Най-важното от урока
За да определиш броя на решенията на система \(\begin{cases} y = a_1x + b_1 \\ y = a_2x + b_2 \end{cases}\), сравни коефициентите:
- Едно решение (пресичащи се прави), ако \(a_1 \neq a_2\). Пример: \(y=2x+1, y=3x\).
- Няма решение (успоредни прави), ако \(a_1 = a_2\) и \(b_1 \neq b_2\). Пример: \(y=2x+1, y=2x+5\).
- Безброй решения (съвпадащи прави), ако \(a_1 = a_2\) и \(b_1 = b_2\). Пример: \(y=2x+1, y=2x+1\).
Ако уравненията не са в явен вид, първо ги преобразувай до \(y=ax+b\).
Решението на система от две линейни уравнения с две неизвестни е наредена двойка числа \((x; y)\), която е обща точка за графиките на двете линейни функции.
Броят на решенията на системата е равен на броя на пресечните точки на графиките.
Графиките на \(y = 6 - x\) и \(y = 2x - 6\) се пресичат в точка M(4; 2). Следователно, наредената двойка (4; 2) е единственото решение на системата:
\[\begin{cases} y=6-x \\ y=2x-6 \end{cases}\]
Ако графиките на две линейни функции са успоредни, колко решения има системата, образувана от техните уравнения?
Отговор: 0 решения, защото успоредните прави нямат общи точки.
За две линейни функции \(y = a_1x + b_1\) и \(y = a_2x + b_2\), взаимното им разположение зависи от коефициентите \(a_1, a_2\) и \(b_1, b_2\).
1. Пресичащи се прави: Когато \(a_1 \neq a_2\). Имат 1 обща точка.
2. Успоредни прави: Когато \(a_1 = a_2\) и \(b_1 \neq b_2\). Нямат общи точки.
3. Съвпадащи прави: Когато \(a_1 = a_2\) и \(b_1 = b_2\). Имат безброй общи точки.
Определете взаимното разположение на графиките на функциите \(y = 5x - 3\) и \(y = 5x + 1\).
Тук \(a_1=5, b_1=-3\) и \(a_2=5, b_2=1\).
Тъй като \(a_1=a_2\) и \(b_1 \neq b_2\), правите са успоредни.
Тъй като \(a_1=a_2\) и \(b_1 \neq b_2\), правите са успоредни.
Система, която има поне едно решение, се нарича съвместима. Ако няма решение – несъвместима.
Съвместима система с точно едно решение е определена. С безброй решения – неопределена.
- Съвместима и определена (1 решение): \(a_1 \neq a_2\)
- Несъвместима (няма решение): \(a_1 = a_2\), \(b_1 \neq b_2\)
- Съвместима и неопределена (безброй решения): \(a_1 = a_2\), \(b_1 = b_2\)
Определете вида на системата \(\begin{cases} y=0.5x-3 \\ y=\frac{1}{2}x-3 \end{cases}\).
Тъй като \(0.5 = \frac{1}{2}\), имаме \(a_1 = a_2\). Свободните членове също са равни \(b_1=b_2=-3\).
Отговор: Системата е съвместима и неопределена.
Отговор: Системата е съвместима и неопределена.
За да определите броя на решенията (вида) на система, която не е в явен вид \(y=ax+b\), следвайте стъпките:
Преобразувайте всяко уравнение от системата до вида \(y = ax + b\).
Сравнете коефициентите пред \(x\) (\(a_1\) и \(a_2\)) и свободните членове (\(b_1\) и \(b_2\)).
Направете извод за вида на системата според правилата.
Да изследваме системата \(\begin{cases} x-2y=4 \\ 2x-4y=3 \end{cases}\).
Стъпка 1:
\(x-2y=4 \implies -2y = -x+4 \implies y = \frac{1}{2}x - 2\)
\(2x-4y=3 \implies -4y = -2x+3 \implies y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{4}\)
Стъпка 2:
\(a_1 = \frac{1}{2}, b_1 = -2\) и \(a_2 = \frac{1}{2}, b_2 = -\frac{3}{4}\).
Виждаме, че \(a_1=a_2\), но \(b_1 \neq b_2\).
Стъпка 3: Системата е несъвместима (няма решение).
Стъпка 1:
\(x-2y=4 \implies -2y = -x+4 \implies y = \frac{1}{2}x - 2\)
\(2x-4y=3 \implies -4y = -2x+3 \implies y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{4}\)
Стъпка 2:
\(a_1 = \frac{1}{2}, b_1 = -2\) и \(a_2 = \frac{1}{2}, b_2 = -\frac{3}{4}\).
Виждаме, че \(a_1=a_2\), но \(b_1 \neq b_2\).
Стъпка 3: Системата е несъвместима (няма решение).
Задачи за упражнение
Лесна: Без да чертаете, определете взаимното разположение на графиките на функциите \(y = -x + 7\) и \(y = 4x - 1\).
Тук \(a_1=-1\) и \(a_2=4\). Тъй като \(a_1 \neq a_2\), правите се пресичат.
Средна: Определете вида на системата \(\begin{cases} 3x+y=5 \\ 9x+3y=15 \end{cases}\).
Преобразуваме двете уравнения:
1) \(3x+y=5 \implies y = -3x + 5\)
2) \(9x+3y=15 \implies 3y = -9x+15 \implies y = -3x + 5\)
Тъй като \(a_1=a_2=-3\) и \(b_1=b_2=5\), системата е съвместима и неопределена (има безброй решения).
1) \(3x+y=5 \implies y = -3x + 5\)
2) \(9x+3y=15 \implies 3y = -9x+15 \implies y = -3x + 5\)
Тъй като \(a_1=a_2=-3\) и \(b_1=b_2=5\), системата е съвместима и неопределена (има безброй решения).
Трудна: За коя стойност на параметъра \(p\) графиките на функциите \(y = (2p-1)x + 5\) и \(y = 7x - 3\) са успоредни?
За да са успоредни правите, трябва коефициентите пред \(x\) да са равни, т.е. \(a_1 = a_2\).
В този случай \(a_1 = 2p-1\) и \(a_2 = 7\).
Приравняваме ги: \(2p - 1 = 7\)
\(2p = 8\)
\(p = 4\)
Отговор: При \(p=4\).
В този случай \(a_1 = 2p-1\) и \(a_2 = 7\).
Приравняваме ги: \(2p - 1 = 7\)
\(2p = 8\)
\(p = 4\)
Отговор: При \(p=4\).
