Най-важното от урока
Корен n-ти: Разграничаваме два случая:
Действия: При четен корен \(n\), правилата \(\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\) и \(\sqrt[n]{a/b} = \sqrt[n]{a}/\sqrt[n]{b}\) изискват \(a, b \ge 0\).
- n е четно: \(\sqrt[n]{a}\) има смисъл само при \(a \ge 0\). Резултатът е винаги \(\ge 0\). Пример: \(\sqrt[4]{16}=2\).
- n е нечетно: \(\sqrt[n]{a}\) има смисъл за всяко \(a\). Резултатът има знака на \(a\). Пример: \(\sqrt[3]{-8}=-2\).
Действия: При четен корен \(n\), правилата \(\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\) и \(\sqrt[n]{a/b} = \sqrt[n]{a}/\sqrt[n]{b}\) изискват \(a, b \ge 0\).
Ако \(n\) е четно естествено число (\(2, 4, 6, \ldots\)), корен n-ти от \(a\) (\(\sqrt[n]{a}\)) се дефинира само за неотрицателни числа \(a \ge 0\).
Резултатът \(\sqrt[n]{a} = x\) е единственото неотрицателно число \(x\), за което \(x^n = a\).
- \(\sqrt[4]{81} = 3\), защото \(3^4=81\) и \(3 \ge 0\).
- Въпреки че \((-3)^4 = 81\), \(\sqrt[4]{81}\) не е \(-3\), защото резултатът трябва да е неотрицателен.
- Изразът \(\sqrt[6]{-64}\) няма смисъл, защото подкоренната величина е отрицателна, а коренният показател (6) е четен.
Пресметнете \(\sqrt[4]{16}\).
Отговор: \(\sqrt[4]{16} = 2\), защото \(2^4 = 16\) и \(2 \ge 0\).
Ако \(n\) е нечетно естествено число (\(3, 5, 7, \ldots\)), корен n-ти от \(a\) (\(\sqrt[n]{a}\)) се дефинира за всяко реално число \(a\).
Резултатът \(\sqrt[n]{a} = x\) е единственото реално число \(x\), за което \(x^n = a\). Знакът на резултата е същият като знака на \(a\).
- \(\sqrt[5]{32} = 2\), защото \(2^5 = 32\).
- \(\sqrt[5]{-32} = -2\), защото \((-2)^5 = -32\).
Пресметнете \(\sqrt[3]{-125}\).
Отговор: \(\sqrt[3]{-125} = -5\), защото \((-5)^3 = -125\).
Резултатът от \(\sqrt[n]{a^n}\) зависи критично от това дали \(n\) е четно или нечетно.
Ако \(n\) е четно: \(\sqrt[n]{a^n} = |a|\) (модул от а). Резултатът е винаги неотрицателен.
Ако \(n\) е нечетно: \(\sqrt[n]{a^n} = a\). Резултатът запазва знака на \(a\).
- \(\sqrt[6]{(-2)^6} = |-2| = 2\)
- \(\sqrt[7]{(-2)^7} = -2\)
Опростете израза \(\sqrt[10]{x^{10}}\).
Отговор: Тъй като коренният показател 10 е четен, \(\sqrt[10]{x^{10}} = |x|\).
Правилата за действия с корени (умножение, деление, степенуване) важат без ограничения при нечетен корен, но изискват неотрицателни подкоренни величини при четен корен.
\[ \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \quad \text{и} \quad \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \]
При четно n, формулите са верни за \(a \ge 0, b \ge 0\) (за деление \(b>0\)).
Пресметнете \(\sqrt[4]{15+\sqrt{161}} \cdot \sqrt[4]{15-\sqrt{161}}\).
\[ \sqrt[4]{(15+\sqrt{161})(15-\sqrt{161})} = \sqrt[4]{15^2 - (\sqrt{161})^2} = \sqrt[4]{225 - 161} = \sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{16 \cdot 4} = 2\sqrt[4]{4} = 2\sqrt{2} \]
Пресметнете \(\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}\).
\(\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2 \cdot 4} = \sqrt[3]{8} = 2\).
Изнасяне: Множител се изнася пред корен, като се раздели степенният му показател с коренния показател.
Внасяне: Множител се внася под корен, като се повдигне на степен, равна на коренния показател.
Внасяне: Множител се внася под корен, като се повдигне на степен, равна на коренния показател.
При работа с корени с четен показател, трябва да се внимава със знаците. Пред корена се изнася модулът на множителя, а под корена може да се внесе само неотрицателен множител.
Изнасяне: \(\sqrt[4]{64a^4b^3} = \sqrt[4]{16 \cdot 4 \cdot a^4 \cdot b^3} = \sqrt[4]{2^4 \cdot a^4 \cdot 4b^3} = 2|a|\sqrt[4]{4b^3}\)
Внасяне (при \(a \ge 0\)): \(2a\sqrt[4]{a^3} = \sqrt[4]{(2a)^4 \cdot a^3} = \sqrt[4]{16a^4 a^3} = \sqrt[4]{16a^7}\)
Внасяне (при \(a \ge 0\)): \(2a\sqrt[4]{a^3} = \sqrt[4]{(2a)^4 \cdot a^3} = \sqrt[4]{16a^4 a^3} = \sqrt[4]{16a^7}\)
Внесете множителя под коренния знак в израза \(x^2y\sqrt[3]{3x}\).
Тъй като коренният показател 3 е нечетен, внасяме директно:
\[ x^2y\sqrt[3]{3x} = \sqrt[3]{(x^2y)^3 \cdot 3x} = \sqrt[3]{x^6 y^3 \cdot 3x} = \sqrt[3]{3x^7 y^3} \]
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете стойността на израза \(\sqrt[5]{-1} + \sqrt[4]{81} - \sqrt[3]{64}\).
\(\sqrt[5]{-1} = -1\), \(\sqrt[4]{81} = 3\), \(\sqrt[3]{64} = 4\).
Изразът е равен на \(-1 + 3 - 4 = 2 - 4 = -2\).
Изразът е равен на \(-1 + 3 - 4 = 2 - 4 = -2\).
Средна: Опростете израза \(\frac{\sqrt[3]{108}}{\sqrt[3]{4}} + \sqrt[6]{(-5)^6}\).
Първо, \(\frac{\sqrt[3]{108}}{\sqrt[3]{4}} = \sqrt[3]{\frac{108}{4}} = \sqrt[3]{27} = 3\).
Второ, \(\sqrt[6]{(-5)^6} = |-5| = 5\) (защото коренният показател е четен).
Резултатът е \(3 + 5 = 8\).
Второ, \(\sqrt[6]{(-5)^6} = |-5| = 5\) (защото коренният показател е четен).
Резултатът е \(3 + 5 = 8\).
Трудна: Изнасете множител пред корена в израза \(\sqrt[4]{32x^5y^8}\), ако знаете, че \(x \ge 0\).
Представяме подкоренната величина като произведение от множители, които са точна четвърта степен:
\[ \sqrt[4]{32x^5y^8} = \sqrt[4]{(16 \cdot 2) \cdot (x^4 \cdot x) \cdot (y^8)} = \sqrt[4]{(2^4 \cdot x^4 \cdot (y^2)^4) \cdot 2x} \]
Изнасяме множителите пред корена:
\[ \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{x^4} \cdot \sqrt[4]{(y^2)^4} \cdot \sqrt[4]{2x} = 2 \cdot |x| \cdot |y^2| \cdot \sqrt[4]{2x} \]
Тъй като \(x \ge 0\), то \(|x|=x\). Тъй като \(y^2\) е винаги неотрицателно, то \(|y^2|=y^2\).
Крайният отговор е \(2xy^2\sqrt[4]{2x}\).
Крайният отговор е \(2xy^2\sqrt[4]{2x}\).
