Най-важното от урока
Координати в тригонометрична окръжност: Точка, отговаряща на ъгъл \( \alpha \), има координати \( (\cos\alpha, \sin\alpha) \).
Опростяване на изрази: Използвайте основните тъждества (\( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), \( \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} \)) и формулите за сбор/разлика на ъгли.
Формули за удвоен ъгъл: Те са мощeн инструмент за решаване на уравнения и опростяване. Пример: \( \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \).
Квадрант на ъгъла: Винаги съобразявайте квадранта, за да определите правилния знак (+ или -) на тригонометричните функции.
Опростяване на изрази: Използвайте основните тъждества (\( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), \( \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} \)) и формулите за сбор/разлика на ъгли.
Формули за удвоен ъгъл: Те са мощeн инструмент за решаване на уравнения и опростяване. Пример: \( \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \).
Квадрант на ъгъла: Винаги съобразявайте квадранта, за да определите правилния знак (+ или -) на тригонометричните функции.
Координатите на точка \( P \) върху тригонометричната окръжност, която е второто рамо на ъгъл \( \alpha \) с начално рамо по положителната част на оста Ox, са \( (\cos \alpha, \sin \alpha) \).
Ако връх на правилен шестоъгълник, вписан в тригонометричната окръжност, е в точка \(A(1,0)\), то следващият връх \(B\) ще отговаря на ъгъл \(60^\circ\). Неговите координати са:
\[ B(\cos 60^\circ, \sin 60^\circ) = \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \]
Намерете координатите на точка \(M\) от тригонометричната окръжност, съответстваща на ъгъл \(135^\circ\).
Координатите са \((\cos 135^\circ, \sin 135^\circ)\).
\(\cos 135^\circ = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Отговор: \(M\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
\(\cos 135^\circ = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Отговор: \(M\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
Сложни тригонометрични изрази могат да се опростят чрез използване на основни тъждества, формули за сбор и разлика на ъгли, както и свойствата на функциите (четност, периодичност).
Формула за косинус от разлика:
\[ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \]
Пресмятане на \( A = \frac{\cos 306^\circ \cos 333^\circ + \sin 306^\circ \sin 333^\circ}{\cos 333^\circ} \):
В числителя разпознаваме формулата за \( \cos(333^\circ - 306^\circ) \). \[ A = \frac{\cos(27^\circ)}{\cos 333^\circ} \] Използваме, че \( \cos 333^\circ = \cos(360^\circ - 27^\circ) = \cos 27^\circ \). \[ A = \frac{\cos 27^\circ}{\cos 27^\circ} = 1 \]
В числителя разпознаваме формулата за \( \cos(333^\circ - 306^\circ) \). \[ A = \frac{\cos(27^\circ)}{\cos 333^\circ} \] Използваме, че \( \cos 333^\circ = \cos(360^\circ - 27^\circ) = \cos 27^\circ \). \[ A = \frac{\cos 27^\circ}{\cos 27^\circ} = 1 \]
Опростете израза \( \sin(45^\circ + \alpha) - \sin(45^\circ - \alpha) \).
Използваме формулите за синус от сбор и разлика:
\(\sin(45^\circ)\cos\alpha + \cos(45^\circ)\sin\alpha - (\sin(45^\circ)\cos\alpha - \cos(45^\circ)\sin\alpha)\)
\( = \cancel{\sin(45^\circ)\cos\alpha} + \cos(45^\circ)\sin\alpha - \cancel{\sin(45^\circ)\cos\alpha} + \cos(45^\circ)\sin\alpha \)
\( = 2 \cos(45^\circ)\sin\alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\alpha = \sqrt{2}\sin\alpha \)
Отговор: \( \sqrt{2}\sin\alpha \)
\(\sin(45^\circ)\cos\alpha + \cos(45^\circ)\sin\alpha - (\sin(45^\circ)\cos\alpha - \cos(45^\circ)\sin\alpha)\)
\( = \cancel{\sin(45^\circ)\cos\alpha} + \cos(45^\circ)\sin\alpha - \cancel{\sin(45^\circ)\cos\alpha} + \cos(45^\circ)\sin\alpha \)
\( = 2 \cos(45^\circ)\sin\alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin\alpha = \sqrt{2}\sin\alpha \)
Отговор: \( \sqrt{2}\sin\alpha \)
Тези формули свързват тригонометричните функции на ъгъл \(2\alpha\) с тези на ъгъл \(\alpha\). При решаване на задачи е ключово да се определи квадрантът на ъгъла \(\alpha\), за да се изберат правилните знаци на функциите.
\[ \operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} \quad \quad \cos 2\alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} \]
Ако \( \operatorname{cotg} \alpha = \frac{1}{3} \), то \( \operatorname{tg} \alpha = 3 \). Можем да намерим \( \cos 2\alpha \):
\[ \cos 2\alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} = \frac{1 - 3^2}{1 + 3^2} = \frac{1-9}{1+9} = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5} \]
Ако \( \sin\alpha = \frac{3}{5} \) и \( \alpha \) е в I квадрант, намерете \( \sin 2\alpha \). (Използвайте \( \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha \))
Първо намираме \(\cos\alpha\). От \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \) следва \( \cos^2\alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \).
Тъй като \(\alpha\) е в I квадрант, \( \cos\alpha > 0 \), следователно \( \cos\alpha = \frac{4}{5} \).
Тогава \( \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25} \).
Отговор: \( \frac{24}{25} \)
Тъй като \(\alpha\) е в I квадрант, \( \cos\alpha > 0 \), следователно \( \cos\alpha = \frac{4}{5} \).
Тогава \( \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25} \).
Отговор: \( \frac{24}{25} \)
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете стойността на \( \cos 210^\circ \).
Ъгъл \(210^\circ\) е в трети квадрант, където косинусът е отрицателен.
\( \cos 210^\circ = \cos(180^\circ + 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
Отговор: \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \cos 210^\circ = \cos(180^\circ + 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
Отговор: \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
Средна: Ако \( \cos \alpha = -\frac{5}{13} \) и \( \alpha \in \left( \pi, \frac{3\pi}{2} \right) \), намерете \( \operatorname{tg} \alpha \).
Ъгълът \(\alpha\) е в трети квадрант, където \(\sin \alpha < 0\) и \(\operatorname{tg} \alpha > 0\).
От \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \) намираме \( \sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} \).
Следователно \( \sin\alpha = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13} \).
Тогава \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-12/13}{-5/13} = \frac{12}{5} \).
Отговор: \( \frac{12}{5} \)
От \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \) намираме \( \sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} \).
Следователно \( \sin\alpha = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13} \).
Тогава \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-12/13}{-5/13} = \frac{12}{5} \).
Отговор: \( \frac{12}{5} \)
Трудна: Докажете тъждеството: \( \frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} = \operatorname{tg} x \).
Използваме формулите за удвоен ъгъл: \( \sin 2x = 2\sin x \cos x \) и \( \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \).
Лявата страна става: \[ \frac{2\sin x \cos x}{1 + (2\cos^2 x - 1)} = \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} \] Съкращаваме \(2\cos x\) (при \(\cos x \neq 0\)): \[ \frac{\sin x}{\cos x} = \operatorname{tg} x \] Лявата страна е равна на дясната, с което тъждеството е доказано.
Лявата страна става: \[ \frac{2\sin x \cos x}{1 + (2\cos^2 x - 1)} = \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} \] Съкращаваме \(2\cos x\) (при \(\cos x \neq 0\)): \[ \frac{\sin x}{\cos x} = \operatorname{tg} x \] Лявата страна е равна на дясната, с което тъждеството е доказано.
