15. Дотук Знаем

а)

\[ \text{ДМ}: 8 - 2x - x^2 \ge 0 \iff x^2 + 2x - 8 \le 0 \iff x \in [-4; 2] \] \[ (x-5)\sqrt{8-2x-x^2} = 0 \implies x - 5 = 0 \implies x = 5 \notin \text{ДМ} \] \[ 8 - 2x - x^2 = 0 \implies x_1 = -4 \in \text{ДМ}, \, x_2 = 2 \in \text{ДМ} \]

б)

\[ \text{ДМ}: x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1 \] \[ |x+1|\sqrt{x-1} = 0 \implies x + 1 = 0 \implies x = -1 \notin \text{ДМ} \] \[ x - 1 = 0 \implies x = 1 \in \text{ДМ} \]

в)

\[ \text{ДМ}: \begin{cases} 2-x \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases} \iff x = 2 \] \[ \sqrt{2-2} = -\sqrt{2-2} \implies 0 = 0 \implies x = 2 \]

г)

\[ \text{ДМ}: x^2 - x + 2 > 0 \text{ за } \forall x \in \mathbb{R} \] \[ (\sqrt{x^2-x+2})^2 = 2^2 \implies x^2 - x + 2 = 4 \implies x^2 - x - 2 = 0 \] \[ x_1 = -1, \quad x_2 = 2 \]

д)

\[ \sqrt{3x^3+x^2+1} = -1 < 0 \implies \text{няма решение} \]

е)

\[ \begin{cases} -x \ge 0 \\ 2x^2 + x - 2 = (-x)^2 \end{cases} \iff \begin{cases} x \le 0 \\ x^2 + x - 2 = 0 \end{cases} \] \[ (x+2)(x-1) = 0 \implies x_1 = -2 \le 0, \, x_2 = 1 > 0 \implies x = -2 \]

ж)

\[ \sqrt{3x+1} = 1 + \sqrt{2x-1}, \quad \text{ДМ}: x \ge \frac{1}{2} \] \[ 3x + 1 = (1 + \sqrt{2x-1})^2 = 1 + 2\sqrt{2x-1} + 2x - 1 \] \[ x + 1 = 2\sqrt{2x-1} \implies (x+1)^2 = 4(2x-1) \implies x^2 + 2x + 1 = 8x - 4 \] \[ x^2 - 6x + 5 = 0 \implies x_1 = 1, \quad x_2 = 5 \]

з)

\[ \sqrt{2x-6} = 5 - \sqrt{x+4}, \quad \text{ДМ}: x \ge 3 \] \[ 2x - 6 = (5 - \sqrt{x+4})^2 = 25 - 10\sqrt{x+4} + x + 4 \] \[ 10\sqrt{x+4} = 35 - x \implies 100(x+4) = (35-x)^2 \] \[ 100x + 400 = 1225 - 70x + x^2 \implies x^2 - 170x + 825 = 0 \] \[ x_1 = 5, \quad x_2 = 165 \] \[ \text{Проверка}: \sqrt{10-6} + \sqrt{5+4} = 2 + 3 = 5 \implies x = 5 \] \[ \sqrt{330-6} + \sqrt{165+4} = 18 + 13 = 31 \ne 5 \]

и)

\[ \text{Полагаме } t = \sqrt{\frac{x^2+3}{3x^2+1}} > 0 \] \[ t + \frac{1}{t} = 2 \implies t^2 - 2t + 1 = 0 \implies (t-1)^2 = 0 \implies t = 1 \] \[ \frac{x^2+3}{3x^2+1} = 1 \implies x^2 + 3 = 3x^2 + 1 \implies 2x^2 = 2 \implies x_{1,2} = \pm 1 \]

к)

\[ \sqrt{-4x^2+8x} = 4 \implies -4x^2 + 8x = 16 \implies x^2 - 2x + 4 = 0 \] \[ D = 4 - 16 = -12 < 0 \implies \text{няма реални корени} \]

л)

\[ \text{Полагаме } t = \sqrt{x-x^2} \ge 0 \] \[ t^2 + 3 = 4t \implies t^2 - 4t + 3 = 0 \implies t_1 = 1, \, t_2 = 3 \] \[ \sqrt{x-x^2} = 1 \implies x^2 - x + 1 = 0 \implies D = -3 < 0 \] \[ \sqrt{x-x^2} = 3 \implies x^2 - x + 9 = 0 \implies D = -35 < 0 \] \[ \implies \text{няма решение} \]

а) \( (x-5)\sqrt{8-2x-x^2} = 0 \)

Стъпка 1: Определяне на дефиниционното множество (ДМ)

Подкоренната величина трябва да бъде неотрицателна: \[ 8 - 2x - x^2 \ge 0 \iff x^2 + 2x - 8 \le 0 \] Корените на съответното квадратно уравнение \( x^2 + 2x - 8 = 0 \) са \( x_1 = -4 \) и \( x_2 = 2 \). Следователно \( \text{ДМ}: x \in [-4; 2] \).

Стъпка 2: Решаване на уравнението

Произведението е равно на нула, когато поне един от множителите е нула: \[ x - 5 = 0 \implies x_1 = 5 \notin \text{ДМ} \] \[ \sqrt{8 - 2x - x^2} = 0 \implies 8 - 2x - x^2 = 0 \implies x_2 = -4 \in \text{ДМ}, \, x_3 = 2 \in \text{ДМ} \] Следователно решенията са \( x = -4 \) и \( x = 2 \).

б) \( |x+1|\sqrt{x-1} = 0 \)

Стъпка 1: Определяне на дефиниционното множество (ДМ)

\[ x - 1 \ge 0 \implies \text{ДМ}: x \in [1; +\infty) \]

Стъпка 2: Решаване на уравнението

\[ |x+1| = 0 \implies x = -1 \notin \text{ДМ} \] \[ \sqrt{x-1} = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1 \in \text{ДМ} \] Единственото решение е \( x = 1 \).

в) \( \sqrt{2-x} = -\sqrt{x-2} \)

Стъпка 1: Определяне на дефиниционното множество (ДМ)

Подкоренните величини трябва едновременно да бъдат неотрицателни: \[ \begin{cases} 2 - x \ge 0 \\ x - 2 \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \le 2 \\ x \ge 2 \end{cases} \implies x = 2 \]

Стъпка 2: Проверка на допустимата стойност

Заместваме \( x = 2 \): \[ \sqrt{2-2} = -\sqrt{2-2} \implies 0 = 0 \] Следователно решението е \( x = 2 \).

г) \( \sqrt{x^2-x+2} = 2 \)

Стъпка 1: Определяне на дефиниционното множество (ДМ)

Дискриминантата на \( x^2 - x + 2 \) е \( D = 1 - 8 = -7 < 0 \), а коефициентът пред \( x^2 \) е \( 1 > 0 \). Следователно \( x^2 - x + 2 > 0 \) за всяко реално \( x \). \( \text{ДМ}: x \in (-\infty; +\infty) \).

Стъпка 2: Повдигане на квадрат

\[ x^2 - x + 2 = 2^2 \implies x^2 - x + 2 = 4 \implies x^2 - x - 2 = 0 \] Корените са \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = 2 \). И двата корена са от ДМ.

д) \( \sqrt{3x^3+x^2+1} = -1 \)

Стъпка 1: Анализ на уравнението

За всяко допустимо \( x \), квадратният корен приема неотрицателни стойности: \[ \sqrt{3x^3+x^2+1} \ge 0 \] Тъй като дясната страна е \( -1 < 0 \), уравнението няма реални корени.

е) \( \sqrt{2x^2+x-2} = -x \)

Стъпка 1: Еквивалентна система

Уравнението е еквивалентно на: \[ \begin{cases} -x \ge 0 \\ 2x^2 + x - 2 = (-x)^2 \end{cases} \iff \begin{cases} x \le 0 \\ 2x^2 + x - 2 = x^2 \end{cases} \]

Стъпка 2: Решаване на квадратното уравнение

\[ x^2 + x - 2 = 0 \implies x_1 = -2, \, x_2 = 1 \] От условието \( x \le 0 \) остава само коренът \( x = -2 \).

ж) \( \sqrt{3x+1} - \sqrt{2x-1} = 1 \)

Стъпка 1: Преобразуване и ДМ

Прехвърляме единия корен: \[ \sqrt{3x+1} = 1 + \sqrt{2x-1} \] Условията за подкоренните величини са \( 3x+1 \ge 0 \) и \( 2x-1 \ge 0 \implies x \ge \frac{1}{2} \).

Стъпка 2: Повдигане на квадрат

\[ 3x + 1 = 1 + 2\sqrt{2x-1} + 2x - 1 \] \[ 3x + 1 = 2x + 2\sqrt{2x-1} \implies x + 1 = 2\sqrt{2x-1} \] Тъй като \( x \ge \frac{1}{2} \), двете страни са положителни. Повдигаме отново на квадрат: \[ (x+1)^2 = 4(2x-1) \implies x^2 + 2x + 1 = 8x - 4 \implies x^2 - 6x + 5 = 0 \] Корените са \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = 5 \). Проверка в първоначалното уравнение: За \( x = 1 \): \( \sqrt{4} - \sqrt{1} = 2 - 1 = 1 \) (вярно). За \( x = 5 \): \( \sqrt{16} - \sqrt{9} = 4 - 3 = 1 \) (вярно). Следователно решенията са \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = 5 \).

з) \( \sqrt{2x-6} + \sqrt{x+4} = 5 \)

Стъпка 1: Преобразуване и ДМ

\( \text{ДМ}: 2x-6 \ge 0 \implies x \ge 3 \) и \( x+4 \ge 0 \implies x \ge -4 \), откъдето \( x \ge 3 \). Изолираме единия корен: \[ \sqrt{2x-6} = 5 - \sqrt{x+4} \]

Стъпка 2: Повдигане на квадрат

\[ 2x - 6 = 25 - 10\sqrt{x+4} + x + 4 \] \[ 2x - 6 = x + 29 - 10\sqrt{x+4} \implies 10\sqrt{x+4} = 35 - x \] Повдигаме на квадрат: \[ 100(x+4) = (35-x)^2 \implies 100x + 400 = 1225 - 70x + x^2 \] \[ x^2 - 170x + 825 = 0 \] Корените са: \[ x_{1,2} = \frac{170 \pm \sqrt{28900 - 3300}}{2} = \frac{170 \pm \sqrt{25600}}{2} = \frac{170 \pm 160}{2} \] \[ x_1 = 5, \quad x_2 = 165 \] Проверка: За \( x = 5 \): \( \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5 \) (вярно). За \( x = 165 \): \( \sqrt{324} + \sqrt{169} = 18 + 13 = 31 \ne 5 \) (чужд корен). Следователно решението е \( x = 5 \).

и) \( \sqrt{\frac{x^2+3}{3x^2+1}} + \sqrt{\frac{3x^2+1}{x^2+3}} = 2 \)

Стъпка 1: Полагане

Полагаме \( t = \sqrt{\frac{x^2+3}{3x^2+1}} > 0 \). Тогава \( \sqrt{\frac{3x^2+1}{x^2+3}} = \frac{1}{t} \).

Стъпка 2: Решаване относно \( t \)

\[ t + \frac{1}{t} = 2 \implies t^2 - 2t + 1 = 0 \implies (t-1)^2 = 0 \implies t = 1 \]

Стъпка 3: Връщане към променливата \( x \)

\[ \sqrt{\frac{x^2+3}{3x^2+1}} = 1 \implies \frac{x^2+3}{3x^2+1} = 1 \implies x^2 + 3 = 3x^2 + 1 \] \[ 2x^2 = 2 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \]

к) \( \sqrt{-x^2+2x-3x^2+6x} = 4 \)

Стъпка 1: Привеждане на подкоренния израз

Привеждаме подобните едночлени под корена: \[ -x^2 + 2x - 3x^2 + 6x = -4x^2 + 8x \] Уравнението става: \[ \sqrt{-4x^2+8x} = 4 \]

Стъпка 2: Повдигане на квадрат и решаване

\[ -4x^2 + 8x = 16 \implies -4x^2 + 8x - 16 = 0 \implies x^2 - 2x + 4 = 0 \] Дискриминантата е \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0 \). Уравнението няма реални корени.

л) \( x - x^2 + 3 = 4\sqrt{x-x^2} \)

Стъпка 1: Полагане

Полагаме \( t = \sqrt{x-x^2} \ge 0 \). Тогава \( x - x^2 = t^2 \).

Стъпка 2: Решаване на уравнението за \( t \)

\[ t^2 + 3 = 4t \implies t^2 - 4t + 3 = 0 \implies (t-1)(t-3) = 0 \] Получаваме \( t_1 = 1 \ge 0 \) и \( t_2 = 3 \ge 0 \).

Стъпка 3: Връщане към \( x \)

1) За \( t = 1 \): \[ \sqrt{x-x^2} = 1 \implies x - x^2 = 1 \implies x^2 - x + 1 = 0 \] Дискриминантата е \( D = 1 - 4 = -3 < 0 \implies \) няма реални корени. 2) За \( t = 3 \): \[ \sqrt{x-x^2} = 3 \implies x - x^2 = 9 \implies x^2 - x + 9 = 0 \] Дискриминантата е \( D = 1 - 36 = -35 < 0 \implies \) няма реални корени. Следователно уравнението няма реални корени.

а)

\( \text{ДМ}: x \in [-4; 2] \implies x = -4, \, x = 2 \)

б)

\( \text{ДМ}: x \ge 1 \implies x = 1 \)

в)

\( \text{ДМ}: x = 2 \implies x = 2 \)

г)

\( x^2 - x + 2 = 4 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies x_1 = -1, \, x_2 = 2 \)

д)

\( \sqrt{\dots} = -1 < 0 \implies \emptyset \)

е)

\( 2x^2+x-2 = x^2, \, x \le 0 \implies x^2+x-2=0 \implies x = -2 \)

ж)

\( (x+1)^2 = 4(2x-1) \implies x^2-6x+5=0 \implies x_1 = 1, \, x_2 = 5 \)

з)

\( 100(x+4) = (35-x)^2 \implies x^2-170x+825=0 \implies x = 5 \)

и)

\( t + \frac{1}{t} = 2 \implies t = 1 \implies x^2+3 = 3x^2+1 \implies x = \pm 1 \)

к)

\( -4x^2+8x=16 \implies x^2-2x+4=0 \implies D < 0 \implies \emptyset \)

л)

\( t^2-4t+3=0 \implies t \in \{1; 3\} \implies x^2-x+1=0 \cup x^2-x+9=0 \implies \emptyset \)