Най-важното от урока
- Ключът към решаването: Построяването на височината към основата \(h_c\) разделя равнобедрения триъгълник на два еднакви правоъгълни триъгълника. Всички основни изчисления произтичат от тях чрез Питагорова теорема или тригонометрия.
- Търсене на втори елементи: Височина към бедро (\(h_b\)) и радиус на вписана окръжност (\(r\)) се намират най-лесно, като първо се пресметне лицето \(S\) (\(S = \frac{b \cdot h_b}{2}\) и \(S = p \cdot r\)).
- Описана окръжност: За намиране на радиуса \(R\) най-често се използва Синусовата теорема: \(R = \frac{b}{2 \sin \alpha}\).
Основните елементи на равнобедрения \(\triangle ABC\) са: основа \(c\), бедра \(b\), ъгли при основата \(\alpha\) и ъгъл при върха \(\gamma\).
Връзката между ъглите в равнобедрен триъгълник е:
\[ 2\alpha + \gamma = 180^\circ \]
Всички задачи за намиране на елементи се свеждат до разглеждане на правоъгълния \(\triangle ADC\), получен чрез построяване на височината към основата \(CD = h_c\).
В него:
В него:
- Хипотенузата е бедрото \(b\).
- Катетите са височината \(h_c\) и половината от основата \(\frac{c}{2}\).
- Острите ъгли са \(\alpha\) и \(\frac{\gamma}{2}\).
Чрез тригонометричните функции в правоъгълния \(\triangle ADC\), основните линейни елементи се изразяват по следния начин:
Бедро (\(b\)) и Височина (\(h_c\)):
\[ \cos \alpha = \frac{\frac{c}{2}}{b} \implies b = \frac{c}{2 \cos \alpha} \]
\[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{h_c}{\frac{c}{2}} \implies h_c = \frac{c}{2} \operatorname{tg} \alpha \]
Лице (\(S\)):
\[ S = \frac{c \cdot h_c}{2} = \frac{c^2 \operatorname{tg} \alpha}{4} \]
Височината към бедрото (\(h_b\)) най-лесно се намира чрез изравняване на лицето:
\[ S = \frac{c \cdot h_c}{2} = \frac{b \cdot h_b}{2} \]
Даден е равнобедрен \(\triangle ABC\) с основа \(c = 18\) cm и \(\cos \alpha = \frac{3}{5}\). Намерете бедрото \(b\) и височината към основата \(h_c\).
От правоъгълния \(\triangle ADC\) имаме \(AD = \frac{c}{2} = \frac{18}{2} = 9\) cm.
От дефиницията за косинус: \[ \cos \alpha = \frac{AD}{AC} \implies \frac{3}{5} = \frac{9}{b} \implies b = \frac{9 \cdot 5}{3} = 15 \text{ cm} \] По Питагоровата теорема намираме \(h_c\): \[ h_c = \sqrt{b^2 - AD^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm} \]
От дефиницията за косинус: \[ \cos \alpha = \frac{AD}{AC} \implies \frac{3}{5} = \frac{9}{b} \implies b = \frac{9 \cdot 5}{3} = 15 \text{ cm} \] По Питагоровата теорема намираме \(h_c\): \[ h_c = \sqrt{b^2 - AD^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm} \]
Радиусите се намират най-лесно чрез съответните формули за лице или Синусовата теорема.
Радиус на вписана окръжност (\(r\)):
Метод 1: Чрез лицето и полупериметъра \(p\): \[ r = \frac{S}{p} \]
Метод 2: Чрез тригонометрия от центъра на окръжността (лежи на \(h_c\)): \[ r = \frac{c}{2} \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} \]
Метод 1: Чрез лицето и полупериметъра \(p\): \[ r = \frac{S}{p} \]
Метод 2: Чрез тригонометрия от центъра на окръжността (лежи на \(h_c\)): \[ r = \frac{c}{2} \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} \]
Радиус на описана окръжност (\(R\)):
Чрез Синусовата теорема за \(\triangle ABC\): \[ R = \frac{b}{2 \sin \alpha} \]
Чрез Синусовата теорема за \(\triangle ABC\): \[ R = \frac{b}{2 \sin \alpha} \]
За равнобедрен триъгълник с основа \(c = 18\), бедро \(b = 15\), височина \(h_c = 12\) и лице \(S = 108\), намерете радиуса на вписаната окръжност \(r\) и на описаната окръжност \(R\).
За \(r\):
Полупериметърът е \(p = \frac{15 + 15 + 18}{2} = 24\).
\(r = \frac{S}{p} = \frac{108}{24} = 4,5\)
За \(R\):
От \(\triangle ADC\) намираме \(\sin \alpha = \frac{h_c}{b} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}\).
\(R = \frac{b}{2 \sin \alpha} = \frac{15}{2 \cdot \frac{4}{5}} = \frac{15 \cdot 5}{8} = 9,375\)
Полупериметърът е \(p = \frac{15 + 15 + 18}{2} = 24\).
\(r = \frac{S}{p} = \frac{108}{24} = 4,5\)
За \(R\):
От \(\triangle ADC\) намираме \(\sin \alpha = \frac{h_c}{b} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}\).
\(R = \frac{b}{2 \sin \alpha} = \frac{15}{2 \cdot \frac{4}{5}} = \frac{15 \cdot 5}{8} = 9,375\)
Задачи за упражнение
Лесна: Даден е равнобедрен \(\triangle ABC\) с основа \(AB = 6\) cm и бедро \(AC = BC = 5\) cm. Намерете височината към основата \(h_c\) и лицето на триъгълника \(S\).
Построяваме височината \(h_c = CD\). В правоъгълния \(\triangle ADC\), катетът е \(AD = \frac{6}{2} = 3\) cm.
По Питагоровата теорема: \[ h_c = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \text{ cm} \]
Лицето е: \[ S = \frac{c \cdot h_c}{2} = \frac{6 \cdot 4}{2} = 12 \text{ cm}^2 \]
По Питагоровата теорема: \[ h_c = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \text{ cm} \]
Лицето е: \[ S = \frac{c \cdot h_c}{2} = \frac{6 \cdot 4}{2} = 12 \text{ cm}^2 \]
Средна: За триъгълника от предходната задача (основа 6 cm, бедра 5 cm, лице 12 cm\(^2\)), намерете дължината на височината към бедрото \(h_b\).
Използваме формулата за лице на триъгълник, изразена чрез бедрото и височината към него:
\[ S = \frac{b \cdot h_b}{2} \]
\[ 12 = \frac{5 \cdot h_b}{2} \]
\[ 24 = 5 \cdot h_b \implies h_b = \frac{24}{5} = 4,8 \text{ cm} \]
Трудна: За остроъгълен равнобедрен \(\triangle ABC\) с основа \(AB = 6\) cm и бедра \(AC = BC = 5\) cm, намерете синуса на ъгъла при върха \(C\) (\(\angle \gamma\)).
Построяваме височината към бедрото \(AD = h_b\). От предходната задача знаем, че \(h_b = 4,8\) cm.
Разглеждаме правоъгълния \(\triangle ADC\) (с прав ъгъл при \(D\)). В него ъгълът при върха \(C\) е остър ъгъл.
Синусът на ъгъла е отношението на срещулежащия катет към хипотенузата: \[ \sin \gamma = \frac{AD}{AC} = \frac{4,8}{5} = \frac{48}{50} = \frac{24}{25} \]
Разглеждаме правоъгълния \(\triangle ADC\) (с прав ъгъл при \(D\)). В него ъгълът при върха \(C\) е остър ъгъл.
Синусът на ъгъла е отношението на срещулежащия катет към хипотенузата: \[ \sin \gamma = \frac{AD}{AC} = \frac{4,8}{5} = \frac{48}{50} = \frac{24}{25} \]
