Най-важното от урока
Вътрешна точка M (хорди AB и CD): Произведението на частите на хордите е равно: \( MA \cdot MB = MC \cdot MD \).
Външна точка M (секущи MAB и MCD): Произведението на цялата секуща по външната ѝ част е равно: \( MA \cdot MB = MC \cdot MD \).
Външна точка M (допирателна MT и секуща MAB): Квадратът на допирателната е равен на произведението на цялата секуща по външната ѝ част: \( MT^2 = MA \cdot MB \).
Външна точка M (секущи MAB и MCD): Произведението на цялата секуща по външната ѝ част е равно: \( MA \cdot MB = MC \cdot MD \).
Външна точка M (допирателна MT и секуща MAB): Квадратът на допирателната е равен на произведението на цялата секуща по външната ѝ част: \( MT^2 = MA \cdot MB \).
Ако две хорди AB и CD в една окръжност се пресичат в точка M, то произведението от частите на едната хорда е равно на произведението от частите на другата.
\[ MA \cdot MB = MC \cdot MD \]
Това произведение е константа за всяка хорда през M и е равно на \( R^2 - OM^2 \), където R е радиусът, а O е центърът на окръжността.
Хорди AB и CD се пресичат в точка M. Ако MA = 6 cm, MB = 4 cm и MC = 3 cm, то можем да намерим MD:
\[ 6 \cdot 4 = 3 \cdot MD \]
\[ 24 = 3 \cdot MD \Rightarrow MD = 8 \text{ cm} \]
Хордите PQ и RS се пресичат в точка T. Ако PT = 5, TQ = 8 и RT = 4, намерете дължината на хордата RS.
Прилагаме теоремата: \( PT \cdot TQ = RT \cdot TS \).
\[ 5 \cdot 8 = 4 \cdot TS \]
\[ 40 = 4 \cdot TS \Rightarrow TS = 10 \]
Дължината на хордата е \( RS = RT + TS = 4 + 10 = 14 \).
Ако от точка M, външна за окръжност, са прекарани две секущи, които я пресичат съответно в A, B и C, D, то произведението на цялата секуща по нейната външна част е равно за двете.
\[ MA \cdot MB = MC \cdot MD \]
Това произведение е константа за всяка секуща през M и е равно на \( OM^2 - R^2 \), където R е радиусът, а O е центърът на окръжността.
От точка M са прекарани секущи MAB и MCD. Ако MA = 4, AB = 5 (т.е. MB = 9), и MC = 3, то можем да намерим MD:
\[ 4 \cdot 9 = 3 \cdot MD \]
\[ 36 = 3 \cdot MD \Rightarrow MD = 12 \]
От точка M са прекарани две секущи към окръжност, които я пресичат съответно в A, B и C, D. Ако MA = 6, MB = 14 и MC = 4, намерете дължината на отсечката CD.
Прилагаме теоремата: \( MA \cdot MB = MC \cdot MD \).
\[ 6 \cdot 14 = 4 \cdot MD \]
\[ 84 = 4 \cdot MD \Rightarrow MD = 21 \]
Търсената отсечка е \( CD = MD - MC = 21 - 4 = 17 \).
Ако от точка M, външна за окръжност, са прекарани допирателна MT (с допирна точка T) и секуща, пресичаща окръжността в A и B, то квадратът на допирателната отсечка е равен на произведението на цялата секуща по нейната външна част.
\[ MT^2 = MA \cdot MB \]
От точка M са прекарани допирателна MT и секуща MAB. Ако MT = 10, а MA = 5, то:
\[ 10^2 = 5 \cdot MB \]
\[ 100 = 5 \cdot MB \Rightarrow MB = 20 \]
От точка M, външна за окръжност, са прекарани допирателна MT и секуща MAB. Намерете дължината на допирателната MT, ако MA = 5 cm и AB = 15 cm.
Първо намираме дължината на цялата секуща: \( MB = MA + AB = 5 + 15 = 20 \) cm.
Прилагаме теоремата: \( MT^2 = MA \cdot MB \).
\[ MT^2 = 5 \cdot 20 = 100 \]
\[ MT = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \]
Задачи за упражнение
Лесна: Хордите AB и CD се пресичат в точка M. Намерете дължината на CD, ако MA = 5 cm, MB = 6 cm и MC = 3 cm.
От теоремата за пресичащи се хорди: \( MA \cdot MB = MC \cdot MD \).
\[ 5 \cdot 6 = 3 \cdot MD \]
\[ 30 = 3 \cdot MD \Rightarrow MD = 10 \text{ cm} \]
Дължината на цялата хорда е \( CD = MC + MD = 3 + 10 = 13 \) cm.
Средна: От точка М, външна за окръжност, са прекарани допирателна с дължина MT = 12 cm и секуща MAB. Намерете дължините на отсечките MA и AB, ако MB = 3 MA.
От теоремата имаме \( MT^2 = MA \cdot MB \).
Заместваме с дадените стойности: \( 12^2 = MA \cdot (3 MA) \).
\[ 144 = 3 \cdot MA^2 \]
\[ MA^2 = 48 \Rightarrow MA = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \text{ cm} \]
Тогава \( MB = 3 \cdot MA = 3 \cdot 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \text{ cm} \).
Накрая, \( AB = MB - MA = 12\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \text{ cm} \).
Трудна: Радиусът на окръжност е 7 cm. През точка M, която е на разстояние 5 cm от центъра, е прекарана хорда AB с дължина 12 cm. Намерете дължините на отсечките, на които точка M дели хордата.
Знаем, че произведението \( MA \cdot MB = R^2 - OM^2 \).
\[ MA \cdot MB = 7^2 - 5^2 = 49 - 25 = 24 \]
Нека MA = x. Тъй като AB = 12, то MB = 12 - x.
Заместваме в произведението:
\[ x \cdot (12 - x) = 24 \]
\[ 12x - x^2 = 24 \]
\[ x^2 - 12x + 24 = 0 \]
Решаваме квадратното уравнение. Дискриминантата \( D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 144 - 96 = 48 \).
Корените са \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{12 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 6 \pm 2\sqrt{3} \).
Двете отсечки са \( MA = 6 - 2\sqrt{3} \) cm и \( MB = 6 + 2\sqrt{3} \) cm.
