31. Решаване На Правилен Многоъгълник Упражнение

Дадено: правилен \( n \)-ъгълник с вътрешен ъгъл \( \alpha \). Търсим: броя на страните \( n \). \[ \alpha = \frac{n - 2}{n} \cdot 180^{\circ} \] \[ \alpha = 180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{n} \] \[ \frac{360^{\circ}}{n} = 180^{\circ} - \alpha \] \[ n = \frac{360^{\circ}}{180^{\circ} - \alpha} \]

а) \( \alpha = 108^{\circ} \)

\[ n = \frac{360^{\circ}}{180^{\circ} - 108^{\circ}} = \frac{360^{\circ}}{72^{\circ}} = 5 \]

б) \( \alpha = 135^{\circ} \)

\[ n = \frac{360^{\circ}}{180^{\circ} - 135^{\circ}} = \frac{360^{\circ}}{45^{\circ}} = 8 \]

в) \( \alpha = 150^{\circ} \)

\[ n = \frac{360^{\circ}}{180^{\circ} - 150^{\circ}} = \frac{360^{\circ}}{30^{\circ}} = 12 \]

г) \( \alpha = 162^{\circ} \)

\[ n = \frac{360^{\circ}}{180^{\circ} - 162^{\circ}} = \frac{360^{\circ}}{18^{\circ}} = 20 \]

Извеждане на формула за броя на страните

За да решим задачата, ще използваме формулата за големината на вътрешния ъгъл \( \alpha \) на правилен \( n \)-ъгълник: \[ \alpha = \frac{n - 2}{n} \cdot 180^{\circ} \] Ще преобразуваме тази формула, за да изразим броя на страните \( n \) чрез дадения ъгъл \( \alpha \). Първо разделяме числителя на знаменателя: \[ \alpha = \left(1 - \frac{2}{n}\right) \cdot 180^{\circ} \] Разкриваме скобите: \[ \alpha = 180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{n} \] Прехвърляме членовете, за да изразим дробта: \[ \frac{360^{\circ}}{n} = 180^{\circ} - \alpha \] Оттук изразяваме неизвестното \( n \): \[ n = \frac{360^{\circ}}{180^{\circ} - \alpha} \] Сега ще заместим дадените стойности за \( \alpha \) в получената формула.

а) \( \alpha = 108^{\circ} \)

Заместваме \( \alpha = 108^{\circ} \) във формулата: \[ n = \frac{360^{\circ}}{180^{\circ} - 108^{\circ}} \] Пресмятаме разликата в знаменателя: \[ n = \frac{360^{\circ}}{72^{\circ}} \] Разделяме числителя на знаменателя: \[ n = 5 \] Многоъгълникът има 5 страни (правилен петоъгълник).

б) \( \alpha = 135^{\circ} \)

Заместваме \( \alpha = 135^{\circ} \) във формулата: \[ n = \frac{360^{\circ}}{180^{\circ} - 135^{\circ}} \] Пресмятаме знаменателя: \[ n = \frac{360^{\circ}}{45^{\circ}} \] Разделяме: \[ n = 8 \] Многоъгълникът има 8 страни (правилен осмоъгълник).

в) \( \alpha = 150^{\circ} \)

Заместваме \( \alpha = 150^{\circ} \) във формулата: \[ n = \frac{360^{\circ}}{180^{\circ} - 150^{\circ}} \] Пресмятаме знаменателя: \[ n = \frac{360^{\circ}}{30^{\circ}} \] Разделяме: \[ n = 12 \] Многоъгълникът има 12 страни (правилен дванадесетоъгълник).

г) \( \alpha = 162^{\circ} \)

Заместваме \( \alpha = 162^{\circ} \) във формулата: \[ n = \frac{360^{\circ}}{180^{\circ} - 162^{\circ}} \] Пресмятаме знаменателя: \[ n = \frac{360^{\circ}}{18^{\circ}} \] Разделяме: \[ n = 20 \] Многоъгълникът има 20 страни (правилен двадесетоъгълник).

\[ \alpha = \frac{n - 2}{n} \cdot 180^{\circ} \Rightarrow n = \frac{360^{\circ}}{180^{\circ} - \alpha} \]

а)

\[ n = \frac{360^{\circ}}{180^{\circ} - 108^{\circ}} = \frac{360^{\circ}}{72^{\circ}} = 5 \]

б)

\[ n = \frac{360^{\circ}}{180^{\circ} - 135^{\circ}} = \frac{360^{\circ}}{45^{\circ}} = 8 \]

в)

\[ n = \frac{360^{\circ}}{180^{\circ} - 150^{\circ}} = \frac{360^{\circ}}{30^{\circ}} = 12 \]

г)

\[ n = \frac{360^{\circ}}{180^{\circ} - 162^{\circ}} = \frac{360^{\circ}}{18^{\circ}} = 20 \]