Най-важното от урока
Определение: Логаритъмът е обратна операция на степенуването: \( \log_2 8 = 3 \), защото \( 2^3 = 8 \).
Ключово свойство: Степен и логаритъм с еднаква основа се "унищожават": \( 5^{\log_5 12} = 12 \).
Допустими стойности (\( \log_b a \)): Винаги проверявай трите златни правила: аргументът \(a > 0\), основата \(b > 0\) и основата \(b \neq 1\).
Ключово свойство: Степен и логаритъм с еднаква основа се "унищожават": \( 5^{\log_5 12} = 12 \).
Допустими стойности (\( \log_b a \)): Винаги проверявай трите златни правила: аргументът \(a > 0\), основата \(b > 0\) и основата \(b \neq 1\).
Логаритъмът \( \log_b a = x \) е числото (степента) \(x\), на което трябва да повдигнем основата \(b\), за да получим аргумента \(a\).
\[ \log_b a = x \iff b^x = a \]
Където основата \(b > 0, b \neq 1\) и аргументът \(a > 0\).
За да намерим \(x\) в израза \( \log_3 9 = x \), прилагаме определението:
\( 3^x = 9 \)
Представяме 9 като степен на 3: \( 3^x = 3^2 \)
Следователно, \( x = 2 \).
\( 3^x = 9 \)
Представяме 9 като степен на 3: \( 3^x = 3^2 \)
Следователно, \( x = 2 \).
Намерете \(x\), ако \( \log_x 8 = 3 \).
От определението: \( x^3 = 8 \).
Тъй като \( 2^3 = 8 \), следва, че \( x = 2 \).
Тъй като \( 2^3 = 8 \), следва, че \( x = 2 \).
За да пресметнем \( \log_b a \), трябва да представим аргумента \(a\) като степен на основата \(b\).
Ключови свойства:
Ключови свойства:
- \( \log_b 1 = 0 \) (защото \(b^0 = 1\))
- \( \log_b b = 1 \) (защото \(b^1 = b\))
- \( a^{\log_a b} = b \)
Да пресметнем израза \( 6^{1+\log_6 5} \).
\( 6^{1+\log_6 5} = 6^1 \cdot 6^{\log_6 5} \)
Използваме свойството \( a^{\log_a b} = b \):
\( 6 \cdot 5 = 30 \)
\( 6^{1+\log_6 5} = 6^1 \cdot 6^{\log_6 5} \)
Използваме свойството \( a^{\log_a b} = b \):
\( 6 \cdot 5 = 30 \)
Пресметнете \( \log_2 64 + \log_5 1 \).
\( \log_2 64 = \log_2 2^6 = 6 \)
\( \log_5 1 = 0 \)
\( 6 + 0 = 6 \)
\( \log_5 1 = 0 \)
\( 6 + 0 = 6 \)
За да бъде логаритъмът \( \log_b a \) дефиниран (да има смисъл), трябва да са изпълнени едновременно следните три условия:
- Аргументът трябва да е положителен: \( a > 0 \)
- Основата трябва да е положителна: \( b > 0 \)
- Основата трябва да е различна от 1: \( b \neq 1 \)
Да намерим допустимите стойности за \( A = \log_4 (x^2-x-6) \).
Основата 4 е константа и изпълнява условията (\(4>0\) и \(4 \neq 1\)).
Трябва да е изпълнено само условието за аргумента:
\( x^2-x-6 > 0 \)
Корените на \( x^2-x-6 = 0 \) са \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = 3 \).
Квадратният тричлен е положителен извън интервала между корените.
Допустими стойности: \( x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty) \)
Основата 4 е константа и изпълнява условията (\(4>0\) и \(4 \neq 1\)).
Трябва да е изпълнено само условието за аргумента:
\( x^2-x-6 > 0 \)
Корените на \( x^2-x-6 = 0 \) са \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = 3 \).
Допустими стойности: \( x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty) \)
Намерете допустимите стойности за \( B = \log_{x-3} 10 \).
Аргументът 10 е винаги \(>0\). Трябва да проверим условията за основата \(x-3\):
1. \( x-3 > 0 \implies x > 3 \)
2. \( x-3 \neq 1 \implies x \neq 4 \)
Отговор: \( x \in (3, 4) \cup (4, +\infty) \)
1. \( x-3 > 0 \implies x > 3 \)
2. \( x-3 \neq 1 \implies x \neq 4 \)
Отговор: \( x \in (3, 4) \cup (4, +\infty) \)
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете стойността на израза \( 5^{2\log_5 3} \).
Използваме свойството \( k \log_a b = \log_a b^k \):
\( 5^{2\log_5 3} = 5^{\log_5 3^2} \)
Сега използваме \( a^{\log_a b} = b \):
\( 5^{\log_5 9} = 9 \)
\( 5^{2\log_5 3} = 5^{\log_5 3^2} \)
Сега използваме \( a^{\log_a b} = b \):
\( 5^{\log_5 9} = 9 \)
Средна: Намерете допустимите стойности за \( A = \log_2 (x+3) + \log_3 (7-x) \).
Трябва и двата аргумента да са положителни едновременно. Решаваме системата:
1. \( x+3 > 0 \implies x > -3 \)
2. \( 7-x > 0 \implies 7 > x \)
Сечението на двата интервала е \( x \in (-3, 7) \).
1. \( x+3 > 0 \implies x > -3 \)
2. \( 7-x > 0 \implies 7 > x \)
Трудна: Определете допустимите стойности за \( B = \log_{5-x} (x^2-9) \).
Трябва да решим система от три неравенства:
1. За аргумента: \( x^2-9 > 0 \implies (x-3)(x+3) > 0 \). Решение: \( x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty) \).
2. За основата (да е положителна): \( 5-x > 0 \implies x < 5 \).
3. За основата (да е различна от 1): \( 5-x \neq 1 \implies x \neq 4 \).
Като обединим решенията, получаваме: \( x \in (-\infty, -3) \cup (3, 4) \cup (4, 5) \).
1. За аргумента: \( x^2-9 > 0 \implies (x-3)(x+3) > 0 \). Решение: \( x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty) \).
2. За основата (да е положителна): \( 5-x > 0 \implies x < 5 \).
3. За основата (да е различна от 1): \( 5-x \neq 1 \implies x \neq 4 \).
