Най-важното от урока
Връзка степен-логаритъм: Основното равенство е \( \log_a b = x \Leftrightarrow a^x = b \). Пример: \( \log_2 8 = 3 \Leftrightarrow 2^3=8 \).
Степен и корен: Дробният показател е просто друг запис на корен. Пример: \( 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3 \).
Ключови свойства: Сбор от логаритми е логаритъм от произведение, а разлика е логаритъм от частно. Степента "излиза" като множител отпред. Пример: \( 2\log_3 5 = \log_3(5^2) = \log_3 25 \).
Допустими стойности: Винаги проверявай! Аргументът на логаритъм > 0, основата > 0 и \(\ne\) 1, подкоренна величина на четен корен \(\ge\) 0.
Степен и корен: Дробният показател е просто друг запис на корен. Пример: \( 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3 \).
Ключови свойства: Сбор от логаритми е логаритъм от произведение, а разлика е логаритъм от частно. Степента "излиза" като множител отпред. Пример: \( 2\log_3 5 = \log_3(5^2) = \log_3 25 \).
Допустими стойности: Винаги проверявай! Аргументът на логаритъм > 0, основата > 0 и \(\ne\) 1, подкоренна величина на четен корен \(\ge\) 0.
Степен с дробен (рационален) показател се дефинира чрез корен.
\[ a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \]
където \(a > 0\), \(m\) е цяло число, а \(n\) е естествено число.
Пресмятане на \(8^{\frac{2}{3}}\):
\[ 8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4 \]
Или по-лесно:
\[ 8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4 \]
Пресметнете стойността на \(27^{\frac{2}{3}}\).
\(27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9\).
Корен n-ти от числото \(a\) е число \(x\), за което \(x^n=a\).
- При четно n (квадратен корен, \(\sqrt[4]{..}\) и т.н.): подкоренната величина трябва да е неотрицателна (\(a \ge 0\)) и резултатът също е неотрицателен (\(\sqrt[n]{a} \ge 0\)).
- При нечетно n (кубичен корен, \(\sqrt[5]{..}\) и т.н.): подкоренната величина може да е всякакво реално число.
- \(\sqrt[4]{81} = 3\), защото \(3^4=81\) и \(3 \ge 0\).
- \(\sqrt[3]{-8} = -2\), защото \((-2)^3 = -8\).
Опростете израза \(\sqrt[4]{a^8 b^4}\), ако \(b \ge 0\).
\(\sqrt[4]{a^8 b^4} = \sqrt[4]{(a^2)^4 b^4} = |a^2| \cdot |b|\). Тъй като \(a^2 \ge 0\) и по условие \(b \ge 0\), изразът е равен на \(a^2 b\).
Логаритъм на числото \(b\) при основа \(a\) се нарича степенният показател \(x\), на който трябва да повдигнем основата \(a\), за да получим числото \(b\).
\[ \log_a b = x \Leftrightarrow a^x = b \]
Условия за съществуване (допустими стойности):
- Аргумент: \(b > 0\)
- Основа: \(a > 0\) и \(a \ne 1\)
\(\log_2 8 = 3\), защото \(2^3 = 8\).
\(\log_5 25 = 2\), защото \(5^2 = 25\).
\(\log_5 25 = 2\), защото \(5^2 = 25\).
Намерете \(\log_3 81\).
Търсим число \(x\), за което \(3^x = 81\). Тъй като \(81 = 3^4\), то \(x = 4\). Следователно \(\log_3 81 = 4\).
- Логаритъм от произведение: \(\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y\)
- Логаритъм от частно: \(\log_a(\frac{x}{y}) = \log_a x - \log_a y\)
- Логаритъм от степен: \(\log_a(x^p) = p \cdot \log_a x\)
- Смяна на основата: \(\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}\)
Пресмятане на \(\log_6 2 + \log_6 18\) чрез свойствата:
\[ \log_6 2 + \log_6 18 = \log_6 (2 \cdot 18) = \log_6 36 = 2 \]
Опростете израза \(2\log_5 10 - \log_5 4\).
\(2\log_5 10 - \log_5 4 = \log_5(10^2) - \log_5 4 = \log_5 100 - \log_5 4 = \log_5(\frac{100}{4}) = \log_5 25 = 2\).
Намирането на допустими стойности означава да се определят всички стойности на променливата, за които даден израз има смисъл.
Ключови правила:
- Подкоренна величина на четен корен (\(\sqrt[2k]{...}\)) трябва да бъде \(\ge 0\).
- Знаменателят на дроб трябва да бъде \(\ne 0\).
- Аргументът на логаритъм (\(\log_a b\)) трябва да бъде \(> 0\).
- Основата на логаритъм (\(\log_a b\)) трябва да бъде \(> 0\) и \(\ne 1\).
За израза \(\log_{x-1}(5-x)\) допустимите стойности се намират от системата:
\[ \begin{cases} 5-x > 0 \implies x < 5 \\ x-1 > 0 \implies x > 1 \\ x-1 \ne 1 \implies x \ne 2 \end{cases} \]
Решението е \(x \in (1, 2) \cup (2, 5)\).
Намерете допустимите стойности за израза \(\frac{1}{\sqrt{x-3}}\).
Трябва да са изпълнени две условия:
1. Изразът под корена да е неотрицателен: \(x-3 \ge 0 \implies x \ge 3\).
2. Знаменателят да е различен от нула: \(\sqrt{x-3} \ne 0 \implies x-3 \ne 0 \implies x \ne 3\).
Като обединим двете условия, получаваме \(x > 3\), т.е. \(x \in (3, \infty)\).
1. Изразът под корена да е неотрицателен: \(x-3 \ge 0 \implies x \ge 3\).
2. Знаменателят да е различен от нула: \(\sqrt{x-3} \ne 0 \implies x-3 \ne 0 \implies x \ne 3\).
Като обединим двете условия, получаваме \(x > 3\), т.е. \(x \in (3, \infty)\).
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете стойността на израза \( A = \log_6 36 + \log_2 16 - \log_5 1 \).
\( \log_6 36 = 2 \), защото \(6^2 = 36\).
\( \log_2 16 = 4 \), защото \(2^4 = 16\).
\( \log_5 1 = 0 \), защото \(5^0 = 1\).
\( A = 2 + 4 - 0 = 6 \).
\( \log_2 16 = 4 \), защото \(2^4 = 16\).
\( \log_5 1 = 0 \), защото \(5^0 = 1\).
\( A = 2 + 4 - 0 = 6 \).
Средна: Намерете \(x\), ако \(\log_3 x = 2\log_3 5 + \log_3 4 - \log_3 10\).
Прилагаме свойствата на логаритмите:
\( \log_3 x = \log_3(5^2) + \log_3 4 - \log_3 10 \)
\( \log_3 x = \log_3 25 + \log_3 4 - \log_3 10 \)
\( \log_3 x = \log_3(25 \cdot 4) - \log_3 10 \)
\( \log_3 x = \log_3 100 - \log_3 10 \)
\( \log_3 x = \log_3(\frac{100}{10}) \)
\( \log_3 x = \log_3 10 \)
\( x = 10 \)
\( \log_3 x = \log_3(5^2) + \log_3 4 - \log_3 10 \)
\( \log_3 x = \log_3 25 + \log_3 4 - \log_3 10 \)
\( \log_3 x = \log_3(25 \cdot 4) - \log_3 10 \)
\( \log_3 x = \log_3 100 - \log_3 10 \)
\( \log_3 x = \log_3(\frac{100}{10}) \)
\( \log_3 x = \log_3 10 \)
\( x = 10 \)
Трудна: Определете допустимите стойности на \(x\) в израза \( A = \log_x (9 - x^2) \).
Трябва да решим системата от неравенства:
1. За аргумента: \( 9 - x^2 > 0 \implies (3-x)(3+x) > 0 \implies x \in (-3, 3) \)
2. За основата: \( x > 0 \)
3. За основата: \( x \ne 1 \)
Пресичайки трите условия, получаваме: \( x \in (0, 1) \cup (1, 3) \).
1. За аргумента: \( 9 - x^2 > 0 \implies (3-x)(3+x) > 0 \implies x \in (-3, 3) \)
2. За основата: \( x > 0 \)
3. За основата: \( x \ne 1 \)
Пресичайки трите условия, получаваме: \( x \in (0, 1) \cup (1, 3) \).
