40. Графика На Функцията y = cos x

Базова функция: \( y_1 = \cos x \) Трансформация: Вертикално преместване с \( +1 \) единица нагоре по оста \( Oy \). Определяне на ключови точки в интервала \( [0; 2\pi] \): \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & \frac{\pi}{2} & \pi & \frac{3\pi}{2} & 2\pi \\ \hline y_1 = \cos x & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ \hline y = 1+\cos x & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline \end{array} \]

Анализираме функцията

Разглеждаме дадената функция \( y = 1 + \cos x \). Базовата тригонометрична функция е \( y_1 = \cos x \). Функцията \( y = 1 + \cos x \) се получава чрез трансформация на базовата функция. Тъй като към стойността на функцията се прибавя константа (\( +1 \)), това означава, че прилагаме вертикално преместване на графиката с 1 единица нагоре по посока на оста \( Oy \).

Подготвяме чертежа и базовата функция

Разглеждаме функцията в зададения интервал \( [0; 2\pi] \). За да построим графиката на базовата функция \( y_1 = \cos x \), намираме нейните ключови стойности: За \( x = 0 \), \( y_1 = \cos 0 = 1 \) За \( x = \frac{\pi}{2} \), \( y_1 = \cos \frac{\pi}{2} = 0 \) За \( x = \pi \), \( y_1 = \cos \pi = -1 \) За \( x = \frac{3\pi}{2} \), \( y_1 = \cos \frac{3\pi}{2} = 0 \) За \( x = 2\pi \), \( y_1 = \cos 2\pi = 1 \) Ключовите точки са: \( (0; 1), \left(\frac{\pi}{2}; 0\right), (\pi; -1), \left(\frac{3\pi}{2}; 0\right), (2\pi; 1) \).

Прилагаме трансформацията

За да получим графиката на \( y = 1 + \cos x \), добавяме 1 към ординатата (\( y \)-стойността) на всяка от ключовите точки на базовата функция: \( (0; 1+1) \rightarrow (0; 2) \) \( \left(\frac{\pi}{2}; 0+1\right) \rightarrow \left(\frac{\pi}{2}; 1\right) \) \( (\pi; -1+1) \rightarrow (\pi; 0) \) \( \left(\frac{3\pi}{2}; 0+1\right) \rightarrow \left(\frac{3\pi}{2}; 1\right) \) \( (2\pi; 1+1) \rightarrow (2\pi; 2) \)
Построй правоъгълна координатна система с начало (0,0), хоризонтална ос Ox и вертикална ос Oy. Оста Ox да обхваща интервала от 0 до $2\pi$, а оста Oy от -1.5 до 2.5, за да се виждат всички деления и криви. По хоризонталната ос Ox нанеси равномерни деления и надписи за ключовите ъгли: 0 (при началото), $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$ и $2\pi$. По вертикалната ос Oy нанеси равномерни деления и надписи за стойностите: -1, 0 (при началото), 1 и 2. Първо, начертай графиката на базовата функция $y_1 = \cos x$ като плавна косинусоидална крива, използвайки тънка пунктирана линия (например сива). Тази крива трябва да преминава точно през следните точки: $(0, 1)$, $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$, $(\pi, -1)$, $\left(\frac{3\pi}{2}, 0\right)$ и $(2\pi, 1)$. Надпиши тази крива с "$y_1 = \cos x$" в близост до нея. След това, начертай графиката на функцията $y = 1 + \cos x$ като плавна косинусоидална крива, използвайки плътна и удебелена линия (например червена). Тази крива трябва да бъде визуално изместена с една единица нагоре спрямо базовата функция и да преминава точно през следните точки: $(0, 2)$, $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$, $(\pi, 0)$, $\left(\frac{3\pi}{2}, 1\right)$ и $(2\pi, 2)$. Надпиши тази крива с "$y = 1 + \cos x$" в близост до нея. Уверете се, че всички надписи са ясни и четливи, и че кривите са гладки и точни спрямо зададените точки.

Обобщение на резултата

Получената графика е косинусоида, чието множество от стойности е променено от \( [-1; 1] \) на \( [0; 2] \) вследствие на вертикалното преместване.

\( y = 1 + \cos x \) Графиката се получава чрез преместване на \( y_1 = \cos x \) с 1 единица вертикално нагоре. Ключови точки за \( x \in [0; 2\pi] \): \( (0; 2), \left(\frac{\pi}{2}; 1\right), (\pi; 0), \left(\frac{3\pi}{2}; 1\right), (2\pi; 2) \).