Най-важното от урока
I признак (АА): Ако два триъгълника имат два еднакви ъгъла, те са подобни. (Пример: два правоъгълни триъгълника с един и същ остър ъгъл).
II признак (SAS): Ако два триъгълника имат две пропорционални страни и равен ъгъл между тях, те са подобни. (Пример: \(\triangle\) със страни 4, 6 и ъгъл 30°, е подобен на \(\triangle\) със страни 2, 3 и ъгъл 30°).
III признак (SSS): Ако трите страни на един триъгълник са пропорционални на трите страни на друг, те са подобни. (Пример: триъгълник със страни 3, 4, 5 е подобен на триъгълник със страни 6, 8, 10).
II признак (SAS): Ако два триъгълника имат две пропорционални страни и равен ъгъл между тях, те са подобни. (Пример: \(\triangle\) със страни 4, 6 и ъгъл 30°, е подобен на \(\triangle\) със страни 2, 3 и ъгъл 30°).
III признак (SSS): Ако трите страни на един триъгълник са пропорционални на трите страни на друг, те са подобни. (Пример: триъгълник със страни 3, 4, 5 е подобен на триъгълник със страни 6, 8, 10).
Два триъгълника са подобни, ако два ъгъла от единия са съответно равни на два ъгъла от другия.
Ако \(\angle A = \angle A'\) и \(\angle B = \angle B'\), то \(\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'\).
Ако в \(\triangle ABC\) имаме \(\angle A = 40^\circ\) и \(\angle B = 60^\circ\), а в \(\triangle MNP\) имаме \(\angle M = 40^\circ\) и \(\angle N = 60^\circ\), то триъгълниците са подобни.
Дадени са правоъгълен \(\triangle ABC\) (\(\angle C = 90^\circ\)) с \(\angle A = 35^\circ\) и правоъгълен \(\triangle XYZ\) (\(\angle Z = 90^\circ\)) с \(\angle Y = 55^\circ\). Подобни ли са?
Да, подобни са. В \(\triangle ABC\), \(\angle B = 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ\).
Така имаме \(\angle C = \angle Z = 90^\circ\) и \(\angle B = \angle Y = 55^\circ\). Триъгълниците са подобни по I признак.
Два триъгълника са подобни, ако две страни от единия са пропорционални на две страни от другия, а ъглите, заключени между тези страни, са равни.
Ако \(\frac{AC}{A'C'} = \frac{BC}{B'C'}\) и \(\angle C = \angle C'\), то \(\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'\).
В \(\triangle ABC\) страните \(AB=6, AC=9\) и \(\angle A = 50^\circ\). В \(\triangle PQR\) страните \(PQ=2, PR=3\) и \(\angle P = 50^\circ\).
Тъй като \(\frac{AB}{PQ} = \frac{6}{2} = 3\), \(\frac{AC}{PR} = \frac{9}{3} = 3\) и \(\angle A = \angle P\), то \(\triangle ABC \sim \triangle PQR\).
\(\triangle ABC\) има страни \(AC=8, BC=12\) и \(\angle C = 30^\circ\). \(\triangle MNK\) има страни \(MK=4, NK=5\) и \(\angle K = 30^\circ\). Подобни ли са?
Не. Ъглите между страните са равни (\(\angle C = \angle K\)), но страните не са пропорционални: \(\frac{AC}{MK} = \frac{8}{4} = 2\), докато \(\frac{BC}{NK} = \frac{12}{5} = 2.4\).
Два триъгълника са подобни, ако трите страни на единия са съответно пропорционални на трите страни на другия.
Ако \(\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'}\), то \(\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'\).
\(\triangle ABC\) има страни 3, 5, 7. \(\triangle A'B'C'\) има страни 6, 10, 14. Тъй като \(\frac{6}{3} = \frac{10}{5} = \frac{14}{7} = 2\), триъгълниците са подобни.
\(\triangle ABC\) има страни 4 cm, 6 cm и 8 cm. \(\triangle MNK\) има страни 6 cm, 9 cm и 12 cm. Подобни ли са?
Да. Проверяваме съотношенията на съответните страни (от най-малката към най-голямата):
\[ \frac{6}{4} = 1.5, \quad \frac{9}{6} = 1.5, \quad \frac{12}{8} = 1.5 \]
Тъй като всички съотношения са равни, триъгълниците са подобни по III признак.
Задачи за упражнение
Лесна: Дадено е, че \(\triangle ABC \sim \triangle PQR\). Страните на \(\triangle ABC\) са \(AB=10\) cm, \(BC=12\) cm и \(AC=15\) cm. Най-голямата страна на \(\triangle PQR\) е \(PR=9\) cm. Намерете периметъра на \(\triangle PQR\).
Най-голямата страна в \(\triangle ABC\) е AC. Следователно тя съответства на най-голямата страна в \(\triangle PQR\), която е PR.
Коефициентът на подобие \(k = \frac{PR}{AC} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}\).
Намираме другите страни:
\(PQ = k \cdot AB = \frac{3}{5} \cdot 10 = 6\) cm.
\(QR = k \cdot BC = \frac{3}{5} \cdot 12 = \frac{36}{5} = 7.2\) cm.
Периметърът на \(\triangle PQR\) е \(P = 6 + 7.2 + 9 = 22.2\) cm.
От свойството на периферния ъгъл знаем, че \(\angle BCP\) е равен на вписания ъгъл \(\angle BAC\).
Тъй като \(\triangle ABC\) е равнобедрен, \(\angle BAC = \angle ABC\).
От свойството на допирателните от външна точка P следва, че \(PB = PC\), т.е. \(\triangle CBP\) също е равнобедрен и \(\angle PBC = \angle BCP\).
От горните равенства следва: \(\angle PBC = \angle BCP = \angle BAC = \angle ABC\).
Следователно \(\triangle PCB \sim \triangle CBA\) (по I признак, тъй като ъглите им са равни).
От подобието записваме пропорцията: \(\frac{PC}{CB} = \frac{CB}{BA}\).
Нека \(PC = PB = x\).
\[ \frac{x}{12} = \frac{12}{8} \]
\[ x = \frac{12 \cdot 12}{8} = \frac{144}{8} = 18 \text{ cm} \]
Периметърът на \(\triangle CBP\) е \(P = BP + CP + BC = 18 + 18 + 12 = 48\) cm.
Нека \(MK = KL = LN = x\). Тогава \(MN = 3x\), а \(KN = KL+LN = 2x\).
1. Разглеждаме \(\triangle ADC\) и пресичащата го успоредна права MN. Тъй като \(MK || DC\), то \(\triangle AMK \sim \triangle ADC\). От подобието следва:
\[ \frac{MK}{DC} = \frac{AK}{AC} \implies \frac{x}{b} = \frac{AK}{AC} \]
2. Разглеждаме \(\triangle ABC\) и пресичащата го успоредна права MN. Тъй като \(KN || AB\), то \(\triangle CKN \sim \triangle CAB\). От подобието следва:
\[ \frac{KN}{AB} = \frac{CK}{AC} \implies \frac{2x}{a} = \frac{CK}{AC} \]
3. Събираме двете получени равенства, като използваме, че \(AK + CK = AC\):
\[ \frac{AK}{AC} + \frac{CK}{AC} = \frac{AK+CK}{AC} = \frac{AC}{AC} = 1 \]
\[ \frac{x}{b} + \frac{2x}{a} = 1 \]
4. Решаваме уравнението спрямо \(x\):
\[ x \left( \frac{1}{b} + \frac{2}{a} \right) = 1 \implies x \left( \frac{a+2b}{ab} \right) = 1 \implies x = \frac{ab}{a+2b} \]
Дължината на отсечката MN е \(3x\), следователно:
\[ MN = \frac{3ab}{a+2b} \]
