55. Упражнение

Дадено: \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) – куб Равнина \( \alpha = (MNP) \), където: т. \( M \) – среда на \( AB \) т. \( N \) – среда на \( BC \) т. \( P \) – среда на \( A_1D_1 \) Търсим: \( \alpha \cap (A_1B_1C_1D_1) \) Решение: Основите на куба са успоредни: \[ (ABCD) \parallel (A_1B_1C_1D_1) \] Равнината \( \alpha \) пресича \( (ABCD) \) в правата \( MN \). Според теоремата за пресичане на две успоредни равнини с трета, пресечниците са успоредни. Следователно \( \alpha \cap (A_1B_1C_1D_1) = p \), където \( P \in p \) и \( p \parallel MN \). В \( \triangle ABC \) отсечката \( MN \) е средна отсечка ( \( M \) и \( N \) са среди). \[ \Rightarrow MN \parallel AC \] В куба \( AC \parallel A_1C_1 \), откъдето следва: \[ MN \parallel A_1C_1 \Rightarrow p \parallel A_1C_1 \] Нека правата \( p \) пресича ръба \( C_1D_1 \) в точка \( S \). В \( \triangle A_1D_1C_1 \) имаме: \( P \) – среда на \( A_1D_1 \) и \( PS \parallel A_1C_1 \). От обратната теорема за средна отсечка следва, че \( S \) е среда на \( C_1D_1 \). Пресечницата на \( \alpha \) с \( (A_1B_1C_1D_1) \) е отсечката \( PS \).

Начертайте куб в стандартна аксонометрична проекция. Върховете на долната основа са A, B, C, D, обозначени последователно обратно на часовниковата стрелка, започвайки от долния ляв ъгъл. Съответните върхове на горната основа са A_1, B_1, C_1, D_1, така че AA_1, BB_1, CC_1, DD_1 са вертикални ръбове. Видимите ръбове на куба да са плътни линии, а невидимите - пунктирани. Отбележете точка M като среда на ръба AB и точка N като среда на ръба BC. Свържете M и N с плътна линия, формирайки отсечката MN. Отбележете, че MN е средна отсечка в триъгълник ABC и е успоредна на диагонала AC. Отбележете точка P като среда на ръба A_1D_1. В равнината на горната основа A_1B_1C_1D_1, начертайте пунктирана линия, започваща от точка P, която е успоредна на диагонала A_1C_1 и пресича ръба C_1D_1 в точка S. Отбележете, че S е среда на ръба C_1D_1, тъй като PS е средна отсечка в триъгълник A_1D_1C_1. Свържете P и S с плътна линия. Отсечката PS е търсената пресечница и е успоредна на MN.

Стъпка 1: Анализ на даденото и въвеждане на означения

Нека означим с \( \alpha \) равнината, която преминава през точките \( M \), \( N \) и \( P \). По условие знаем, че: \( M \) е среда на ръба \( AB \) \( N \) е среда на ръба \( BC \) \( P \) е среда на ръба \( A_1D_1 \) Търсим пресечницата на равнината \( \alpha \) с равнината на горната основа на куба \( (A_1B_1C_1D_1) \). Тъй като точка \( P \) принадлежи едновременно на равнината \( \alpha \) и на равнината \( (A_1B_1C_1D_1) \), пресечницата на двете равнини е права, която минава през точка \( P \).

Стъпка 2: Използване на свойството на успоредните равнини

Във всеки куб равнината на долната основа \( (ABCD) \) е успоредна на равнината на горната основа \( (A_1B_1C_1D_1) \): \[ (ABCD) \parallel (A_1B_1C_1D_1) \] Равнината \( \alpha \) пресича долната основа \( (ABCD) \) в правата, определена от точките \( M \) и \( N \) (отсечката \( MN \)). Според теоремата за пресичане на две успоредни равнини с трета, пресечниците са успоредни прави. Следователно пресечницата на \( \alpha \) с \( (A_1B_1C_1D_1) \) трябва да бъде права, минаваща през \( P \) и успоредна на \( MN \).

Стъпка 3: Определяне на положението на отсечката MN

Разглеждаме триъгълника \( \triangle ABC \) в основата. Тъй като \( M \) и \( N \) са съответно среди на страните \( AB \) и \( BC \), отсечката \( MN \) е средна отсечка в този триъгълник. От свойствата на средната отсечка следва, че тя е успоредна на срещуположната страна: \[ MN \parallel AC \]

Стъпка 4: Построяване на пресечницата в горната основа

Тъй като фигурата е куб, диагоналите на горната и долната основа са успоредни: \[ AC \parallel A_1C_1 \] От \( MN \parallel AC \) и \( AC \parallel A_1C_1 \), следва че: \[ MN \parallel A_1C_1 \] Търсената пресечница минава през точка \( P \) и е успоредна на \( MN \), следователно тя е успоредна и на \( A_1C_1 \). Построяваме права през \( P \) в равнината \( (A_1B_1C_1D_1) \), която е успоредна на \( A_1C_1 \). Нека тази права пресича ръба \( C_1D_1 \) в точка \( S \). Разглеждаме \( \triangle A_1D_1C_1 \). В него точка \( P \) е среда на страната \( A_1D_1 \) и отсечката \( PS \) е успоредна на страната \( A_1C_1 \). Според обратната теорема за средна отсечка, правата пресича другата страна в нейната среда. Следователно точка \( S \) е среда на ръба \( C_1D_1 \). Търсената пресечница е правата \( PS \).

От \( (ABCD) \parallel (A_1B_1C_1D_1) \), пресечницата на \( (MNP) \) с \( (A_1B_1C_1D_1) \) минава през \( P \) и е успоредна на \( MN \). В \( \triangle ABC \) \( MN \) е средна отсечка \( \Rightarrow MN \parallel AC \). Тъй като \( AC \parallel A_1C_1 \), то търсената пресечница е права \( PS \parallel A_1C_1 \) (\( S \in C_1D_1 \)). В \( \triangle A_1D_1C_1 \) \( P \) е среда на \( A_1D_1 \) и \( PS \parallel A_1C_1 \Rightarrow S \) е среда на \( C_1D_1 \). Пресечницата е правата \( PS \), където \( S \) е среда на \( C_1D_1 \).