Най-важното от урока
За правоъгълен триъгълник със страни \(a, b, c\) и остър ъгъл \(\alpha\) срещу катета \(a\):
- Синус: \(\sin \alpha = \frac{\text{срещулежащ катет}}{\text{хипотенуза}} = \frac{a}{c}\)
- Косинус: \(\cos \alpha = \frac{\text{прилежащ катет}}{\text{хипотенуза}} = \frac{b}{c}\)
- Тангенс: \(\text{tg}\ \alpha = \frac{\text{срещулежащ катет}}{\text{прилежащ катет}} = \frac{a}{b}\)
- Котангенс: \(\text{cotg}\ \alpha = \frac{\text{прилежащ катет}}{\text{срещулежащ катет}} = \frac{b}{a}\)
Синус на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на дължината на срещулежащия на ъгъла катет към дължината на хипотенузата.
\[ \sin \alpha = \frac{\text{срещулежащ катет}}{\text{хипотенуза}} = \frac{a}{c} \]
В правоъгълен триъгълник хипотенузата \(c = 10\) cm, а \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\). За да намерим срещулежащия катет \(a\), използваме равенството:
\[ \frac{3}{5} = \frac{a}{10} \implies a = \frac{3 \cdot 10}{5} = 6 \text{ cm} \]
Даден е правоъгълен триъгълник с хипотенуза \(c=14\) cm и срещулежащ катет на ъгъл \(\alpha\) - \(a=7\) cm. Намерете \(\sin \alpha\).
\(\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}\)
Косинус на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на дължината на прилежащия на ъгъла катет към дължината на хипотенузата.
\[ \cos \alpha = \frac{\text{прилежащ катет}}{\text{хипотенуза}} = \frac{b}{c} \]
В правоъгълен \(\triangle ABC (\angle C = 90^\circ)\), катетите са \(AC = 8\) cm и \(BC = 6\) cm. За да намерим \(\cos \angle A\), първо намираме хипотенузата \(AB\) с Питагорова теорема: \(AB^2 = 8^2 + 6^2 = 100 \implies AB=10\) cm.
\[ \cos \angle A = \frac{\text{прилежащ катет}}{\text{хипотенуза}} = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \]
В правоъгълен триъгълник хипотенузата е 13 cm, а прилежащият катет на ъгъл \(\beta\) е 5 cm. Намерете \(\cos \beta\).
\(\cos \beta = \frac{\text{прилежащ катет}}{\text{хипотенуза}} = \frac{5}{13}\)
Тангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на дължината на срещулежащия катет към дължината на прилежащия катет.
\[ \text{tg}\ \alpha = \frac{\text{срещулежащ катет}}{\text{прилежащ катет}} = \frac{a}{b} \]
В правоъгълен триъгълник катетите са \(a=9\) cm и \(b=12\) cm. Тангенсът на ъгъла \(\alpha\), който лежи срещу катета \(a\), е:
\[ \text{tg}\ \alpha = \frac{a}{b} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \]
Катетите на правоъгълен триъгълник са 5 cm и 12 cm. Намерете тангенса на ъгъла срещу по-малкия катет.
Срещу по-малкия катет (5 cm) лежи по-малък ъгъл. Нека го кръстим \(\alpha\). Прилежащият катет е 12 cm.
\[ \text{tg}\ \alpha = \frac{5}{12} \]
Котангенс на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на дължината на прилежащия катет към дължината на срещулежащия катет.
\[ \text{cotg}\ \alpha = \frac{\text{прилежащ катет}}{\text{срещулежащ катет}} = \frac{b}{a} \]
В правоъгълен триъгълник катетите са \(a=9\) cm и \(b=12\) cm. Котангенсът на ъгъла \(\alpha\), който лежи срещу катета \(a\), е:
\[ \text{cotg}\ \alpha = \frac{b}{a} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \]
Катетите на правоъгълен триъгълник са 8 cm и 15 cm. Намерете котангенса на ъгъла срещу по-големия катет.
Срещу по-големия катет (15 cm) лежи по-големият остър ъгъл. Нека го кръстим \(\beta\). Прилежащият катет е 8 cm.
\[ \text{cotg}\ \beta = \frac{8}{15} \]
Стойностите на синус и косинус за остър ъгъл (\(0^\circ < \alpha < 90^\circ\)) са винаги положителни числа, по-малки от 1:
\[ 0 < \sin \alpha < 1 \]
\[ 0 < \cos \alpha < 1 \]
Стойностите на тангенс и котангенс за остър ъгъл са винаги положителни числа:
\[ \text{tg}\ \alpha > 0 \]
\[ \text{cotg}\ \alpha > 0 \]
Може ли косинусът на остър ъгъл да бъде равен на \(\frac{5}{4}\)? Обосновете се.
Не, не може. \(\frac{5}{4} = 1.25\), което е по-голямо от 1. Стойността на косинуса за остър ъгъл винаги е по-малка от 1, защото прилежащият катет е винаги по-къс от хипотенузата.
Задачи за упражнение
Лесна: В правоъгълен триъгълник с катети 5 cm и 12 cm, и хипотенуза 13 cm, намерете \(\sin \alpha\), \(\cos \alpha\) и \(\text{tg}\ \alpha\), където \(\alpha\) е ъгълът срещу катета от 5 cm.
Срещулежащ катет \(a = 5\) cm, прилежащ катет \(b = 12\) cm, хипотенуза \(c = 13\) cm.
\(\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{5}{13}\)
\(\cos \alpha = \frac{b}{c} = \frac{12}{13}\)
\(\text{tg}\ \alpha = \frac{a}{b} = \frac{5}{12}\)
\(\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{5}{13}\)
\(\cos \alpha = \frac{b}{c} = \frac{12}{13}\)
\(\text{tg}\ \alpha = \frac{a}{b} = \frac{5}{12}\)
Средна: В правоъгълен триъгълник хипотенузата е 25 cm, а единият катет е 7 cm. Намерете синуса и косинуса на ъгъла, прилежащ на дадения катет.
Нека даденият катет е \(b = 7\) cm, а хипотенузата \(c = 25\) cm. Търсим \(\sin \beta\) и \(\cos \beta\), където \(\beta\) е ъгълът при катета \(b\).
1. Намираме другия катет \(a\) с Питагорова теорема: \(a^2 = c^2 - b^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576 \implies a = 24\) cm.
2. Катетът \(a=24\) cm е срещулежащ на ъгъл \(\beta\).
3. Намираме функциите:
\(\sin \beta = \frac{\text{срещулежащ}}{\text{хипотенуза}} = \frac{a}{c} = \frac{24}{25}\)
\(\cos \beta = \frac{\text{прилежащ}}{\text{хипотенуза}} = \frac{b}{c} = \frac{7}{25}\)
1. Намираме другия катет \(a\) с Питагорова теорема: \(a^2 = c^2 - b^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576 \implies a = 24\) cm.
2. Катетът \(a=24\) cm е срещулежащ на ъгъл \(\beta\).
3. Намираме функциите:
\(\sin \beta = \frac{\text{срещулежащ}}{\text{хипотенуза}} = \frac{a}{c} = \frac{24}{25}\)
\(\cos \beta = \frac{\text{прилежащ}}{\text{хипотенуза}} = \frac{b}{c} = \frac{7}{25}\)
Трудна: Даден е правоъгълен триъгълник, за който \(\text{tg}\ \alpha = \frac{8}{15}\). Ако прилежащият на ъгъл \(\alpha\) катет е 30 cm, намерете дължините на другите две страни и стойността на \(\cos \alpha\).
Нека срещулежащият катет е \(a\), а прилежащият е \(b = 30\) cm.
1. От определението за тангенс: \(\text{tg}\ \alpha = \frac{a}{b} \implies \frac{8}{15} = \frac{a}{30}\).
Оттук намираме \(a\): \(a = \frac{8 \cdot 30}{15} = 16\) cm.
2. Намираме хипотенузата \(c\) с Питагорова теорема: \(c^2 = a^2 + b^2 = 16^2 + 30^2 = 256 + 900 = 1156 \implies c = 34\) cm.
3. Намираме косинуса: \(\cos \alpha = \frac{\text{прилежащ катет}}{\text{хипотенуза}} = \frac{b}{c} = \frac{30}{34} = \frac{15}{17}\).
Отговор: Срещулежащият катет е 16 cm, хипотенузата е 34 cm, а \(\cos \alpha = \frac{15}{17}\).
1. От определението за тангенс: \(\text{tg}\ \alpha = \frac{a}{b} \implies \frac{8}{15} = \frac{a}{30}\).
Оттук намираме \(a\): \(a = \frac{8 \cdot 30}{15} = 16\) cm.
2. Намираме хипотенузата \(c\) с Питагорова теорема: \(c^2 = a^2 + b^2 = 16^2 + 30^2 = 256 + 900 = 1156 \implies c = 34\) cm.
3. Намираме косинуса: \(\cos \alpha = \frac{\text{прилежащ катет}}{\text{хипотенуза}} = \frac{b}{c} = \frac{30}{34} = \frac{15}{17}\).
Отговор: Срещулежащият катет е 16 cm, хипотенузата е 34 cm, а \(\cos \alpha = \frac{15}{17}\).
