2. Входно Ниво. Тест №2

\[ \text{ДС:} \begin{cases} 5-x \ge 0 \\ x+2 > 0 \end{cases} \] \[ \begin{cases} -x \ge -5 \\ x > -2 \end{cases} \] \[ \begin{cases} x \le 5 \\ x > -2 \end{cases} \] \[ x \in (-2; 5] \] Отговор: А)

За да намерим допустимите стойности (ДС) на променливата \( x \) в дадения ирационален израз, трябва да се съобразим с дефинициите на корен квадратен и дроб.

Стъпка 1: Определяме условията за дефиниционното множество

Изразът е \( \sqrt{5-x} - \frac{3}{\sqrt{x+2}} \). За да съществува той в множеството на реалните числа, трябва да са изпълнени следните условия: 1. Подкоренната величина на първия корен трябва да бъде неотрицателна: \( 5-x \ge 0 \). 2. Подкоренната величина на втория корен, който се намира в знаменател, трябва да бъде строго положителна: \( x+2 > 0 \). Записваме тези условия в система: \[ \text{ДС:} \begin{cases} 5-x \ge 0 \\ x+2 > 0 \end{cases} \]

Стъпка 2: Решаваме всяко от неравенствата

Решаваме първото неравенство: \[ 5-x \ge 0 \Rightarrow 5 \ge x \Rightarrow x \le 5 \] Това ни дава интервала \( x \in (-\infty; 5] \). Решаваме второто неравенство: \[ x+2 > 0 \Rightarrow x > -2 \] Това ни дава интервала \( x \in (-2; +\infty) \).

Стъпка 3: Намираме сечението на получените интервали

Трябва да намерим стойностите на \( x \), които удовлетворяват и двете неравенства едновременно. \[ \begin{cases} x \le 5 \\ x > -2 \end{cases} \]
Начертайте хоризонтална числова ос със стрелки в двата края, обхващаща точките -2 и 5. Маркирайте точките -2 и 5 на числовата ос с етикети '$ -2 $' и '$ 5 $' под тях. Точката на числовата ос при -2 трябва да бъде обозначена с незапълнен кръг, а точката при 5 със запълнен кръг. Над числовата ос, визуализирайте интервала \( (-2; 5] \) като дебела синя линия. От точката на числовата ос при -2 начертайте синя дъга, свързваща я с левия край на дебелата синя линия, символизирайки изключването на -2. От точката на числовата ос при 5 начертайте синя вертикална линия, образуваща прав ъгъл с числовата ос и свързваща я с десния край на дебелата синя линия, символизирайки включването на 5. Общият интервал е \( -2 < x \le 5 \), което записано с интервали е: \[ x \in (-2; 5] \] Този резултат съвпада с отговор А).

\[ \text{ДС:} \begin{cases} 5-x \ge 0 \Rightarrow x \le 5 \\ x+2 > 0 \Rightarrow x > -2 \end{cases} \Rightarrow x \in (-2; 5] \] Отговор: А)