Най-важното от урока
Функция: Правило, което съпоставя на всяко \(x\) точно едно \(y\). Запис: \(y = f(x)\).
Линейна функция: \(y = ax + b\). Графиката е права линия.
Линейна функция: \(y = ax + b\). Графиката е права линия.
- \(a > 0 \implies\) растяща; \(a < 0 \implies\) намаляваща.
- \(b\) е пресечната точка с \(Oy\).
- \(a > 0 \implies\) клоните сочат нагоре.
- \(a < 0 \implies\) клоните сочат надолу.
Функцията е правило \(f\), по което на всяка стойност на независимата променлива (аргумент) \(x\) от дадено множество (дефиниционна област \(D\)), се съпоставя точно една стойност на зависимата променлива \(y\).
Записваме \(y = f(x)\).
Графика на функция се нарича множеството от всички точки с координати \((x, f(x))\) в правоъгълна координатна система.
Ако е дадена функцията \(y = 3x - 1\), можем да намерим стойността на \(y\) за дадена стойност на \(x\).
При \(x = 2\), стойността на функцията е \(y = f(2) = 3 \cdot 2 - 1 = 6 - 1 = 5\). Точката \((2, 5)\) лежи на графиката на функцията.
При \(x = 2\), стойността на функцията е \(y = f(2) = 3 \cdot 2 - 1 = 6 - 1 = 5\). Точката \((2, 5)\) лежи на графиката на функцията.
Дадена е функцията \(y = f(x) = 5 - x\). Намерете стойността на функцията при \(x = -3\).
Заместваме \(x\) с -3 в правилото:
\(y = f(-3) = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8\).
Отговор: \(y = 8\).
\(y = f(-3) = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8\).
Отговор: \(y = 8\).
Функция от вида \(y = ax + b\), където \(a\) и \(b\) са константи, се нарича линейна функция. Нейната графика е права линия.
- Коефициентът \(a\) определя наклона на правата.
- Ако \(a > 0\), функцията е растяща.
- Ако \(a < 0\), функцията е намаляваща.
- Ако \(a = 0\), функцията е константа (\(y = b\)) и графиката ѝ е хоризонтална права.
- Свободният член \(b\) показва точката, в която графиката пресича оста \(Oy\).
Функцията \(y = 2x - 3\) е линейна. Тъй като \(a = 2 > 0\), тя е растяща. Тъй като \(b = -3\), нейната графика пресича оста \(Oy\) в точката \((0, -3)\).
За функцията \(y = -5x + 1\), определете дали е растяща или намаляваща и в коя точка пресича оста \(Oy\).
Коефициентът \(a = -5\), което е отрицателно число (\(a < 0\)), следователно функцията е намаляваща.
Свободният член \(b = 1\), следователно графиката пресича оста \(Oy\) в точката с координати \((0, 1)\).
Свободният член \(b = 1\), следователно графиката пресича оста \(Oy\) в точката с координати \((0, 1)\).
Функция от вида \(y = ax^2 + bx + c\), където \(a, b, c\) са константи и \(a \neq 0\), се нарича квадратна функция. Нейната графика е парабола.
- Знакът на коефициента \(a\) определя посоката на параболата:
- Ако \(a > 0\), клоните на параболата сочат нагоре.
- Ако \(a < 0\), клоните на параболата сочат надолу.
- Стойността на \(|a|\) определя "ширината" на параболата:
- Колкото по-голямо е \(|a|\), толкова по-"тясна" е параболата.
Функцията \(y = -2x^2 + 4x + 1\) е квадратна. Тъй като \(a = -2 < 0\), клоните на нейната парабола сочат надолу.
Как са насочени клоните на параболата, която е графика на функцията \(y = 3x^2 - 5x + 2\)?
Коефициентът пред \(x^2\) е \(a = 3\). Тъй като \(a > 0\), клоните на параболата са насочени нагоре.
Задачи за упражнение
Лесна: Коя от следните функции е линейна и коя е квадратна?
а) \(y = x^2 - 4\)
б) \(y = 4 - x\)
а) \(y = x^2 - 4\)
б) \(y = 4 - x\)
а) \(y = x^2 - 4\) е квадратна функция, защото най-високата степен на \(x\) е 2.
б) \(y = 4 - x\) е линейна функция, защото най-високата степен на \(x\) е 1.
б) \(y = 4 - x\) е линейна функция, защото най-високата степен на \(x\) е 1.
Средна: Дадена е функцията \(y = -2x + 5\). Намерете координатите на пресечната ѝ точка с оста \(Oy\) и изчислете стойността на функцията при \(x = 3\).
Функцията е линейна със свободен член \(b = 5\). Следователно, пресечната точка с \(Oy\) е \((0, 5)\).
За да намерим стойността при \(x = 3\), заместваме:
\(y = -2 \cdot 3 + 5 = -6 + 5 = -1\).
Отговор: Пресечната точка с \(Oy\) е \((0, 5)\), а стойността при \(x = 3\) е \(y = -1\).
За да намерим стойността при \(x = 3\), заместваме:
\(y = -2 \cdot 3 + 5 = -6 + 5 = -1\).
Отговор: Пресечната точка с \(Oy\) е \((0, 5)\), а стойността при \(x = 3\) е \(y = -1\).
Трудна: Без да чертаете, определете посоката на клоните на параболата \(y = -\frac{1}{3}x^2 + 7x\) и я сравнете по ширина с параболата на функцията \(y = x^2\).
1. Посока: Коефициентът пред \(x^2\) е \(a = -\frac{1}{3}\). Тъй като \(a < 0\), клоните на параболата са насочени надолу.
2. Ширина: Сравняваме \(|a|\) с 1. В случая \(|a| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}\). Тъй като \(\frac{1}{3} < 1\), параболата е по-"широка" (по-разтворена) от стандартната парабола \(y = x^2\).
2. Ширина: Сравняваме \(|a|\) с 1. В случая \(|a| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}\). Тъй като \(\frac{1}{3} < 1\), параболата е по-"широка" (по-разтворена) от стандартната парабола \(y = x^2\).
