Най-важното от урока
При основа \( a > 1 \): Посоката на неравенството се запазва. По-голямото число има по-голям логаритъм.
Пример: \(\log_3 10 > \log_3 9\), защото \(10 > 9\).
При основа \( 0 < a < 1 \): Посоката на неравенството се обръща. По-голямото число има по-малък логаритъм.
Пример: \(\log_{1/3} 10 < \log_{1/3} 9\), защото \(10 > 9\).
Знак на логаритъма:
• \(\log_a x > 0\), ако \(a, x > 1\) или \(0 < a, x < 1\). Пример: \(\log_5 25 > 0\)
• \(\log_a x < 0\), ако едното е \(> 1\), а другото \(< 1\). Пример: \(\log_5 0.2 < 0\)
Пример: \(\log_3 10 > \log_3 9\), защото \(10 > 9\).
При основа \( 0 < a < 1 \): Посоката на неравенството се обръща. По-голямото число има по-малък логаритъм.
Пример: \(\log_{1/3} 10 < \log_{1/3} 9\), защото \(10 > 9\).
Знак на логаритъма:
• \(\log_a x > 0\), ако \(a, x > 1\) или \(0 < a, x < 1\). Пример: \(\log_5 25 > 0\)
• \(\log_a x < 0\), ако едното е \(> 1\), а другото \(< 1\). Пример: \(\log_5 0.2 < 0\)
Когато основата \(a\) е по-голяма от 1, по-голямото число има по-голям логаритъм. Посоката на неравенството се запазва.
Ако \(0 < x_1 < x_2\), то \(\log_a x_1 < \log_a x_2\).
Ако \(0 < x_1 < x_2\), то \(\log_a x_1 < \log_a x_2\).
Да сравним \(\log_2 7\) и \(\log_2 11\).
Основата е \(a = 2 > 1\). Тъй като \(7 < 11\), следва, че \(\log_2 7 < \log_2 11\).
Основата е \(a = 2 > 1\). Тъй като \(7 < 11\), следва, че \(\log_2 7 < \log_2 11\).
Сравнете \(\log_5 19\) и \(\log_5 4\).
Отговор: Основата е \(5 > 1\) и \(19 > 4\), следователно \(\log_5 19 > \log_5 4\).
Когато основата \(a\) е между 0 и 1, по-голямото число има по-малък логаритъм. Посоката на неравенството се обръща.
Ако \(0 < x_1 < x_2\), то \(\log_a x_1 > \log_a x_2\).
Ако \(0 < x_1 < x_2\), то \(\log_a x_1 > \log_a x_2\).
Да сравним \(\log_{0.3} 7\) и \(\log_{0.3} 13\).
Основата е \(a = 0.3 < 1\). Тъй като \(7 < 13\), следва, че \(\log_{0.3} 7 > \log_{0.3} 13\).
Основата е \(a = 0.3 < 1\). Тъй като \(7 < 13\), следва, че \(\log_{0.3} 7 > \log_{0.3} 13\).
Сравнете \(\log_{\frac{1}{4}} 2\) и \(\log_{\frac{1}{4}} 3\).
Отговор: Основата е \(\frac{1}{4} < 1\) и \(2 < 3\), следователно \(\log_{\frac{1}{4}} 2 > \log_{\frac{1}{4}} 3\).
Знакът на \(\log_a x\) се определя от разположението на основата \(a\) и аргумента \(x\) спрямо числото 1.
- \(\log_a x > 0\) (положителен), ако \(a\) и \(x\) са едновременно по-големи от 1 или едновременно по-малки от 1.
- \(\log_a x < 0\) (отрицателен), ако едното от числата (\(a\) или \(x\)) е по-голямо от 1, а другото е по-малко от 1.
Определете знака на \(\log_3 \frac{1}{3}\) и \(\log_{0.5} \frac{1}{6}\).
• За \(\log_3 \frac{1}{3}\): основата \(a=3>1\), а аргументът \(x=\frac{1}{3}<1\). Числата са от различни страни на 1, следователно \(\log_3 \frac{1}{3} < 0\).
• За \(\log_{0.5} \frac{1}{6}\): основата \(a=0.5<1\), а аргументът \(x=\frac{1}{6}<1\). Числата са от една и съща страна на 1, следователно \(\log_{0.5} \frac{1}{6} > 0\).
• За \(\log_3 \frac{1}{3}\): основата \(a=3>1\), а аргументът \(x=\frac{1}{3}<1\). Числата са от различни страни на 1, следователно \(\log_3 \frac{1}{3} < 0\).
• За \(\log_{0.5} \frac{1}{6}\): основата \(a=0.5<1\), а аргументът \(x=\frac{1}{6}<1\). Числата са от една и съща страна на 1, следователно \(\log_{0.5} \frac{1}{6} > 0\).
Какъв е знакът на \(\log_{0.1} 15\)?
Отговор: Основата \(a=0.1<1\), а аргументът \(x=15>1\). Те са от различни страни на 1, затова логаритъмът е отрицателен: \(\log_{0.1} 15 < 0\).
Задачи за упражнение
Лесна: Сравнете числата \(\log_7 15\) и \(\log_7 21\).
Основата \(a=7>1\). Тъй като \(15 < 21\), посоката на неравенството се запазва.
Отговор: \(\log_7 15 < \log_7 21\).
Отговор: \(\log_7 15 < \log_7 21\).
Средна: Сравнете с нулата числото \(A = \log_{0.4} 0.8\).
Основата \(a = 0.4 < 1\) и аргументът \(x = 0.8 < 1\). Тъй като и двете числа са от една и съща страна на 1 (по-малки са от 1), логаритъмът е положителен.
Отговор: \(A > 0\).
Отговор: \(A > 0\).
Трудна: Подредете по големина числата \(A = \log_4 17\), \(B = \log_{0.2} 20\) и \(C = \log_4 0.3\).
Първо определяме знаците на числата:
• \(A = \log_4 17\): \(a=4>1, x=17>1 \implies A > 0\).
• \(B = \log_{0.2} 20\): \(a=0.2<1, x=20>1 \implies B < 0\).
• \(C = \log_4 0.3\): \(a=4>1, x=0.3<1 \implies C < 0\).
Числото A е единственото положително, следователно е най-голямо. Сега трябва да сравним B и C, но те са с различни основи.
Забележка: Сравняването на B и C изисква смяна на основата, което не е част от този урок. Коригирана задача, която може да се реши с изучения материал:
Подредете по големина: \(A = \log_4 17\), \(C = \log_4 0.3\) и \(D = \log_4 1\).
Тъй като основата \(a=4>1\), сравняваме аргументите: \(0.3 < 1 < 17\).
Следователно \(\log_4 0.3 < \log_4 1 < \log_4 17\).
Като знаем, че \(\log_4 1 = 0\), подредбата е \(C < D < A\).
• \(A = \log_4 17\): \(a=4>1, x=17>1 \implies A > 0\).
• \(B = \log_{0.2} 20\): \(a=0.2<1, x=20>1 \implies B < 0\).
• \(C = \log_4 0.3\): \(a=4>1, x=0.3<1 \implies C < 0\).
Числото A е единственото положително, следователно е най-голямо. Сега трябва да сравним B и C, но те са с различни основи.
Забележка: Сравняването на B и C изисква смяна на основата, което не е част от този урок. Коригирана задача, която може да се реши с изучения материал:
Подредете по големина: \(A = \log_4 17\), \(C = \log_4 0.3\) и \(D = \log_4 1\).
Тъй като основата \(a=4>1\), сравняваме аргументите: \(0.3 < 1 < 17\).
Следователно \(\log_4 0.3 < \log_4 1 < \log_4 17\).
Като знаем, че \(\log_4 1 = 0\), подредбата е \(C < D < A\).
