Най-важното от урока
Опростяване: Използвай формулите за съкратено умножение. Пример: \((\sqrt{x}+1)^2 = x+2\sqrt{x}+1\).
Рационализиране: Премахни корените от знаменателя, като умножиш числителя и знаменателя със спрегнатия израз. Пример: за \(\frac{2}{\sqrt{5}-1}\) умножаваш с \(\sqrt{5}+1\).
Допустими стойности: Винаги проверявай две неща: изразът под корен да е \(\ge 0\) и знаменателят да е \(\ne 0\).
Рационализиране: Премахни корените от знаменателя, като умножиш числителя и знаменателя със спрегнатия израз. Пример: за \(\frac{2}{\sqrt{5}-1}\) умножаваш с \(\sqrt{5}+1\).
Допустими стойности: Винаги проверявай две неща: изразът под корен да е \(\ge 0\) и знаменателят да е \(\ne 0\).
Ирационални изрази се опростяват, като се прилагат формулите за съкратено умножение. Ключови са:
- \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\)
- \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\)
Не забравяй, че \((\sqrt{a})^2 = a\) за \(a \ge 0\).
Да се опрости изразът \((3+\sqrt{x+2})(3-\sqrt{x+2})\).
Прилагаме формулата \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\): \[ (3+\sqrt{x+2})(3-\sqrt{x+2}) = 3^2 - (\sqrt{x+2})^2 = 9 - (x+2) = 9 - x - 2 = 7-x \]
Прилагаме формулата \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\): \[ (3+\sqrt{x+2})(3-\sqrt{x+2}) = 3^2 - (\sqrt{x+2})^2 = 9 - (x+2) = 9 - x - 2 = 7-x \]
Опростете израза \((\sqrt{7}-2)^2\).
Прилагаме формулата \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\):
\[ (\sqrt{7}-2)^2 = (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 2 + 2^2 = 7 - 4\sqrt{7} + 4 = 11 - 4\sqrt{7} \]
Два ирационални израза, чието произведение е рационален израз (т.е. не съдържа корен), се наричат спрегнати.
- Спрегнатият израз на \(2-\sqrt{7}\) е \(2+\sqrt{7}\).
Тяхното произведение е \((2-\sqrt{7})(2+\sqrt{7}) = 2^2 - (\sqrt{7})^2 = 4-7 = -3\), което е рационално число. - Спрегнатият израз на \(\sqrt{5}+\sqrt{2}\) е \(\sqrt{5}-\sqrt{2}\).
Тяхното произведение е \((\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5-2 = 3\).
Намерете спрегнатия израз на \(\sqrt{x}-4\) и пресметнете произведението им.
Спрегнатият израз е \(\sqrt{x}+4\).
Произведението е \((\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+4) = (\sqrt{x})^2 - 4^2 = x - 16\).
Произведението е \((\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+4) = (\sqrt{x})^2 - 4^2 = x - 16\).
Процесът на премахване на радикал (корен) от знаменателя на една дроб се нарича рационализиране. Това се постига чрез умножаване на числителя и знаменателя със спрегнатия израз на знаменателя.
- Ако знаменателят е от вида \(\sqrt{b}\), умножаваме с \(\sqrt{b}\): \( \frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b} \)
- Ако знаменателят е от вида \(\sqrt{b} \pm \sqrt{c}\), умножаваме със спрегнатия му израз \(\sqrt{b} \mp \sqrt{c}\): \( \frac{a}{\sqrt{b} \pm \sqrt{c}} = \frac{a(\sqrt{b} \mp \sqrt{c})}{b-c} \)
- Ако знаменателят е от вида \(b \pm \sqrt{c}\), умножаваме със спрегнатия му израз \(b \mp \sqrt{c}\): \( \frac{a}{b \pm \sqrt{c}} = \frac{a(b \mp \sqrt{c})}{b^2-c} \)
Да се рационализира знаменателят на \(\frac{12}{3-\sqrt{5}}\).
Умножаваме числителя и знаменателя със спрегнатия израз на знаменателя, който е \(3+\sqrt{5}\): \[ \frac{12}{3-\sqrt{5}} = \frac{12(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} = \frac{12(3+\sqrt{5})}{3^2-(\sqrt{5})^2} = \frac{12(3+\sqrt{5})}{9-5} = \frac{12(3+\sqrt{5})}{4} = 3(3+\sqrt{5}) \]
Умножаваме числителя и знаменателя със спрегнатия израз на знаменателя, който е \(3+\sqrt{5}\): \[ \frac{12}{3-\sqrt{5}} = \frac{12(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} = \frac{12(3+\sqrt{5})}{3^2-(\sqrt{5})^2} = \frac{12(3+\sqrt{5})}{9-5} = \frac{12(3+\sqrt{5})}{4} = 3(3+\sqrt{5}) \]
Рационализирайте знаменателя на дробата \(\frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}\).
Умножаваме със спрегнатия израз \(\sqrt{7}+\sqrt{5}\):
\[ \frac{4(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})} = \frac{4(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{7-5} = \frac{4(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{2} = 2(\sqrt{7}+\sqrt{5}) \]
Допустимите стойности на променливата са всички числа, за които изразът има смисъл. За ирационални изрази трябва да се спазват две основни правила:
- Изразът под квадратен корен трябва да бъде неотрицателен (\(\ge 0\)).
- Знаменателят на всяка дроб трябва да бъде различен от нула (\(\ne 0\)).
Намерете ДС за израза \(A = \frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}\).
Трябва да са изпълнени едновременно условията:
Общото решение (сечението) на \(x \ge -2\) и \(x \ge 0\) е \(x \ge 0\).
Следователно ДС е \(x \in [0; +\infty)\).
Трябва да са изпълнени едновременно условията:
- \(x+2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2\)
- \(x \ge 0\)
- \(\sqrt{x+2}+\sqrt{x} \ne 0\) (Това е вярно за всяко \(x \ge 0\), тъй като сумата на два корена е 0 само ако и двата са 0, което е невъзможно тук).
Следователно ДС е \(x \in [0; +\infty)\).
Намерете допустимите стойности за израза \(\frac{x}{\sqrt{x-3}}\).
1. Изразът под корена трябва да е неотрицателен: \(x-3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3\).
2. Знаменателят трябва да е различен от нула: \(\sqrt{x-3} \ne 0 \Rightarrow x-3 \ne 0 \Rightarrow x \ne 3\).
Като обединим двете условия (\(x \ge 3\) и \(x \ne 3\)), получаваме \(x > 3\).
Отговор: ДС: \(x \in (3; +\infty)\).
2. Знаменателят трябва да е различен от нула: \(\sqrt{x-3} \ne 0 \Rightarrow x-3 \ne 0 \Rightarrow x \ne 3\).
Като обединим двете условия (\(x \ge 3\) и \(x \ne 3\)), получаваме \(x > 3\).
Отговор: ДС: \(x \in (3; +\infty)\).
Задачи за упражнение
Лесна: Рационализирайте знаменателя на дробата \(\frac{15}{\sqrt{3}}\).
\[ \frac{15}{\sqrt{3}} = \frac{15 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3} \]
Средна: Опростете израза \(A = \frac{x-9}{\sqrt{x}+3}\) и намерете допустимите му стойности.
Допустими стойности (ДС):
1. Под корена: \(x \ge 0\).
2. Знаменател: \(\sqrt{x}+3 \ne 0\). Това условие е винаги изпълнено при \(x \ge 0\).
Следователно ДС: \(x \ge 0\).
Опростяване:
Разлагаме числителя по формулата \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\): \[ A = \frac{(\sqrt{x})^2 - 3^2}{\sqrt{x}+3} = \frac{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}{\sqrt{x}+3} = \sqrt{x}-3 \]
1. Под корена: \(x \ge 0\).
2. Знаменател: \(\sqrt{x}+3 \ne 0\). Това условие е винаги изпълнено при \(x \ge 0\).
Следователно ДС: \(x \ge 0\).
Опростяване:
Разлагаме числителя по формулата \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\): \[ A = \frac{(\sqrt{x})^2 - 3^2}{\sqrt{x}+3} = \frac{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}{\sqrt{x}+3} = \sqrt{x}-3 \]
Трудна: Намерете ДС и опростете израза \(B = \frac{4(x^2+5)}{\sqrt{2x^2+6}+\sqrt{x^2+1}}\).
Допустими стойности (ДС):
1. Под първия корен: \(2x^2+6 \ge 0\). \(2x^2 \ge -6\). Това е вярно за всяко реално число \(x\).
2. Под втория корен: \(x^2+1 \ge 0\). \(x^2 \ge -1\). Това също е вярно за всяко реално число \(x\).
3. Знаменателят \(\sqrt{2x^2+6}+\sqrt{x^2+1}\) е сума от два положителни корена и никога не е 0.
Следователно ДС: всяко реално число \(x \in (-\infty; +\infty)\).
Опростяване (рационализиране):
Умножаваме със спрегнатия израз \(\sqrt{2x^2+6}-\sqrt{x^2+1}\): \[ B = \frac{4(x^2+5)(\sqrt{2x^2+6}-\sqrt{x^2+1})}{(\sqrt{2x^2+6}+\sqrt{x^2+1})(\sqrt{2x^2+6}-\sqrt{x^2+1})} \] \[ B = \frac{4(x^2+5)(\sqrt{2x^2+6}-\sqrt{x^2+1})}{(2x^2+6)-(x^2+1)} = \frac{4(x^2+5)(\sqrt{2x^2+6}-\sqrt{x^2+1})}{2x^2+6-x^2-1} \] \[ B = \frac{4(x^2+5)(\sqrt{2x^2+6}-\sqrt{x^2+1})}{x^2+5} = 4(\sqrt{2x^2+6}-\sqrt{x^2+1}) \]
1. Под първия корен: \(2x^2+6 \ge 0\). \(2x^2 \ge -6\). Това е вярно за всяко реално число \(x\).
2. Под втория корен: \(x^2+1 \ge 0\). \(x^2 \ge -1\). Това също е вярно за всяко реално число \(x\).
3. Знаменателят \(\sqrt{2x^2+6}+\sqrt{x^2+1}\) е сума от два положителни корена и никога не е 0.
Следователно ДС: всяко реално число \(x \in (-\infty; +\infty)\).
Опростяване (рационализиране):
Умножаваме със спрегнатия израз \(\sqrt{2x^2+6}-\sqrt{x^2+1}\): \[ B = \frac{4(x^2+5)(\sqrt{2x^2+6}-\sqrt{x^2+1})}{(\sqrt{2x^2+6}+\sqrt{x^2+1})(\sqrt{2x^2+6}-\sqrt{x^2+1})} \] \[ B = \frac{4(x^2+5)(\sqrt{2x^2+6}-\sqrt{x^2+1})}{(2x^2+6)-(x^2+1)} = \frac{4(x^2+5)(\sqrt{2x^2+6}-\sqrt{x^2+1})}{2x^2+6-x^2-1} \] \[ B = \frac{4(x^2+5)(\sqrt{2x^2+6}-\sqrt{x^2+1})}{x^2+5} = 4(\sqrt{2x^2+6}-\sqrt{x^2+1}) \]
