7. Функция Графика На Функция Преговор С Допълнение

Функцията \( y=x^2 \) е парабола с връх \( (0,0) \), отворена нагоре.

а) \( x \in[1 ; 3] \)

В интервала \( [1; 3] \) функцията \( y=x^2 \) е растяща. Изчисляваме стойностите в краищата на интервала: \[ y(1) = 1^2 = 1 \] \[ y(3) = 3^2 = 9 \] Най-малка стойност (НМС): \( y_{min} = 1 \) при \( x=1 \). Най-голяма стойност (НГС): \( y_{max} = 9 \) при \( x=3 \).

б) \( x \in[-3 ;-2] \)

В интервала \( [-3; -2] \) функцията \( y=x^2 \) е намаляваща. Изчисляваме стойностите в краищата на интервала: \[ y(-3) = (-3)^2 = 9 \] \[ y(-2) = (-2)^2 = 4 \] Най-малка стойност (НМС): \( y_{min} = 4 \) при \( x=-2 \). Най-голяма стойност (НГС): \( y_{max} = 9 \) при \( x=-3 \).

в) \( x \in[-1 ; 3] \)

Интервалът \( [-1; 3] \) съдържа \( x=0 \). В този интервал функцията е намаляваща за \( x \in [-1;0] \) и растяща за \( x \in [0;3] \). Изчисляваме стойностите в краищата на интервала и при \( x=0 \): \[ y(-1) = (-1)^2 = 1 \] \[ y(3) = 3^2 = 9 \] \[ y(0) = 0^2 = 0 \] Най-малка стойност (НМС): \( y_{min} = 0 \) при \( x=0 \). Най-голяма стойност (НГС): \( y_{max} = 9 \) при \( x=3 \).

г) \( x \in[-3 ; \sqrt{2}) \)

Интервалът \( [-3; \sqrt{2}) \) съдържа \( x=0 \). В този интервал функцията е намаляваща за \( x \in [-3;0] \) и растяща за \( x \in [0;\sqrt{2}) \). Изчисляваме стойностите в левия край на интервала и при \( x=0 \): \[ y(-3) = (-3)^2 = 9 \] \[ y(0) = 0^2 = 0 \] Стойността в десния "край" е \( y(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^2 = 2 \), но \( x=\sqrt{2} \) не е включен в интервала, следователно \( y=2 \) не е достигната стойност. Най-малка стойност (НМС): \( y_{min} = 0 \) при \( x=0 \). Най-голяма стойност (НГС): \( y_{max} = 9 \) при \( x=-3 \).

За да намерим най-малката и най-голямата стойност на функцията \( y=x^2 \) в даден интервал, ще анализираме графиката на функцията. Графиката на \( y=x^2 \) е парабола с връх в началото на координатната система \((0,0)\), която е отворена нагоре. Това означава, че в интервали, съдържащи \( x=0 \), най-малката стойност ще бъде \( y=0 \), а най-голямата стойност ще зависи от края на интервала, който е най-отдалечен от \( x=0 \). В интервали, които не съдържат \( x=0 \), ще разгледаме стойностите на функцията в краищата на интервала.

а) \( x \in[1 ; 3] \)

1. Определяне на функцията и интервала

Имаме функцията \( y=x^2 \) и интервалът \( [1 ; 3] \).

2. Анализ на монотонността

В интервала \( [1 ; 3] \) всички стойности на \( x \) са положителни. Тъй като параболата \( y=x^2 \) е растяща за \( x \ge 0 \), то в този интервал функцията е растяща.

3. Изчисляване на стойностите в краищата на интервала

Изчисляваме стойността на функцията в левия край на интервала: \( y(1) = 1^2 = 1 \) Изчисляваме стойността на функцията в десния край на интервала: \( y(3) = 3^2 = 9 \)

4. Определяне на НМС и НГС

Тъй като функцията е растяща в интервала \( [1 ; 3] \), най-малката стойност се достига в левия край на интервала, а най-голямата стойност се достига в десния край. Най-малка стойност (НМС): \( y_{min} = 1 \) при \( x=1 \). Най-голяма стойност (НГС): \( y_{max} = 9 \) при \( x=3 \).
Начертайте декартова координатна система с ос Ox и ос Oy, пресичащи се в началото (0,0). Етикетирайте осите като Ox и Oy, и началото като 0. Начертайте графиката на параболата \( y=x^2 \), която е симетрична спрямо оста Oy, отворена нагоре и с връх в \( (0,0) \). Отбележете върху оста Ox стойностите \( 1 \) и \( 3 \). Локализирайте Точка А с координати \( (1, 1) \) върху параболата. Начертайте пунктирана вертикална линия от \( x=1 \) на ос Ox до Точка А и пунктирана хоризонтална линия от \( y=1 \) на ос Oy до Точка А. Етикетирайте Точка А. Локализирайте Точка B с координати \( (3, 9) \) върху параболата. Начертайте пунктирана вертикална линия от \( x=3 \) на ос Ox до Точка B и пунктирана хоризонтална линия от \( y=9 \) на ос Oy до Точка B. Етикетирайте Точка B. Визуално подчертайте (с по-плътна линия или различен цвят) частта от параболата, която свързва Точка А и Точка B, представляваща ограничението на функцията в интервала \( x \in [1; 3] \). Уверете се, че всички споменати стойности и точки са ясно етикетирани на чертежа.

б) \( x \in[-3 ;-2] \)

1. Определяне на функцията и интервала

Имаме функцията \( y=x^2 \) и интервалът \( [-3 ;-2] \).

2. Анализ на монотонността

В интервала \( [-3 ;-2] \) всички стойности на \( x \) са отрицателни. Тъй като параболата \( y=x^2 \) е намаляваща за \( x \le 0 \), то в този интервал функцията е намаляваща.

3. Изчисляване на стойностите в краищата на интервала

Изчисляваме стойността на функцията в левия край на интервала: \( y(-3) = (-3)^2 = 9 \) Изчисляваме стойността на функцията в десния край на интервала: \( y(-2) = (-2)^2 = 4 \)

4. Определяне на НМС и НГС

Тъй като функцията е намаляваща в интервала \( [-3 ;-2] \), най-малката стойност се достига в десния край на интервала, а най-голямата стойност се достига в левия край. Най-малка стойност (НМС): \( y_{min} = 4 \) при \( x=-2 \). Най-голяма стойност (НГС): \( y_{max} = 9 \) при \( x=-3 \).
Начертаваме Декартова координатна система с ос Ox (хоризонтална) и ос Oy (вертикална), пресичащи се в началото (0,0). Етикетираме осите с "x" и "y". Начертаваме графиката на параболата \( y=x^2 \) като плавна, непрекъсната крива, симетрична спрямо оста Oy, преминаваща през началото (0,0). Уверете се, че параболата е изобразена в диапазон, обхващащ поне \( x \in [-4; 4] \) и \( y \in [0; 10] \). Отбелязваме интервала \( x \in [-3; -2] \) върху оста Ox, като поставяме маркери при \( x=-3 \) и \( x=-2 \). Визуално маркираме отсечката между \( x=-3 \) и \( x=-2 \) на оста Ox, например чрез удебеляване или оцветяване. Поставяме Точка А с координати \( (-3, 9) \) върху параболата и я етикетираме с "A". Поставяме Точка B с координати \( (-2, 4) \) върху параболата и я етикетираме с "B". Начертаваме пунктирани вертикални линии от точка A до оста Ox (при \( x=-3 \)) и от точка B до оста Ox (при \( x=-2 \)). Начертаваме пунктирани хоризонтални линии от точка A до оста Oy (при \( y=9 \)) и от точка B до оста Oy (при \( y=4 \)). Обозначаваме стойностите \( -3 \) и \( -2 \) на оста Ox, както и стойностите \( 4 \) и \( 9 \) на оста Oy. Удебеляваме или оцветяваме в контрастен цвят частта от параболата, която свързва точка A \( (-3, 9) \) и точка B \( (-2, 4) \), за да покажем графично ограничението на функцията в интервала.

в) \( x \in[-1 ; 3] \)

1. Определяне на функцията и интервала

Имаме функцията \( y=x^2 \) и интервалът \( [-1 ; 3] \).

2. Анализ на монотонността

Интервалът \( [-1 ; 3] \) съдържа \( x=0 \), където функцията \( y=x^2 \) има своя минимум. За \( x \in [-1 ; 0] \) функцията е намаляваща. За \( x \in [0 ; 3] \) функцията е растяща.

3. Изчисляване на стойностите в краищата на интервала и в точката на минимума

Изчисляваме стойността на функцията в левия край на интервала: \( y(-1) = (-1)^2 = 1 \) Изчисляваме стойността на функцията в десния край на интервала: \( y(3) = 3^2 = 9 \) Изчисляваме стойността на функцията при \( x=0 \): \( y(0) = 0^2 = 0 \)

4. Определяне на НМС и НГС

Най-малката стойност се достига в точката на минимума на параболата, която е \( (0,0) \). Най-малка стойност (НМС): \( y_{min} = 0 \) при \( x=0 \). Най-голямата стойност се достига в този край на интервала, който е по-отдалечен от \( x=0 \). Сравняваме \( | -1 | = 1 \) и \( | 3 | = 3 \). Тъй като \( |3| > |-1| \), най-голямата стойност ще бъде при \( x=3 \). Най-голяма стойност (НГС): \( y_{max} = 9 \) при \( x=3 \).
Начертаваме декартова координатна система с оси Ox и Oy, пресичащи се в началото (0,0). Изобразяваме графиката на функцията \( y=x^2 \), представляваща парабола, симетрична спрямо оста Oy, с връх в началото (0,0) и отворена нагоре. Върхът на параболата \( (0,0) \) се отбелязва ясно. Върху оста Ox маркираме точките \( x=-1 \) и \( x=3 \), показващи интервала \( x \in [-1; 3] \). Върху параболата нанасяме точките, съответстващи на краищата на интервала: Точка А с координати \( (-1, 1) \) и Точка B с координати \( (3, 9) \). И двете точки се отбелязват като запълнени кръгове и се етикетират съответно 'A' и 'B'. Частта от параболата, която свързва точка А и точка B, се изчертава по-плътно или в различен, контрастен цвят (напр. син), за да визуализира ограничението на функцията в интервала.

г) \( x \in[-3 ; \sqrt{2}) \)

1. Определяне на функцията и интервала

Имаме функцията \( y=x^2 \) и интервалът \( [-3 ; \sqrt{2}) \). Обърнете внимание, че интервалът е полуотворен отдясно. Стойността \( \sqrt{2} \) е приблизително \( 1,41 \).

2. Анализ на монотонността

Интервалът \( [-3 ; \sqrt{2}) \) съдържа \( x=0 \), където функцията \( y=x^2 \) има своя минимум. За \( x \in [-3 ; 0] \) функцията е намаляваща. За \( x \in [0 ; \sqrt{2}) \) функцията е растяща.

3. Изчисляване на стойностите в краищата на интервала и в точката на минимума

Изчисляваме стойността на функцията в левия край на интервала: \( y(-3) = (-3)^2 = 9 \) Изчисляваме стойността на функцията в десния "край" на интервала, но тъй като интервалът е отворен отдясно, няма да включим тази точка в диапазона на функцията, но тя ще ни помогне да определим граничната стойност: \( y(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^2 = 2 \) Изчисляваме стойността на функцията при \( x=0 \): \( y(0) = 0^2 = 0 \)

4. Определяне на НМС и НГС

Най-малката стойност се достига в точката на минимума на параболата, която е \( (0,0) \). Най-малка стойност (НМС): \( y_{min} = 0 \) при \( x=0 \). Най-голямата стойност се достига в този край на интервала, който е по-отдалечен от \( x=0 \). Сравняваме \( | -3 | = 3 \) и \( | \sqrt{2} | = \sqrt{2} \approx 1,41 \). Тъй като \( |-3| > |\sqrt{2}| \), най-голямата стойност ще бъде при \( x=-3 \). Най-голяма стойност (НГС): \( y_{max} = 9 \) при \( x=-3 \). Важно е да отбележим, че стойността \( y=2 \) при \( x=\sqrt{2} \) не е най-голяма, тъй като \( \sqrt{2} \) не е включено в интервала.
Начертаваме ортонормирана декартова координатна система с оси Ox и Oy, и начало в точка (0,0). Изобразяваме графиката на параболата \( y=x^2 \), която е отворена нагоре, с връх в началото на координатната система \((0,0)\) и симетрична спрямо оста Oy. Начертаваме параболата в достатъчен диапазон, например за \(x \in [-4, 4]\). Отбелязваме върху оста Ox точките, съответстващи на левия и десния край на интервала: \( x = -3 \) и \( x = \sqrt{2} \approx 1.41 \). Намираме точка А с координати \( (-3, 9) \) върху параболата, съответстваща на левия край на интервала. Маркираме точка А като запълнен кръг. От точка А начертаваме пунктирани вертикални линии до оста Ox (до \( x = -3 \)) и пунктирани хоризонтални линии до оста Oy (до \( y = 9 \)). Намираме точка В с координати \( (\sqrt{2}, 2) \) върху параболата, съответстваща на десния край на интервала. Маркираме точка В като празен (незапълнен) кръг, за да покажем, че не е включена в интервала. От точка В начертаваме пунктирани вертикални линии до оста Ox (до \( x = \sqrt{2} \)) и пунктирани хоризонтални линии до оста Oy (до \( y = 2 \)). Ясно обозначаваме върха на параболата като \( (0,0) \). С удебелена линия или различен цвят свързваме точките А и В с част от параболата, за да покажем ограничението на функцията в интервала \( [-3; \sqrt{2}) \). Тази част от параболата започва от запълнения кръг А и достига до празния кръг В.

а) \( y=x^2 \), \( x \in[1 ; 3] \): НМС = \( y(1)=1 \). НГС = \( y(3)=9 \). б) \( y=x^2 \), \( x \in[-3 ;-2] \): НМС = \( y(-2)=4 \). НГС = \( y(-3)=9 \). в) \( y=x^2 \), \( x \in[-1 ; 3] \): НМС = \( y(0)=0 \). НГС = \( y(3)=9 \). г) \( y=x^2 \), \( x \in[-3 ; \sqrt{2}) \): НМС = \( y(0)=0 \). НГС = \( y(-3)=9 \).