67. Теорема На Питагор

За решаването на задачата ще използваме Питагоровата теорема и основните метрични зависимости в правоъгълен триъгълник.
Начертайте правоъгълен триъгълник \(\triangle ABC\). 1. **Позициониране на върховете:** Върхът \(A\) да е разположен в долния ляв край на чертежа. Върхът \(B\) да е разположен в долния десен край, така че хипотенузата \(AB\) да е хоризонтална. Върхът \(C\) да е разположен над отсечката \(AB\), формирайки прав ъгъл при върха \(C\) (ъгъл \(\angle ACB = 90^\circ\)). 2. **Допълнителни елементи:** Спуснете височината \(CD\) от върха \(C\) към хипотенузата \(AB\). Точката \(D\) да лежи върху отсечката \(AB\), като отсечката \(CD\) е перпендикулярна на \(AB\) (\(CD \perp AB\)). 3. **Означаване на ъгли:** Маркирайте правия ъгъл при върха \(C\) (ъгъл \(\angle ACB\)) и правия ъгъл при върха \(D\) (ъгъл \(\angle CDB\) или \(\angle CDA\)) с малки квадратчета. 4. **Означаване на точки:** Означете върховете на триъгълника с главни букви \(A\), \(B\), \(C\) и петата на височината с главна буква \(D\). Всички означения на точки да са позиционирани близо до съответните върхове. 5. **Означаване на страни и отсечки:** * Означете катета \(BC\) с малка буква \(a\), разположена близо до средата на отсечката \(BC\). * Означете катета \(AC\) с малка буква \(b\), разположена близо до средата на отсечката \(AC\). * Означете хипотенузата \(AB\) с малка буква \(c\), разположена под средата на отсечката \(AB\). * Означете височината \(CD\) с малка буква \(h\), разположена близо до средата на отсечката \(CD\). * Означете проекцията на катета \(a\), отсечката \(BD\), с \(a_1\), разположена под средата на отсечката \(BD\). Основните формули, които ще прилагаме, са: 1. Питагорова теорема за \(\triangle ABC\): \( a^2 + b^2 = c^2 \) 2. Зависимост от лицето на триъгълника: \( a \cdot b = c \cdot h \) 3. Питагорова теорема за \(\triangle BDC\): \( a^2 = a_1^2 + h^2 \) 4. Метрична зависимост за катета: \( a^2 = c \cdot a_1 \)

а) Дадено: \( a = 7 \) cm, \( b = 4 \) cm

Стъпка 1: Намиране на хипотенузата \(c\)

Прилагаме Питагоровата теорема за \(\triangle ABC\). \[ c^2 = a^2 + b^2 \] \[ c^2 = 7^2 + 4^2 = 49 + 16 = 65 \] \[ c = \sqrt{65} \text{ cm} \]

Стъпка 2: Намиране на височината \(h\)

Използваме зависимостта между катетите, хипотенузата и височината (от формулата за лице). \[ a \cdot b = c \cdot h \] \[ 7 \cdot 4 = \sqrt{65} \cdot h \] \[ 28 = \sqrt{65} \cdot h \] \[ h = \frac{28}{\sqrt{65}} \] Рационализираме знаменателя, като умножим числителя и знаменателя с \(\sqrt{65}\): \[ h = \frac{28\sqrt{65}}{65} \text{ cm} \]

б) Дадено: \( a = 8 \) cm, \( h = \frac{8}{\sqrt{5}} \) cm

Стъпка 1: Намиране на проекцията \(a_1\)

Ще разгледаме малкия правоъгълен триъгълник \(\triangle BDC\). За него \(a\) е хипотенуза, а \(a_1\) и \(h\) са катети. Прилагаме Питагорова теорема: \[ a^2 = a_1^2 + h^2 \] \[ 8^2 = a_1^2 + \left(\frac{8}{\sqrt{5}}\right)^2 \] \[ 64 = a_1^2 + \frac{64}{5} \] \[ a_1^2 = 64 - \frac{64}{5} = \frac{320}{5} - \frac{64}{5} = \frac{256}{5} \] Коренуваме двете страни: \[ a_1 = \sqrt{\frac{256}{5}} = \frac{16}{\sqrt{5}} \text{ cm} \]

Стъпка 2: Намиране на хипотенузата \(c\)

Използваме метричната зависимост за катета \(a\). \[ a^2 = c \cdot a_1 \] \[ 8^2 = c \cdot \frac{16}{\sqrt{5}} \] \[ 64 = c \cdot \frac{16}{\sqrt{5}} \] \[ c = \frac{64\sqrt{5}}{16} \] Опростяваме израза: \[ c = \frac{\cancel{64}^4\sqrt{5}}{\cancel{16}_1} = 4\sqrt{5} \text{ cm} \]

Стъпка 3: Намиране на катета \(b\)

Използваме зависимостта от лицето на триъгълника. \[ a \cdot b = c \cdot h \] \[ 8 \cdot b = 4\sqrt{5} \cdot \frac{8}{\sqrt{5}} \] \[ 8 \cdot b = \frac{4\cancel{\sqrt{5}} \cdot 8}{\cancel{\sqrt{5}}} \] \[ 8 \cdot b = 32 \] \[ b = \frac{\cancel{32}^4}{\cancel{8}_1} = 4 \text{ cm} \]

в) Дадено: \( c = 3\sqrt{2} \) cm, \( b = 3 \) cm

Стъпка 1: Намиране на катета \(a\)

Прилагаме Питагоровата теорема за \(\triangle ABC\). \[ a^2 + b^2 = c^2 \] \[ a^2 + 3^2 = (3\sqrt{2})^2 \] \[ a^2 + 9 = 9 \cdot 2 \] \[ a^2 + 9 = 18 \] \[ a^2 = 18 - 9 = 9 \] \[ a = \sqrt{9} = 3 \text{ cm} \] (Забелязваме, че триъгълникът е равнобедрен, тъй като \(a = b = 3\) cm).

Стъпка 2: Намиране на височината \(h\)

Използваме зависимостта от лицето на триъгълника. \[ a \cdot b = c \cdot h \] \[ 3 \cdot 3 = 3\sqrt{2} \cdot h \] \[ 9 = 3\sqrt{2} \cdot h \] \[ h = \frac{9}{3\sqrt{2}} \] Съкращаваме и рационализираме знаменателя: \[ h = \frac{\cancel{9}^3}{\cancel{3}_1\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \text{ cm} \]

а)

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{7^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65} \text{ cm} \] \[ h = \frac{ab}{c} = \frac{7 \cdot 4}{\sqrt{65}} = \frac{28\sqrt{65}}{65} \text{ cm} \]

б)

\[ a_1 = \sqrt{a^2 - h^2} = \sqrt{8^2 - \frac{64}{5}} = \sqrt{\frac{256}{5}} = \frac{16}{\sqrt{5}} \text{ cm} \] \[ c = \frac{a^2}{a_1} = \frac{64}{\frac{16}{\sqrt{5}}} = \frac{\cancel{64}^4\sqrt{5}}{\cancel{16}_1} = 4\sqrt{5} \text{ cm} \] \[ b = \frac{ch}{a} = \frac{4\cancel{\sqrt{5}} \cdot \frac{8}{\cancel{\sqrt{5}}}}{8} = \frac{\cancel{32}^4}{\cancel{8}_1} = 4 \text{ cm} \]

в)

\[ a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 - 3^2} = \sqrt{18 - 9} = 3 \text{ cm} \] \[ h = \frac{ab}{c} = \frac{3 \cdot 3}{3\sqrt{2}} = \frac{\cancel{9}^3}{\cancel{3}_1\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \text{ cm} \]