Най-важното от урока
Основна стратегия: Спуска се височината към основата на равнобедрения триъгълник, за да се получат два еднакви правоъгълни триъгълника. След това се прилага Питагорова теорема.
Равностранен триъгълник (страна b):
Равностранен триъгълник (страна b):
- Височина: \(h = \frac{b\sqrt{3}}{2}\)
- Лице: \(S = \frac{b^2\sqrt{3}}{4}\)
- Височина към основата: \(h_c = \sqrt{b^2 - (c/2)^2}\)
- Лице: \(S = \frac{c \cdot h_c}{2}\)
- Радиус на описана окръжност: \(R = \frac{b^2}{2h_c}\)
- Радиус на вписана окръжност: \(r = \frac{S}{p}\) (където \(p\) е полупериметърът)
Основният метод за решаване на равнобедрен триъгълник е като се използва фактът, че височината към основата (\(h_c\)) го разделя на два напълно еднакви правоъгълни триъгълника.
В така получения правоъгълен триъгълник хипотенузата е бедрото на равнобедрения триъгълник (\(b\)), единият катет е височината (\(h_c\)), а другият катет е половината от основата (\(\frac{c}{2}\)). Тук можем да приложим Питагорова теорема и тригонометрични функции.
Даден е равнобедрен триъгълник с бедро \(b = 13\) см и основа \(c = 10\) см. За да намерим височината към основата \(h_c\), прилагаме Питагорова теорема за \(\triangle ADC\):
\[ h_c^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2 = b^2 \]
\[ h_c^2 + 5^2 = 13^2 \]
\[ h_c^2 + 25 = 169 \implies h_c^2 = 144 \implies h_c = 12 \text{ см} \]
Бедрото на равнобедрен триъгълник е 17 см, а височината към основата е 15 см. Намерете дължината на основата.
Нека половината основа е \(x = \frac{c}{2}\). От Питагоровата теорема:
\[ 15^2 + x^2 = 17^2 \]
\[ 225 + x^2 = 289 \implies x^2 = 64 \implies x = 8 \text{ см} \]
Цялата основа е \(c = 2x = 16\) см.
Равностранният триъгълник е частен случай на равнобедрен, при който всички страни са равни (\(b\)). За неговите основни елементи има готови формули, изведени чрез Питагорова теорема.
Височина: \( h = \frac{b\sqrt{3}}{2} \)
Лице: \( S = \frac{b^2\sqrt{3}}{4} \)
Радиус на вписана окръжност: \( r = \frac{h}{3} = \frac{b\sqrt{3}}{6} \)
Радиус на описана окръжност: \( R = \frac{2h}{3} = \frac{b\sqrt{3}}{3} \)
Лице: \( S = \frac{b^2\sqrt{3}}{4} \)
Радиус на вписана окръжност: \( r = \frac{h}{3} = \frac{b\sqrt{3}}{6} \)
Радиус на описана окръжност: \( R = \frac{2h}{3} = \frac{b\sqrt{3}}{3} \)
За равностранен триъгълник със страна \(b = 10\) см:
Височината е \(h = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\) см.
Лицето е \(S = \frac{10^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}\) см2.
Височината е \(h = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\) см.
Лицето е \(S = \frac{10^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}\) см2.
Намерете радиуса на описаната окръжност за равностранен триъгълник със страна \(b=12\) см.
Прилагаме формулата: \( R = \frac{b\sqrt{3}}{3} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \) см.
Радиусите на вписаната (\(r\)) и описаната (\(R\)) окръжности в равнобедрен триъгълник се намират чрез формули, свързващи ги с лицето и страните на триъгълника.
Радиус на описана окръжност (\(R\))
Използва се формулата \(S = \frac{abc}{4R}\). За равнобедрен триъгълник с бедра \(b\) и основа \(c\) тя е \(S = \frac{b \cdot b \cdot c}{4R}\), откъдето:\[ R = \frac{b^2c}{4S} \quad \text{или} \quad R = \frac{b^2}{2h_c} \]
Радиус на вписана окръжност (\(r\))
Използва се формулата \(S = p \cdot r\), където \(p\) е полупериметърът.\[ r = \frac{S}{p} \quad \text{където} \quad p = \frac{2b+c}{2} \]
За равнобедрен триъгълник с \(b=13\), \(c=10\), \(h_c=12\):
Лицето е \(S = \frac{c \cdot h_c}{2} = \frac{10 \cdot 12}{2} = 60\).
Полупериметърът е \(p = \frac{13+13+10}{2} = 18\).
\(R = \frac{b^2}{2h_c} = \frac{13^2}{2 \cdot 12} = \frac{169}{24}\).
\(r = \frac{S}{p} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}\).
Лицето е \(S = \frac{c \cdot h_c}{2} = \frac{10 \cdot 12}{2} = 60\).
Полупериметърът е \(p = \frac{13+13+10}{2} = 18\).
\(R = \frac{b^2}{2h_c} = \frac{13^2}{2 \cdot 12} = \frac{169}{24}\).
\(r = \frac{S}{p} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}\).
Даден е равнобедрен триъгълник с основа 16 см и височина към нея 6 см. Намерете радиуса на вписаната окръжност.
Първо намираме бедрото \(b\). От правоъгълния триъгълник с катети \(h_c=6\) и \(c/2=8\), имаме \(b^2 = 6^2 + 8^2 = 36+64=100 \implies b=10\) см.
Лицето е \(S = \frac{16 \cdot 6}{2} = 48\) см2.
Полупериметърът е \(p = \frac{10+10+16}{2} = \frac{36}{2} = 18\) см.
\(r = \frac{S}{p} = \frac{48}{18} = \frac{8}{3}\) см.
Лицето е \(S = \frac{16 \cdot 6}{2} = 48\) см2.
Полупериметърът е \(p = \frac{10+10+16}{2} = \frac{36}{2} = 18\) см.
\(r = \frac{S}{p} = \frac{48}{18} = \frac{8}{3}\) см.
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете лицето на равностранен триъгълник с височина \(h=6\) см.
От формулата \(h = \frac{b\sqrt{3}}{2}\) намираме страната \(b\):
\[ 6 = \frac{b\sqrt{3}}{2} \implies b = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \text{ см} \]
Сега намираме лицето:
\[ S = \frac{b \cdot h}{2} = \frac{4\sqrt{3} \cdot 6}{2} = 12\sqrt{3} \text{ см}^2 \]
Средна: В равнобедрен триъгълник основата е 30 см, а бедрото е 17 см. Намерете височината към бедрото.
1. Намираме височината към основата \(h_c\):
\[ h_c = \sqrt{b^2 - \left(\frac{c}{2}\right)^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289-225} = \sqrt{64} = 8 \text{ см} \]
2. Намираме лицето на триъгълника:
\[ S = \frac{c \cdot h_c}{2} = \frac{30 \cdot 8}{2} = 120 \text{ см}^2 \]
3. Изразяваме лицето чрез височината към бедрото \(h_b\):
\[ S = \frac{b \cdot h_b}{2} \implies 120 = \frac{17 \cdot h_b}{2} \]
\[ h_b = \frac{120 \cdot 2}{17} = \frac{240}{17} \text{ см} \]
Трудна: Равнобедрен триъгълник има лице \(S = 48\) см2 и основа \(c = 12\) см. Намерете радиуса на описаната около него окръжност.
1. От формулата за лице намираме височината към основата \(h_c\):
\[ S = \frac{c \cdot h_c}{2} \implies 48 = \frac{12 \cdot h_c}{2} \implies 48 = 6 h_c \implies h_c = 8 \text{ см} \]
2. Намираме бедрото \(b\) чрез Питагорова теорема. Половината основа е \(c/2=6\) см.
\[ b^2 = h_c^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \implies b = 10 \text{ см} \]
3. Използваме формулата за радиуса на описаната окръжност:
\[ R = \frac{b^2c}{4S} = \frac{10^2 \cdot 12}{4 \cdot 48} = \frac{100 \cdot 12}{192} = \frac{1200}{192} = \frac{100}{16} = 6.25 \text{ см} \]
Алтернативно: \( R = \frac{b^2}{2h_c} = \frac{10^2}{2 \cdot 8} = \frac{100}{16} = 6.25 \) см.
