй като \(\frac{AL}{BL} = \frac{AC}{BC}\), то CL е ъглополовяща на \( \angle ACB \).
Проверяваме отношението: \(\frac{AL}{BL} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\).
Проверяваме отношението на страните: \(\frac{AC}{BC} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}\).
Тъй като \(\frac{AL}{BL} = \frac{AC}{BC}\), то CL е ъглополовяща на \( \angle ACB \).
Даден е \( \triangle ABC \) със страни AB=10, AC=12, BC=8. Точка P е от страната AB, така че AP=6. Правата CP ъглополовяща ли е на \( \angle ACB \)?
Щом \(AP = 6\) и \(AB = 10\), то \(PB = AB - AP = 10 - 6 = 4\).
Проверяваме отношението на отсечките: \(\frac{AP}{PB} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\).
Проверяваме отношението на страните: \(\frac{AC}{BC} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}\).
Тъй като отношенията са равни, следва че CP е ъглополовяща.
Проверяваме отношението на отсечките: \(\frac{AP}{PB} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\).
Проверяваме отношението на страните: \(\frac{AC}{BC} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}\).
Тъй като отношенията са равни, следва че CP е ъглополовяща.
Задачи за упражнение
Лесна: В \( \triangle ABC \) ъглополовящата CL разделя страната AB = 21 cm на отсечка AL = 9 cm. Ако AC = 15 cm, намерете дължината на страната BC.
Първо намираме дължината на LB: \(LB = AB - AL = 21 - 9 = 12\) cm.
Прилагаме теоремата за вътрешната ъглополовяща: \(\frac{AL}{LB} = \frac{AC}{BC}\).
\(\frac{9}{12} = \frac{15}{BC} \Rightarrow \frac{3}{4} = \frac{15}{BC} \Rightarrow 3 \cdot BC = 4 \cdot 15 \Rightarrow 3 \cdot BC = 60 \Rightarrow BC = 20\) cm.
Прилагаме теоремата за вътрешната ъглополовяща: \(\frac{AL}{LB} = \frac{AC}{BC}\).
\(\frac{9}{12} = \frac{15}{BC} \Rightarrow \frac{3}{4} = \frac{15}{BC} \Rightarrow 3 \cdot BC = 4 \cdot 15 \Rightarrow 3 \cdot BC = 60 \Rightarrow BC = 20\) cm.
Средна: В \( \triangle ABC \) страните са AC = 18 cm и BC = 12 cm. Ъглополовящата на външния ъгъл при върха C пресича продължението на AB в точка Q. Ако AB = 10 cm, намерете дължината на отсечката AQ.
Нека \(BQ = x\), тогава \(AQ = AB + BQ = 10 + x\).
От теоремата за външната ъглополовяща: \(\frac{AQ}{BQ} = \frac{AC}{BC}\).
\(\frac{10+x}{x} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}\).
\(2(10+x) = 3x \Rightarrow 20 + 2x = 3x \Rightarrow x = 20\).
Тогава \(BQ = 20\) cm, а \(AQ = 10 + 20 = 30\) cm.
От теоремата за външната ъглополовяща: \(\frac{AQ}{BQ} = \frac{AC}{BC}\).
\(\frac{10+x}{x} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}\).
\(2(10+x) = 3x \Rightarrow 20 + 2x = 3x \Rightarrow x = 20\).
Тогава \(BQ = 20\) cm, а \(AQ = 10 + 20 = 30\) cm.
Трудна: В правоъгълен \( \triangle ABC \) (\(\angle C = 90^\circ\)) с катети AC = 6 cm и BC = 8 cm, ъглополовящата на \( \angle BAC \) пресича катета BC в точка L. Намерете дължините на отсечките CL и LB.
Първо намираме хипотенузата AB с Питагорова теорема: \(AB^2 = AC^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\). Следователно \(AB = 10\) cm.
Ъглополовящата AL разделя срещуположната страна BC. Според теоремата: \(\frac{CL}{LB} = \frac{AC}{AB}\).
\(\frac{CL}{LB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\).
Знаем също, че \(CL + LB = BC = 8\).
От \(\frac{CL}{LB} = \frac{3}{5}\) можем да изразим \(CL = \frac{3}{5}LB\).
Заместваме в сбора: \(\frac{3}{5}LB + LB = 8 \Rightarrow \frac{8}{5}LB = 8 \Rightarrow LB = 5\) cm.
Тогава \(CL = 8 - 5 = 3\) cm.
Ъглополовящата AL разделя срещуположната страна BC. Според теоремата: \(\frac{CL}{LB} = \frac{AC}{AB}\).
\(\frac{CL}{LB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\).
Знаем също, че \(CL + LB = BC = 8\).
От \(\frac{CL}{LB} = \frac{3}{5}\) можем да изразим \(CL = \frac{3}{5}LB\).
Заместваме в сбора: \(\frac{3}{5}LB + LB = 8 \Rightarrow \frac{8}{5}LB = 8 \Rightarrow LB = 5\) cm.
Тогава \(CL = 8 - 5 = 3\) cm.
