Най-важното от урока
Ос на тангенсите: Вертикална права \(x=1\). Стойността на \(\operatorname{tg} \alpha\) е y-координатата на пресечната точка. Пример: \(\operatorname{tg} 45^\circ = 1\).
Ос на котангенсите: Хоризонтална права \(y=1\). Стойността на \(\operatorname{cotg} \alpha\) е x-координатата на пресечната точка. Пример: \(\operatorname{cotg} 135^\circ = -1\).
Знаци: \(\operatorname{tg}\) и \(\operatorname{cotg}\) са положителни в I и III квадрант и отрицателни в II и IV квадрант.
Периодичност: И двете функции се повтарят през \(\pi\) (\(180^\circ\)). Пример: \(\operatorname{tg} 30^\circ = \operatorname{tg} 210^\circ\).
Ос на котангенсите: Хоризонтална права \(y=1\). Стойността на \(\operatorname{cotg} \alpha\) е x-координатата на пресечната точка. Пример: \(\operatorname{cotg} 135^\circ = -1\).
Знаци: \(\operatorname{tg}\) и \(\operatorname{cotg}\) са положителни в I и III квадрант и отрицателни в II и IV квадрант.
Периодичност: И двете функции се повтарят през \(\pi\) (\(180^\circ\)). Пример: \(\operatorname{tg} 30^\circ = \operatorname{tg} 210^\circ\).
Ос на тангенсите е вертикална права линия с уравнение \(x=1\), която е допирателна до единичната окръжност в точката \(A(1, 0)\).
Стойността на \(\operatorname{tg} \alpha\) е равна на ординатата (y-координатата) на пресечната точка \(P\) на второто рамо на ъгъла (или неговото продължение) с оста на тангенсите.
За ъгъл \(\alpha = 45^\circ\), второто му рамо пресича оста на тангенсите в точка с координати \((1, 1)\). Следователно, \(\operatorname{tg} 45^\circ = 1\). За ъгъл \(\alpha = 135^\circ\), продължението на второто му рамо пресича оста в точка с координати \((1, -1)\), следователно \(\operatorname{tg} 135^\circ = -1\).
Като използвате оста на тангенсите, определете знака на \(\operatorname{tg} 200^\circ\).
Отговор: Ъгъл от \(200^\circ\) е в III квадрант. Продължението на второто му рамо пресича оста на тангенсите в нейната положителна част (над оста Ox). Следователно, \(\operatorname{tg} 200^\circ > 0\).
Ос на котангенсите е хоризонтална права линия с уравнение \(y=1\), която е допирателна до единичната окръжност в точката \(B(0, 1)\).
Стойността на \(\operatorname{cotg} \alpha\) е равна на абсцисата (x-координатата) на пресечната точка \(Q\) на второто рамо на ъгъла (или неговото продължение) с оста на котангенсите.
За ъгъл \(\alpha = 60^\circ\), второто му рамо пресича оста на котангенсите в точка с x-координата \(\frac{\sqrt{3}}{3}\). Следователно, \(\operatorname{cotg} 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}\). За ъгъл \(\alpha = 300^\circ\), второто рамо пресича оста на котангенсите в отрицателната ѝ част, \(\operatorname{cotg} 300^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}\).
Като използвате оста на котангенсите, определете знака на \(\operatorname{cotg} 310^\circ\).
Отговор: Ъгъл от \(310^\circ\) е в IV квадрант. Второто му рамо пресича оста на котангенсите в нейната отрицателна част (вляво от оста Oy). Следователно, \(\operatorname{cotg} 310^\circ < 0\).
Функциите тангенс и котангенс са периодични с период \(\pi\) (или \(180^\circ\)). Това означава, че ъгли, които се различават с \(k \cdot 180^\circ\) (където \(k\) е цяло число), имат еднакви стойности за тангенс и котангенс.
\[ \operatorname{tg} \alpha = \operatorname{tg}(\alpha + k\pi) \]
\[ \operatorname{cotg} \alpha = \operatorname{cotg}(\alpha + k\pi) \]
Знаем, че \(\operatorname{tg} \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}\).
Други ъгли със същата стойност са:
\(\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}\)
\(\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}\)
\(\frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}\)
\(\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}\)
\(\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}\)
\(\frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}\)
Ако \(\operatorname{cotg} x = 1\) за \(x = \frac{\pi}{4}\), посочете друг положителен ъгъл \(y\) със същата стойност на котангенса.
Отговор: \(y = x + \pi = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}\).
Задачи за упражнение
Лесна: Сравнете \(\operatorname{cotg} 20^\circ\) и \(\operatorname{cotg} 80^\circ\).
В интервала \((0^\circ, 90^\circ)\) функцията котангенс е намаляваща. Тъй като \(20^\circ < 80^\circ\), то \(\operatorname{cotg} 20^\circ > \operatorname{cotg} 80^\circ\).
Средна: Намерете стойността на \(\operatorname{tg} \left(-\frac{\pi}{4}\right)\), като използвате оста на тангенсите.
Ъгъл \(-\frac{\pi}{4}\) (\(-45^\circ\)) е в IV квадрант. Второто му рамо пресича оста на тангенсите в точка с ордината -1. Следователно \(\operatorname{tg} \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1\).
Трудна: Посочете всички ъгли \(x\) в интервала \([0^\circ, 360^\circ]\), за които \(\operatorname{tg} x = \sqrt{3}\).
Знаем, че \(\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}\). Тангенсът е положителен в I и III квадрант.
Първият ъгъл е \(x_1 = 60^\circ\).
Вторият ъгъл се намира, като към първия добавим \(180^\circ\): \(x_2 = 60^\circ + 180^\circ = 240^\circ\).
Отговор: \(60^\circ\) и \(240^\circ\).
Първият ъгъл е \(x_1 = 60^\circ\).
Вторият ъгъл се намира, като към първия добавим \(180^\circ\): \(x_2 = 60^\circ + 180^\circ = 240^\circ\).
Отговор: \(60^\circ\) и \(240^\circ\).
