45. Формули За Тригонометрични Функции От Сбор И Разлика На Два Ъгъла Упражнение

\[ \alpha \in \left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right) \Rightarrow \cos \alpha < 0 \] \[ \cos \alpha = -\sqrt{1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5} \] \[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{-\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = \frac{4}{3} \] \[ \operatorname{cotg} \alpha = \frac{3}{4} \]

а)

\[ \sin \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right) = \sin \alpha \cdot \cos \frac{\pi}{6} + \cos \alpha \cdot \sin \frac{\pi}{6} \] \[ \sin \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right) = \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{4\sqrt{3}}{10} - \frac{3}{10} = -\frac{4\sqrt{3} + 3}{10} \]

б)

\[ \cos \left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right) = \cos \alpha \cdot \cos \frac{\pi}{4} + \sin \alpha \cdot \sin \frac{\pi}{4} \] \[ \cos \left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right) = \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{3\sqrt{2}}{10} - \frac{4\sqrt{2}}{10} = -\frac{7\sqrt{2}}{10} \]

в)

\[ \operatorname{tg}\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \frac{\pi}{3}}{1 - \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi}{3}} = \frac{\frac{4}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{4}{3}\cdot\sqrt{3}} \] \[ \operatorname{tg}\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\frac{4 + 3\sqrt{3}}{\cancel{3}}}{\frac{3 - 4\sqrt{3}}{\cancel{3}}} = \frac{4 + 3\sqrt{3}}{3 - 4\sqrt{3}} \] \[ \operatorname{tg}\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right) = \frac{(4 + 3\sqrt{3})(3 + 4\sqrt{3})}{(3 - 4\sqrt{3})(3 + 4\sqrt{3})} = \frac{12 + 16\sqrt{3} + 9\sqrt{3} + 36}{9 - 48} = -\frac{48 + 25\sqrt{3}}{39} \]

г)

\[ \operatorname{cotg}\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\operatorname{cotg} \alpha \cdot \operatorname{cotg} \frac{\pi}{6} + 1}{\operatorname{cotg} \frac{\pi}{6} - \operatorname{cotg} \alpha} = \frac{\frac{3}{4}\cdot\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - \frac{3}{4}} \] \[ \operatorname{cotg}\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\frac{3\sqrt{3} + 4}{\cancel{4}}}{\frac{4\sqrt{3} - 3}{\cancel{4}}} = \frac{3\sqrt{3} + 4}{4\sqrt{3} - 3} \] \[ \operatorname{cotg}\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{(3\sqrt{3} + 4)(4\sqrt{3} + 3)}{(4\sqrt{3} - 3)(4\sqrt{3} + 3)} = \frac{36 + 9\sqrt{3} + 16\sqrt{3} + 12}{48 - 9} = \frac{48 + 25\sqrt{3}}{39} \]

Стъпка 1: Намиране на стойностите на останалите тригонометрични функции за ъгъл \( \alpha \)

За да пресметнем търсените изрази, първо трябва да намерим стойностите на \( \cos \alpha \), \( \operatorname{tg} \alpha \) и \( \operatorname{cotg} \alpha \). Дадено е, че \( \alpha \in \left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right) \), което означава, че ъгълът е в трети квадрант. В трети квадрант косинусът е отрицателен, а тангенсът и котангенсът са положителни: \[ \cos \alpha < 0 \] Използваме основното тригонометрично тъждество, за да намерим \( \cos \alpha \): \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} \] \[ \cos \alpha = -\sqrt{1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2} \] \[ \cos \alpha = -\sqrt{1 - \frac{16}{25}} \] \[ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5} \] Намираме \( \operatorname{tg} \alpha \) и \( \operatorname{cotg} \alpha \): \[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = \frac{4}{3} \] \[ \operatorname{cotg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{3}{4} \]

а) \( \sin \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right) \)

Стъпка 2: Прилагане на формулата за синус от сбор на два ъгъла

Използваме формулата \( \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \) и стойностите за стандартния ъгъл \( \frac{\pi}{6} \): \[ \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Заместваме известните стойности в израза: \[ \sin \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right) = \sin \alpha \cdot \cos \frac{\pi}{6} + \cos \alpha \cdot \sin \frac{\pi}{6} \] \[ \sin \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right) = \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{1}{2} \] \[ \sin \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{4\sqrt{3}}{10} - \frac{3}{10} = -\frac{4\sqrt{3} + 3}{10} \]

б) \( \cos \left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right) \)

Стъпка 3: Прилагане на формулата за косинус от разлика на два ъгъла

Използваме формулата \( \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \) и стойностите за стандартния ъгъл \( \frac{\pi}{4} \): \[ \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Заместваме: \[ \cos \left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right) = \cos \alpha \cdot \cos \frac{\pi}{4} + \sin \alpha \cdot \sin \frac{\pi}{4} \] \[ \cos \left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right) = \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \cos \left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{3\sqrt{2}}{10} - \frac{4\sqrt{2}}{10} = -\frac{7\sqrt{2}}{10} \]

в) \( \operatorname{tg}\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right) \)

Стъпка 4: Прилагане на формулата за тангенс от сбор на два ъгъла

Използваме формулата \( \operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta}{1 - \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta} \) и стойността \( \operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \): \[ \operatorname{tg}\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \frac{\pi}{3}}{1 - \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \frac{\pi}{3}} \] \[ \operatorname{tg}\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\frac{4}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{4}{3}\cdot\sqrt{3}} \] Привеждаме числителя и знаменателя под общ знаменател: \[ \operatorname{tg}\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\frac{4 + 3\sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - 4\sqrt{3}}{3}} \] Съкращаваме знаменателите: \[ \operatorname{tg}\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right) = \frac{4 + 3\sqrt{3}}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}}{3 - 4\sqrt{3}} = \frac{4 + 3\sqrt{3}}{3 - 4\sqrt{3}} \] Рационализираме знаменателя, като умножим числителя и знаменателя спрегнатия израз \( (3 + 4\sqrt{3}) \): \[ \operatorname{tg}\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right) = \frac{(4 + 3\sqrt{3})(3 + 4\sqrt{3})}{(3 - 4\sqrt{3})(3 + 4\sqrt{3})} \] \[ \operatorname{tg}\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right) = \frac{12 + 16\sqrt{3} + 9\sqrt{3} + 36}{3^2 - (4\sqrt{3})^2} \] \[ \operatorname{tg}\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right) = \frac{48 + 25\sqrt{3}}{9 - 48} = \frac{48 + 25\sqrt{3}}{-39} = -\frac{48 + 25\sqrt{3}}{39} \]

г) \( \operatorname{cotg}\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right) \)

Стъпка 5: Прилагане на формулата за котангенс от разлика на два ъгъла

Използваме формулата \( \operatorname{cotg}(\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{cotg} \alpha \operatorname{cotg} \beta + 1}{\operatorname{cotg} \beta - \operatorname{cotg} \alpha} \) и \( \operatorname{cotg} \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} \): \[ \operatorname{cotg}\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\operatorname{cotg} \alpha \cdot \operatorname{cotg} \frac{\pi}{6} + 1}{\operatorname{cotg} \frac{\pi}{6} - \operatorname{cotg} \alpha} \] \[ \operatorname{cotg}\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\frac{3}{4}\cdot\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - \frac{3}{4}} \] Привеждаме към общ знаменател: \[ \operatorname{cotg}\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\frac{3\sqrt{3} + 4}{4}}{\frac{4\sqrt{3} - 3}{4}} \] Съкращаваме знаменателите: \[ \operatorname{cotg}\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{3\sqrt{3} + 4}{\cancel{4}} \cdot \frac{\cancel{4}}{4\sqrt{3} - 3} = \frac{3\sqrt{3} + 4}{4\sqrt{3} - 3} \] Рационализираме знаменателя чрез умножение със спрегнатия израз \( (4\sqrt{3} + 3) \): \[ \operatorname{cotg}\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{(3\sqrt{3} + 4)(4\sqrt{3} + 3)}{(4\sqrt{3} - 3)(4\sqrt{3} + 3)} \] \[ \operatorname{cotg}\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{36 + 9\sqrt{3} + 16\sqrt{3} + 12}{(4\sqrt{3})^2 - 3^2} \] \[ \operatorname{cotg}\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{48 + 25\sqrt{3}}{48 - 9} = \frac{48 + 25\sqrt{3}}{39} \]

\[ \alpha \in \text{III кв.} \Rightarrow \cos \alpha = -\sqrt{1 - \frac{16}{25}} = -\frac{3}{5}, \operatorname{tg} \alpha = \frac{4}{3}, \operatorname{cotg} \alpha = \frac{3}{4} \]

а)

\[ \sin \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{4}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{4\sqrt{3} + 3}{10} \]

б)

\[ \cos \left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{3}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{4}{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{7\sqrt{2}}{10} \]

в)

\[ \operatorname{tg}\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\frac{4}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{4\sqrt{3}}{3}} = \frac{4 + 3\sqrt{3}}{3 - 4\sqrt{3}} = \frac{(4 + 3\sqrt{3})(3 + 4\sqrt{3})}{9 - 48} = -\frac{48 + 25\sqrt{3}}{39} \]

г)

\[ \operatorname{cotg}\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{4} + 1}{\sqrt{3} - \frac{3}{4}} = \frac{3\sqrt{3} + 4}{4\sqrt{3} - 3} = \frac{(3\sqrt{3} + 4)(4\sqrt{3} + 3)}{48 - 9} = \frac{48 + 25\sqrt{3}}{39} \]