Най-важното от урока
Кога коя формула да използваме?
- Дадени страна и височина: \( S = \frac{a \cdot h_a}{2} \)
- Дадени две страни и ъгъл между тях: \( S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma \)
- Дадени три страни: Херонова формула \( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \)
- Свързано с вписана окръжност: \( S = p \cdot r \)
- Свързано с описана окръжност: \( S = \frac{abc}{4R} \)
Лицето на триъгълник е равно на половината от произведението на една от страните му и височината, спусната към нея.
\[ S = \frac{a \cdot h_a}{2} = \frac{b \cdot h_b}{2} = \frac{c \cdot h_c}{2} \]
където \(a, b, c\) са страните, а \(h_a, h_b, h_c\) са съответните височини.
Даден е триъгълник със страна \(a = 10\) cm и височина към нея \(h_a = 7\) cm. Лицето му е:
\[ S = \frac{10 \cdot 7}{2} = \frac{70}{2} = 35 \text{ cm}^2 \]
Лицето на триъгълник е \(42 \text{ cm}^2\), а една от страните му е \(12\) cm. Намерете дължината на височината към тази страна.
От \(S = \frac{c \cdot h_c}{2}\) следва \(h_c = \frac{2S}{c}\).
\[ h_c = \frac{2 \cdot 42}{12} = \frac{84}{12} = 7 \text{ cm} \]
Лицето на триъгълник е равно на полупроизведението на две от страните му и синуса на ъгъла между тях.
\[ S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma = \frac{1}{2}bc \sin \alpha = \frac{1}{2}ac \sin \beta \]
Намерете лицето на триъгълник по дадени \(b = 6\sqrt{2}\) cm, \(c = 8\) cm и \(\alpha = 135^\circ\).
\[ S = \frac{1}{2} bc \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \sin 135^\circ \]
Тъй като \(\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), получаваме:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 24 \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = 24 \cdot \frac{2}{2} = 24 \text{ cm}^2 \]
Намерете лицето на триъгълник със страни \(a = 10\) cm, \(c = 14\) cm и ъгъл между тях \(\beta = 30^\circ\).
\[ S = \frac{1}{2}ac \sin \beta = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 14 \cdot \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot 140 \cdot \frac{1}{2} = 35 \text{ cm}^2 \]
Когато са известни дължините на трите страни на триъгълника, лицето му може да се намери с Хероновата формула.
\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]
където \(a, b, c\) са страните, а \(p = \frac{a+b+c}{2}\) е полупериметърът.
Намерете лицето на триъгълник със страни \(a = 5\) cm, \(b = 6\) cm, \(c = 7\) cm.
1. Намираме полупериметъра: \(p = \frac{5+6+7}{2} = \frac{18}{2} = 9\) cm.
2. Прилагаме формулата: \[ S = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6} \text{ cm}^2 \]
1. Намираме полупериметъра: \(p = \frac{5+6+7}{2} = \frac{18}{2} = 9\) cm.
2. Прилагаме формулата: \[ S = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6} \text{ cm}^2 \]
Намерете лицето на триъгълник със страни 13 cm, 14 cm и 15 cm.
1. Полупериметър: \(p = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21\) cm.
2. Лице: \(S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84 \text{ cm}^2\).
2. Лице: \(S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84 \text{ cm}^2\).
Лицето на триъгълник може да бъде изразено чрез неговия полупериметър и радиуса на вписаната окръжност, или чрез страните му и радиуса на описаната окръжност.
\[ S = p \cdot r \]
където \(p\) е полупериметърът, а \(r\) е радиусът на вписаната окръжност.
\[ S = \frac{abc}{4R} \]
където \(a, b, c\) са страните, а \(R\) е радиусът на описаната окръжност.
Периметърът на триъгълник е 84 cm, а радиусът на вписаната му окръжност е 8 cm. Намерете лицето.
1. Полупериметър: \(p = \frac{P}{2} = \frac{84}{2} = 42\) cm.
2. Лице: \(S = p \cdot r = 42 \cdot 8 = 336 \text{ cm}^2\).
1. Полупериметър: \(p = \frac{P}{2} = \frac{84}{2} = 42\) cm.
2. Лице: \(S = p \cdot r = 42 \cdot 8 = 336 \text{ cm}^2\).
Страните на триъгълник са 13 cm, 14 cm и 15 cm. Вече изчислихме, че лицето му е 84 cm\(^2\). Намерете радиуса \(R\) на описаната около него окръжност.
От \(S = \frac{abc}{4R}\) изразяваме \(R\):
\[ R = \frac{abc}{4S} = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{2730}{336} = 8.125 \text{ cm} \]
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете лицето на правоъгълен триъгълник с катети 5 cm и 12 cm.
При правоъгълен триъгълник катетите са страна и височина един към друг.
\[ S = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{5 \cdot 12}{2} = 30 \text{ cm}^2 \]
Средна: Даден е триъгълник със страни \(a=17\) cm, \(b=25\) cm, \(c=28\) cm. Намерете лицето на триъгълника и височината към страната \(b\).
1. Намираме лицето по Херонова формула.
\( p = \frac{17+25+28}{2} = \frac{70}{2} = 35 \) cm.
\[ S = \sqrt{35(35-17)(35-25)(35-28)} = \sqrt{35 \cdot 18 \cdot 10 \cdot 7} = \sqrt{44100} = 210 \text{ cm}^2 \]
2. От основната формула \( S = \frac{b \cdot h_b}{2} \) намираме \(h_b\):
\[ h_b = \frac{2S}{b} = \frac{2 \cdot 210}{25} = \frac{420}{25} = 16.8 \text{ cm} \]
Трудна: Две страни на триъгълник са с дължини 8 cm и 15 cm, а лицето му е \(30\sqrt{3}\) cm\(^2\). Намерете възможните стойности за ъгъла между тези две страни.
Нека \(a=8\), \(b=15\) и \(\gamma\) е ъгълът между тях. Използваме формулата \(S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma\).
\[ 30\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 \cdot \sin \gamma \]
\[ 30\sqrt{3} = 60 \cdot \sin \gamma \]
\[ \sin \gamma = \frac{30\sqrt{3}}{60} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
В интервала \((0^\circ, 180^\circ)\) има два ъгъла с такъв синус:
\[ \gamma_1 = 60^\circ \quad \text{и} \quad \gamma_2 = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \]
И двете стойности са възможни.
