Избери решение на задача:
Задача 1 (безплатна)
Кратко решение
Дадено: Куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \), ръб \( AB = a \).
Търсим: \( P_{\triangle BC_1A_1} \) и \( S_{\triangle BC_1A_1} \).
Стените на куба са еднакви квадрати, следователно техните диагонали са равни:
\[ A_1B = BC_1 = A_1C_1 \implies \triangle BC_1A_1 \text{ е равностранен.} \]
От правоъгълния \( \triangle ABA_1 \) (\( \angle A = 90^\circ \)) по Питагорова теорема намираме страната на \( \triangle BC_1A_1 \):
\[ A_1B = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \]
За периметъра на \( \triangle BC_1A_1 \) получаваме:
\[ P_{\triangle BC_1A_1} = 3 \cdot A_1B = 3a\sqrt{2} \]
За лицето на равностранния \( \triangle BC_1A_1 \) (\( \angle B = 60^\circ \)) прилагаме формулата \( S = \frac{b \cdot c \cdot \sin\alpha}{2} \):
\[ S_{\triangle BC_1A_1} = \frac{A_1B \cdot BC_1 \cdot \sin 60^\circ}{2} \]
\[ S_{\triangle BC_1A_1} = \frac{a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\cancel{2}^1 a^2\sqrt{3}}{\cancel{4}_2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \]
Подробно решение
Начертайте куб в изометрична перспектива, ориентиран така, че долната основа ABCD е видимо разположена с връх A в предната лява долна част на чертежа. Върховете на долната основа да бъдат означени A, B, C, D в последователност обратно на часовниковата стрелка (A предно ляво, B предно дясно, C задно дясно, D задно ляво). Съответно, върховете на горната основа са A1, B1, C1, D1, като A1 е директно над A, B1 над B, C1 над C и D1 над D. Всички ръбове на куба са с дължина 'a'. Отбележете дължината на основния ръб AB с 'a', околния ръб AA1 с 'a' и ръба на горната основа A1D1 с 'a'. Свържете върховете B, C1 и A1 с плътни линии, формирайки триъгълник BC1A1. Оцветете (или запълнете) този триъгълник със светъл сив цвят (например lightgray или fill=gray!20), за да изпъкне ясно в пространството. Невидимите ръбове на куба (AD, DC, и DD1) да бъдат изобразени с пунктирана линия.
Стъпка 1: Анализиране на вида на триъгълника
Кубът \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) е съставен от 6 стени, които са еднакви квадрати със страна \( a \). Разглеждаме страните на търсения \( \triangle BC_1A_1 \). Те са отсечките \( A_1B \), \( BC_1 \) и \( A_1C_1 \). Всяка от тези отсечки представлява диагонал на съответната стена на куба: - \( A_1B \) е диагонал на стената \( ABB_1A_1 \). - \( BC_1 \) е диагонал на стената \( BCC_1B_1 \). - \( A_1C_1 \) е диагонал на стената \( A_1B_1C_1D_1 \). Тъй като всички стени са еднакви квадрати, техните диагонали са равни по дължина. Следователно \( A_1B = BC_1 = A_1C_1 \), което означава, че \( \triangle BC_1A_1 \) е равностранен.Стъпка 2: Намиране на дължината на страната на триъгълника
За да намерим дължината на страната на \( \triangle BC_1A_1 \), разглеждаме една от стените на куба, например квадрата \( ABB_1A_1 \). Диагоналът \( A_1B \) разделя квадрата на два еднакви правоъгълни триъгълника. Разглеждаме \( \triangle ABA_1 \) (\( \angle A = 90^\circ \)). Прилагаме Питагоровата теорема за намиране на хипотенузата \( A_1B \): \[ A_1B^2 = AB^2 + AA_1^2 \] Заместваме дължините на ръбовете с \( a \): \[ A_1B^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \] Коренуваме, за да намерим дължината на отсечката: \[ A_1B = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \] Страната на равностранния \( \triangle BC_1A_1 \) е \( a\sqrt{2} \).Стъпка 3: Изчисляване на периметъра
Периметърът на равностранния \( \triangle BC_1A_1 \) е равен на сбора от дължините на трите му равни страни. Формулата е: \[ P_{\triangle BC_1A_1} = 3 \cdot A_1B \] Заместваме намерената дължина: \[ P_{\triangle BC_1A_1} = 3 \cdot a\sqrt{2} = 3a\sqrt{2} \]Стъпка 4: Изчисляване на лицето
Тъй като \( \triangle BC_1A_1 \) е равностранен, всеки негов ъгъл е \( 60^\circ \). За да намерим лицето, използваме формулата за лице на триъгълник чрез две страни и синуса на ъгъла между тях: \[ S = \frac{b \cdot c \cdot \sin\alpha}{2} \] Прилагаме я за нашия триъгълник: \[ S_{\triangle BC_1A_1} = \frac{A_1B \cdot BC_1 \cdot \sin 60^\circ}{2} \] Заместваме \( A_1B = BC_1 = a\sqrt{2} \) и \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \): \[ S_{\triangle BC_1A_1} = \frac{a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} \] Умножаваме числителите: \[ S_{\triangle BC_1A_1} = \frac{2a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} \] \[ S_{\triangle BC_1A_1} = \frac{2a^2\sqrt{3}}{4} \] Опростяваме дробта: \[ S_{\triangle BC_1A_1} = \frac{\cancel{2}^1 a^2\sqrt{3}}{\cancel{4}_2} \] \[ S_{\triangle BC_1A_1} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \]Кратък запис на решението:
\( \triangle BC_1A_1 \) е равностранен, защото страните му са диагонали на еднаквите стени на куба.
\[ A_1B = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} \]
\[ P_{\triangle BC_1A_1} = 3 \cdot a\sqrt{2} = 3a\sqrt{2} \]
\[ S_{\triangle BC_1A_1} = \frac{(a\sqrt{2})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{2a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\cancel{2}^1 a^2\sqrt{3}}{\cancel{4}_2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \]
