Показателна Функция. Графика На Показателната Функция

Избери решение на задача:

а) \( y=2^{x} \) и \( y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \)
Таблица със стойности за \( y=2^x \):
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\
\hline
y=2^x & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & 1 & 2 & 4 \\
\hline
\end{array}
\]
Таблица със стойности за \( y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \):
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\
\hline
y=\left(\frac{1}{2}\right)^x & 4 & 2 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\
\hline
\end{array}
\]
Забелязваме, че \( \left(\frac{1}{2}\right)^x = (2^{-1})^x = 2^{-x} \), следователно графиките са симетрични спрямо оста \( Oy \).


б) \( y=3^{x} \) и \( y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x} \)
Таблица със стойности за \( y=3^x \):
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\
\hline
y=3^x & \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & 1 & 3 & 9 \\
\hline
\end{array}
\]
Таблица със стойности за \( y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x} \):
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\
\hline
y=\left(\frac{1}{3}\right)^x & 9 & 3 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \\
\hline
\end{array}
\]
Забелязваме, че \( \left(\frac{1}{3}\right)^x = (3^{-1})^x = 3^{-x} \), следователно графиките са симетрични спрямо оста \( Oy \).

а) Начертаване на графиките на функциите \( y=2^{x} \) и \( y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \)
Първо, да разгледаме функцията \( y=2^x \). Тя е показателна функция с основа \( a=2 \). Тъй като \( a > 1 \), функцията е строго растяща. За да я начертаем, ще съставим таблица със стойности:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\
\hline
y=2^x & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & 1 & 2 & 4 \\
\hline
\end{array}
\]
Сега да разгледаме функцията \( y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \). Тя е показателна функция с основа \( a=\frac{1}{2} \). Тъй като \( 0 < a < 1 \), функцията е строго намаляваща. За да я начертаем, ще съставим таблица със стойности:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\
\hline
y=\left(\frac{1}{2}\right)^x & 4 & 2 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\
\hline
\end{array}
\]
Можем да забележим, че \( \left(\frac{1}{2}\right)^x = (2^{-1})^x = 2^{-x} \). Това означава, че графиката на \( y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \) е симетрична на графиката на \( y=2^{x} \) спрямо ординатната ос \( Oy \).


Начертайте декартова координатна система с ос X (абсциса) и ос Y (ордината), обозначени съответно с 'x' и 'y'. Маркирайте началото на координатната система с '0'. Добавете основни деления и числови етикети по осите, например от -3 до 3 за ос X и от -1 до 5 за ос Y, за да се виждат ясно важните точки.
Постройте графиката на функцията \( y=2^x \): нанесете точките \( (-2, 1/4) \), \( (-1, 1/2) \), \( (0, 1) \), \( (1, 2) \), \( (2, 4) \). Свържете тези точки с плавна, непрекъсната, **червена** крива, която представлява експоненциален растеж. Уверете се, че кривата асимптотично се доближава до оста X при отрицателни стойности на x. Етикетирайте кривата като \( y=2^x \).
Постройте графиката на функцията \( y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \): нанесете точките \( (-2, 4) \), \( (-1, 2) \), \( (0, 1) \), \( (1, 1/2) \), \( (2, 1/4) \). Свържете тези точки с плавна, непрекъсната, **синя** крива, която представлява експоненциален разпад. Уверете се, че кривата асимптотично се доближава до оста X при положителни стойности на x. Етикетирайте кривата като \( y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \).
Двете криви трябва да се пресичат в точката \( (0, 1) \), която да бъде ясно обозначена с етикет. Подчертайте, че двете графики са симетрични една на друга спрямо оста Y (ординатната ос).

б) Начертаване на графиките на функциите \( y=3^{x} \) и \( y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x} \)
Първо, да разгледаме функцията \( y=3^x \). Тя е показателна функция с основа \( a=3 \). Тъй като \( a > 1 \), функцията е строго растяща. За да я начертаем, ще съставим таблица със стойности:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\
\hline
y=3^x & \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & 1 & 3 & 9 \\
\hline
\end{array}
\]
Сега да разгледаме функцията \( y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x} \). Тя е показателна функция с основа \( a=\frac{1}{3} \). Тъй като \( 0 < a < 1 \), функцията е строго намаляваща. За да я начертаем, ще съставим таблица със стойности:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\
\hline
y=\left(\frac{1}{3}\right)^x & 9 & 3 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \\
\hline
\end{array}
\]
Отново можем да забележим, че \( \left(\frac{1}{3}\right)^x = (3^{-1})^x = 3^{-x} \). Това означава, че графиката на \( y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x} \) е симетрична на графиката на \( y=3^{x} \) спрямо ординатната ос \( Oy \).


Начертаваме декартова координатна система с оси Ox и Oy, с диапазон на оста x от -3 до 3 и на оста y от -1 до 10. Отбелязваме основните деления и етикетираме осите с `x` и `y`. Построяваме точките \( (-2, 1/9) \), \( (-1, 1/3) \), \( (0, 1) \), \( (1, 3) \), \( (2, 9) \) за функцията \( y=3^x \) и ги свързваме с плавна, непрекъсната червена крива, която е растяща. След това построяваме точките \( (-2, 9) \), \( (-1, 3) \), \( (0, 1) \), \( (1, 1/3) \), \( (2, 1/9) \) за функцията \( y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x} \) и ги свързваме с плавна, непрекъсната синя крива, която е намаляваща. Двете криви задължително се пресичат в ясно обозначена точка \( (0, 1) \). Уверяваме се, че синята крива е симетрична на червената крива спрямо оста Oy. Кривите трябва да се простират леко отвъд посочените точки, за да илюстрират поведението си.

Кратък запис на решението:

а) \( y=2^{x} \) и \( y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \)
\( y=2^x \):
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\
\hline
y & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & 1 & 2 & 4 \\
\hline
\end{array}
\]
\( y=\left(\frac{1}{2}\right)^x \):
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\
\hline
y & 4 & 2 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \\
\hline
\end{array}
\]
Графиките са симетрични спрямо \( Oy \).


б) \( y=3^{x} \) и \( y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x} \)
\( y=3^x \):
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\
\hline
y & \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & 1 & 3 & 9 \\
\hline
\end{array}
\]
\( y=\left(\frac{1}{3}\right)^x \):
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\
\hline
y & 9 & 3 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \\
\hline
\end{array}
\]
Графиките са симетрични спрямо \( Oy \).

Най-важното от урока

Определение: Показателна функция е $y=a^x$, където $a > 0$ и $a \ne 1$.
Ключова точка: Всички графики на показателни функции минават през точката $(0, 1)$.
Поведение:

Ако $a > 1$, функцията е растяща. Пример: $y=2^x$.
Ако $0 < a < 1$, функцията е намаляваща. Пример: $y=(1/2)^x$.

Симетрия: Графиките на $y=a^x$ и $y=(1/a)^x$ са симетрични спрямо оста Oy.

Функция от вида $y = a^x$, където основата $a$ е положително число, различно от 1 ($a > 0, a \ne 1$), се нарича показателна функция.

Дефиниционната област на функцията е множеството на всички реални числа ($D: x \in (-\infty, +\infty)$), а множеството от функционални стойности са всички положителни реални числа ($F: y \in (0, +\infty)$).

Примери за показателни функции са: $y=2^x$, $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$, $y = (\sqrt{5})^x$, $y = 0.7^x$.

Коя от следните функции е показателна: $y = x^3$, $y = 7^x$, $y = (-2)^x$?

Отговор: Показателна е само функцията $y=7^x$, тъй като променливата $x$ е в степенния показател, а основата $7$ е положително число, различно от 1.

Когато основата $a > 1$, показателната функция $y=a^x$ е строго растяща. Това означава, че с нарастването на $x$, стойността на $y$ също нараства. (Ако $x_1 < x_2$, то $a^{x_1} < a^{x_2}$).

Графиката винаги минава през точката $(0; 1)$, защото $a^0 = 1$.
Графиката е разположена изцяло над оста Ox (стойностите на $y$ са винаги положителни).
При $x > 0$, стойностите са $a^x > 1$.
При $x < 0$, стойностите са $0 < a^x < 1$.

$Графика на показателна функция $y=a^x$ в Декартова координатна система. Осите x и y, както и началото O, трябва да бъдат ясно обозначени. Кривата е строго растяща (за $a > 1$), разположена изцяло над оста Ox, доближаваща я асимптотично при $x \to -\infty$. Графиката минава през илюстрираните точки $(0, 1)$ на оста Oy и $(1, a)$. Тези две точки трябва да бъдат ясно маркирани и означени с техните координати. Самата крива трябва да бъде етикетирана с $y=a^x$.$

Функцията $y=3^x$ е растяща, защото $a=3 > 1$. От $2 < 4$ следва, че $3^2 < 3^4$ ($9 < 81$).

Без да пресмятате, сравнете числата $5^{1.2}$ и $5^{1.3}$.

Отговор: Тъй като основата $5 > 1$, функцията $y=5^x$ е растяща. Понеже $1.2 < 1.3$, следва, че $5^{1.2} < 5^{1.3}$.

Когато основата $0 < a < 1$, показателната функция $y=a^x$ е строго намаляваща. Това означава, че с нарастването на $x$, стойността на $y$ намалява. (Ако $x_1 < x_2$, то $a^{x_1} > a^{x_2}$).

Графиката винаги минава през точката $(0; 1)$.
Графиката е разположена изцяло над оста Ox.
При $x > 0$, стойностите са $0 < a^x < 1$.
При $x < 0$, стойностите са $a^x > 1$.

Обща графика на показателна функция y=a^x за 0 < a < 1. Начертайте декартова координатна система с означени оси X и Y и начало (0,0). Начертайте гладка, строго намаляваща крива, представляваща функцията y=a^x. Кривата трябва да преминава през точката (0, 1) на оста Y. Маркирайте и точката (1, a), където a е число между 0 и 1 (0 < a < 1), като покажете съответните координати на осите. Графиката трябва да бъде изцяло над оста X (y > 0) и асимптотично да се доближава до оста X при x клонящо към плюс безкрайност, без да я пресича. За отрицателни стойности на x, кривата трябва да нараства стръмно.

Функцията $y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ е намаляваща, защото $a=\frac{1}{2}$ и $0 < \frac{1}{2} < 1$. От $2 < 3$ следва, че $\left(\frac{1}{2}\right)^2 > \left(\frac{1}{2}\right)^3$ ($\frac{1}{4} > \frac{1}{8}$).

Без да пресмятате, сравнете числата $(0.3)^{-2}$ и $(0.3)^{-3}$.

Отговор: Тъй като основата $0.3 < 1$, функцията $y=(0.3)^x$ е намаляваща. Понеже $-3 < -2$, следва, че $(0.3)^{-3} > (0.3)^{-2}$.

Графиките на функциите $y=a^x$ и $y=\left(\frac{1}{a}\right)^x$ са симетрични една на друга спрямо ординатната ос (Oy).

Изобразете две показателни функции: y=a^x (за a>1) и y=(1/a)^x, върху една и съща координатна система с оси Ox и Oy. Двете графики трябва да преминават през обща точка (0, 1). Графиката на y=a^x е растяща и преминава през точка (1, a). Графиката на y=(1/a)^x е намаляваща и преминава през точка (-1, a). Подчертайте симетрията на двете графики спрямо ординатната ос Oy. Маркирайте ясно осите, точката (0,1) и точките (1,a) и (-1,a). Надпишете всяка графика със съответното ѝ уравнение.

Графиките на $y=2^x$ и $y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ са симетрични спрямо Oy. Точката $(3, 8)$ лежи на графиката на $y=2^x$, а симетричната ѝ точка $(-3, 8)$ лежи на графиката на $y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$.

Графиката на коя функция е симетрична на графиката на $y=10^x$ спрямо оста Oy?

Отговор: $y=\left(\frac{1}{10}\right)^x$ или $y=0.1^x$.

Задачи за упражнение

Лесна: Сравнете числата $(\sqrt{3})^{0.2}$ и $(\sqrt{3})^{0.1}$.

Основата $a=\sqrt{3} \approx 1.732 > 1$, следователно функцията е растяща. Тъй като $0.2 > 0.1$, то $(\sqrt{3})^{0.2} > (\sqrt{3})^{0.1}$.

Средна: Определете знака на $x$, ако $(0.6)^x = 2.5$.

Основата $a=0.6 < 1$, така че функцията е намаляваща. Стойността на функцията при $x=0$ е $(0.6)^0 = 1$. Тъй като получената стойност $2.5$ е по-голяма от 1 ($2.5 > 1$), това означава, че аргументът $x$ трябва да е по-малък от 0.
Отговор: $x < 0$.

Трудна: Като използвате графиката на $y=3^x$, опишете как ще изглежда графиката на $y = 3^{x+1} - 2$. Кои са координатите на точката, съответна на $(0,1)$ от основната графика?

Графиката на $y = 3^{x+1} - 2$ се получава от графиката на $y=3^x$ чрез две трансформации:
1. Хоризонтален превод (транслация) с 1 единица наляво (заради $x+1$).
2. Вертикален превод (транслация) с 2 единици надолу (заради $-2$).
Точката $(0,1)$ от $y=3^x$ първо се мести наляво до $(-1,1)$, след което се мести надолу до $(-1, 1-2) = (-1, -1)$.
Отговор: Графиката се получава с транслация 1 единица наляво и 2 единици надолу. Новите координати на точката са $(-1, -1)$.

13. Показателна Функция. Графика На Показателната Функция

Избери решение на задача:

а) \( y=2^{x} \) и \( y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \)

б) \( y=3^{x} \) и \( y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x} \)

а) Начертаване на графиките на функциите \( y=2^{x} \) и \( y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \)

б) Начертаване на графиките на функциите \( y=3^{x} \) и \( y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x} \)

Кратък запис на решението:

а) \( y=2^{x} \) и \( y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \)

б) \( y=3^{x} \) и \( y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x} \)

Най-важното от урока

Задачи за упражнение

Надвий
домашното с хиляди решения, уроци и тестове:

Математика

Физика

Химия

История

Литература

Биология

География

Български език

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – мощен инструмент за решаване на задачи от снимка/текст

Избери решение на задача:

Кратко решение

а) \( y=2^{x} \) и \( y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \)

б) \( y=3^{x} \) и \( y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x} \)

Подробно решение

а) Начертаване на графиките на функциите \( y=2^{x} \) и \( y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \)

б) Начертаване на графиките на функциите \( y=3^{x} \) и \( y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x} \)

Кратък запис на решението:

а) \( y=2^{x} \) и \( y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \)

б) \( y=3^{x} \) и \( y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x} \)

Задачи за упражнение

Надвий домашното с хиляди решения, уроци и тестове:

Математика

Физика

Химия

История

Литература

Биология

География

Български език

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – мощен инструмент за решаване на задачи от снимка/текст

Надвий
домашното с хиляди решения, уроци и тестове: