Най-важното от урока
Синусова теорема: Използва се за намиране на страни/ъгли, когато имате двойка "страна - срещулежащ ъгъл". Пример: Дадени са \(a, \alpha, b\), намирате \(\sin\beta\).
Косинусова теорема: Използва се при дадени две страни и ъгъл между тях (SAS) за намиране на третата страна, или при дадени три страни (SSS) за намиране на ъгъл. Пример: Дадени са \(a, b, \gamma\), намирате \(c\).
Формули за лице: Изборът на формула зависи от дадените елементи. За SSS използвайте Хероновата формула. За SAS използвайте \(S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma\).
Косинусова теорема: Използва се при дадени две страни и ъгъл между тях (SAS) за намиране на третата страна, или при дадени три страни (SSS) за намиране на ъгъл. Пример: Дадени са \(a, b, \gamma\), намирате \(c\).
Формули за лице: Изборът на формула зависи от дадените елементи. За SSS използвайте Хероновата формула. За SAS използвайте \(S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma\).
Синусовата теорема свързва страните на триъгълник със синусите на срещулежащите им ъгли и радиуса (R) на описаната около триъгълника окръжност. Използва се, когато са известни два ъгъла и една страна или две страни и ъгъл срещу едната от тях.
\[ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R \]
В \(\triangle ABC\) са дадени \(a = 10\), \(\alpha = 30^\circ\) и \(\beta = 45^\circ\). Намерете страната \(b\).
Прилагаме синусова теорема:
\[ \frac{b}{\sin \beta} = \frac{a}{\sin \alpha} \Rightarrow \frac{b}{\sin 45^\circ} = \frac{10}{\sin 30^\circ} \]
\[ b = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 10\sqrt{2} \]
Косинусовата теорема е обобщение на Питагоровата теорема. Тя свързва трите страни на триъгълник с косинуса на един от ъглите. Използва се, когато са известни две страни и ъгълът между тях (за намиране на третата страна) или трите страни (за намиране на ъгъл).
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma \]
\[ \cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \]
В \(\triangle ABC\) са дадени страните \(a=5\), \(b=7\) и ъгъл \(\gamma = 60^\circ\). Намерете дължината на страната \(c\).
Прилагаме косинусова теорема:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60^\circ \]
\[ c^2 = 25 + 49 - 70 \cdot \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39 \]
\[ c = \sqrt{39} \]
Лицето на триъгълник може да се намери по няколко начина в зависимост от дадените елементи.
Чрез страна и височина: \( S = \frac{a \cdot h_a}{2} \)
Чрез две страни и ъгъл между тях: \( S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma \)
Херонова формула (чрез три страни): \( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \), където \(p = \frac{a+b+c}{2}\) е полупериметърът.
Чрез радиусите на вписана (r) и описана (R) окръжност: \( S = pr \) и \( S = \frac{abc}{4R} \)
Чрез две страни и ъгъл между тях: \( S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma \)
Херонова формула (чрез три страни): \( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \), където \(p = \frac{a+b+c}{2}\) е полупериметърът.
Чрез радиусите на вписана (r) и описана (R) окръжност: \( S = pr \) и \( S = \frac{abc}{4R} \)
Намерете лицето на \(\triangle ABC\), ако са дадени \(a=6\), \(c=10\) и \(\beta=30^\circ\).
Използваме формулата за лице чрез две страни и ъгъл между тях:
\[ S = \frac{1}{2} ac \sin \beta = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot \frac{1}{2} = 15 \]
Дължините на медианите и ъглополовящите в триъгълник се изчисляват чрез формули, които използват дължините на страните му.
Медиана към страна \(c\): \( m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} \)
Ъглополовяща към страна \(c\): \( l_c^2 = ab - mn \), където \(m\) и \(n\) са отсечките, на които ъглополовящата дели страната \(c\).
Ъглополовяща към страна \(c\): \( l_c^2 = ab - mn \), където \(m\) и \(n\) са отсечките, на които ъглополовящата дели страната \(c\).
Даден е \(\triangle ABC\) със страни \(a=9\), \(b=10\) и \(c=11\). Намерете дължината на медианата към страната \(a\).
Използваме формулата за медиана \(m_a\):
\[ m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 10^2 + 2 \cdot 11^2 - 9^2} \]
\[ m_a = \frac{1}{2} \sqrt{200 + 242 - 81} = \frac{1}{2} \sqrt{361} = \frac{19}{2} = 9.5 \]
Задачи за упражнение
Лесна: В \(\triangle ABC\) са дадени страните \(a = 5\), \(b = 8\) и \(c = 7\). Намерете \(\cos \gamma\).
Прилагаме косинусова теорема за намиране на ъгъл:
\[ \cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{5^2 + 8^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{25 + 64 - 49}{80} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2} \]
Следователно, \(\gamma = 60^\circ\).
Средна: В \(\triangle ABC\) са дадени \(c=13\), \(\alpha=45^\circ\) и \(\beta=75^\circ\). Намерете лицето на триъгълника.
Намираме \(\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) = 180^\circ - (45^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\).
\[ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma} \Rightarrow a = \frac{c \sin \alpha}{\sin \gamma} = \frac{13 \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{13 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{13\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{13\sqrt{6}}{3} \]
Използваме формулата \(S = \frac{1}{2}ac\sin\beta\), но ни трябва \(\sin 75^\circ\). По-лесно е да използваме друга формула за лице, която зависи от една страна и ъглите: \( S = \frac{c^2 \sin \alpha \sin \beta}{2 \sin \gamma} \).
\(\sin 75^\circ = \sin(45^\circ+30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\). \[ S = \frac{13^2 \sin 45^\circ \sin 75^\circ}{2 \sin 60^\circ} = \frac{169 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{169 (\sqrt{12}+2)}{8\sqrt{3}} = \frac{169 (2\sqrt{3}+2)}{8\sqrt{3}} = \frac{169( \sqrt{3}+1)}{4\sqrt{3}} \]
\(\sin 75^\circ = \sin(45^\circ+30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\). \[ S = \frac{13^2 \sin 45^\circ \sin 75^\circ}{2 \sin 60^\circ} = \frac{169 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{169 (\sqrt{12}+2)}{8\sqrt{3}} = \frac{169 (2\sqrt{3}+2)}{8\sqrt{3}} = \frac{169( \sqrt{3}+1)}{4\sqrt{3}} \]
Трудна: В успоредник \(ABCD\) диагоналите \(AC=13\) и \(BD=\sqrt{57}\), а страната \(AB=8\). Намерете страната \(AD\) и лицето на успоредника.
Нека \(AD = x\) и \(\angle BAD = \alpha\).
От \(\triangle ABD\) по косинусова теорема:
\[ BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cos \alpha \]
\[ 57 = 8^2 + x^2 - 2 \cdot 8 \cdot x \cos \alpha \Rightarrow 57 = 64 + x^2 - 16x \cos \alpha \]
\[ 16x \cos \alpha = x^2 + 7 \]
В успоредника \(\angle ABC = 180^\circ - \alpha\), следователно \(\cos(180^\circ-\alpha) = -\cos\alpha\).
От \(\triangle ABC\) по косинусова теорема (\(BC=AD=x\)):
\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cos(180^\circ - \alpha) \]
\[ 13^2 = 8^2 + x^2 - 2 \cdot 8 \cdot x (-\cos\alpha) \]
\[ 169 = 64 + x^2 + 16x \cos \alpha \]
Заместваме \(16x \cos \alpha\) от първото уравнение във второто:
\[ 169 = 64 + x^2 + (x^2 + 7) \]
\[ 169 = 71 + 2x^2 \Rightarrow 2x^2 = 98 \Rightarrow x^2 = 49 \Rightarrow x=7 \]
Следователно, \(AD=7\).
Връщаме се към уравнението от стъпка 1:
\[ 16 \cdot 7 \cos \alpha = 7^2 + 7 \Rightarrow 112 \cos \alpha = 56 \Rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{2} \]
Тогава \(\alpha = 60^\circ\). Намираме \(\sin \alpha = \sqrt{1-\cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Лицето на успоредника е \(S = AB \cdot AD \sin \alpha\).
\[ S = 8 \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 28\sqrt{3} \]
