Най-важното от урока
Определение: Корен трети от \(a\) е числото \(x\), за което \(x^3=a\). Той е дефиниран за всички реални числа. Пример: \( \sqrt[3]{-64} = -4 \).
Ключова разлика с корен квадратен: \( \sqrt{a^2} = |a| \), но \( \sqrt[3]{a^3} = a \). Пример: \( \sqrt{(-2)^2} = 2 \), но \( \sqrt[3]{(-2)^3} = -2 \).
Свойства: Действията умножение, деление, изнасяне и внасяне на множител се извършват аналогично на тези при корен квадратен, но без ограничения за знака на числата под корена. Пример: \( \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2} \).
Ключова разлика с корен квадратен: \( \sqrt{a^2} = |a| \), но \( \sqrt[3]{a^3} = a \). Пример: \( \sqrt{(-2)^2} = 2 \), но \( \sqrt[3]{(-2)^3} = -2 \).
Свойства: Действията умножение, деление, изнасяне и внасяне на множител се извършват аналогично на тези при корен квадратен, но без ограничения за знака на числата под корена. Пример: \( \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2} \).
Корен трети от дадено число \(a\) е числото \(x\), чиято трета степен е равна на \(a\). За разлика от квадратния корен, корен трети е дефиниран за всички реални числа (положителни, отрицателни и нула).
\[ x = \sqrt[3]{a} \Leftrightarrow x^3 = a \]
- \( \sqrt[3]{8} = 2 \), защото \( 2^3 = 8 \).
- \( \sqrt[3]{-27} = -3 \), защото \( (-3)^3 = -27 \).
- \( \sqrt[3]{0} = 0 \), защото \( 0^3 = 0 \).
Пресметнете \( \sqrt[3]{64} \).
Отговор: \( \sqrt[3]{64} = 4 \), защото \( 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 \).
Основната разлика е, че квадратният корен е дефиниран само за неотрицателни числа и резултатът винаги е неотрицателен, докато кубичният корен е дефиниран за всички числа и запазва знака на числото.
Най-важните тъждества, които трябва да се запомнят:
- \( \sqrt{a^2} = |a| \) (винаги неотрицателно)
- \( \sqrt[3]{a^3} = a \) (може да бъде и отрицателно)
\( \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 \), което е равно на \( |-5| \).
\( \sqrt[3]{(-5)^3} = \sqrt[3]{-125} = -5 \).
\( \sqrt[3]{(-5)^3} = \sqrt[3]{-125} = -5 \).
Колко е \( \sqrt{(-9)^2} \) и колко е \( \sqrt[3]{(-2)^3} \)?
\( \sqrt{(-9)^2} = |-9| = 9 \)
\( \sqrt[3]{(-2)^3} = -2 \)
\( \sqrt[3]{(-2)^3} = -2 \)
Правилата за действия с корен трети са аналогични на тези за корен квадратен, но важат за всички реални числа \(a\) и \(b\) (с изключение на \(b=0\) при деление).
- Коренуване на произведение: \( \sqrt[3]{ab} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} \)
- Коренуване на частно: \( \sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}} \)
Пресмятане на \( \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{54} \):
\[ \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{4 \cdot 54} = \sqrt[3]{216} = 6 \]
Пресметнете \( \frac{\sqrt[3]{-81}}{\sqrt[3]{3}} \).
\( \frac{\sqrt[3]{-81}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\frac{-81}{3}} = \sqrt[3]{-27} = -3 \)
Това са често използвани преобразувания за опростяване на изрази с кубични корени.
- Изнасяне на множител: \( \sqrt[3]{a^3 b} = a\sqrt[3]{b} \)
- Внасяне на множител: \( a\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a^3 b} \)
Изнасяне: \( \sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2} \)
Внасяне: \( 2\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 5} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} = \sqrt[3]{40} \)
Внасяне: \( 2\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 5} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} = \sqrt[3]{40} \)
Изнесете множител пред корена в израза \( \sqrt[3]{16a^4} \).
\( \sqrt[3]{16a^4} = \sqrt[3]{8 \cdot 2 \cdot a^3 \cdot a} = \sqrt[3]{2^3 \cdot a^3 \cdot 2a} = 2a\sqrt[3]{2a} \)
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете стойността на израза \( \sqrt[3]{125} - \sqrt[3]{-8} \).
\( \sqrt[3]{125} = 5 \)
\( \sqrt[3]{-8} = -2 \)
\( 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 \)
\( \sqrt[3]{-8} = -2 \)
\( 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 \)
Средна: Опростете израза \( \sqrt[3]{24} + \sqrt[3]{81} \).
Първо изнасяме множители пред корените:
\( \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = 2\sqrt[3]{3} \)
\( \sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{27 \cdot 3} = 3\sqrt[3]{3} \)
След това събираме: \( 2\sqrt[3]{3} + 3\sqrt[3]{3} = (2+3)\sqrt[3]{3} = 5\sqrt[3]{3} \)
\( \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = 2\sqrt[3]{3} \)
\( \sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{27 \cdot 3} = 3\sqrt[3]{3} \)
След това събираме: \( 2\sqrt[3]{3} + 3\sqrt[3]{3} = (2+3)\sqrt[3]{3} = 5\sqrt[3]{3} \)
Трудна: Пресметнете \( \frac{2\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{16}} \).
I начин (с опростяване):
\( \frac{2\sqrt[3]{27 \cdot 2}}{\sqrt[3]{8 \cdot 2}} = \frac{2 \cdot 3\sqrt[3]{2}}{2\sqrt[3]{2}} = \frac{6\sqrt[3]{2}}{2\sqrt[3]{2}} = 3 \)
II начин (с внасяне и деление):
\( \frac{\sqrt[3]{2^3 \cdot 54}}{\sqrt[3]{16}} = \frac{\sqrt[3]{8 \cdot 54}}{\sqrt[3]{16}} = \frac{\sqrt[3]{432}}{\sqrt[3]{16}} = \sqrt[3]{\frac{432}{16}} = \sqrt[3]{27} = 3 \)
\( \frac{2\sqrt[3]{27 \cdot 2}}{\sqrt[3]{8 \cdot 2}} = \frac{2 \cdot 3\sqrt[3]{2}}{2\sqrt[3]{2}} = \frac{6\sqrt[3]{2}}{2\sqrt[3]{2}} = 3 \)
II начин (с внасяне и деление):
\( \frac{\sqrt[3]{2^3 \cdot 54}}{\sqrt[3]{16}} = \frac{\sqrt[3]{8 \cdot 54}}{\sqrt[3]{16}} = \frac{\sqrt[3]{432}}{\sqrt[3]{16}} = \sqrt[3]{\frac{432}{16}} = \sqrt[3]{27} = 3 \)
