Най-важното от урока
Решаване на трапец: Често се налага спускане на височини, за да се получат правоъгълни триъгълници.
Правоъгълен трапец: Една височина е достатъчна. \(S = \frac{a+b}{2} \cdot h\), \(BC^2 = (a-b)^2+h^2\).
Тангенциален трапец: \(a+b=c+d\) и \(h=2r\). Лицето е \(S = \frac{c+d}{2} \cdot 2r = (c+d)r\).
Зависимост за диагонали: \(d_1^2 + d_2^2 = c^2 + d^2 + 2ab\). Полезна е за намиране на елемент, ако другите са известни.
Правоъгълен трапец: Една височина е достатъчна. \(S = \frac{a+b}{2} \cdot h\), \(BC^2 = (a-b)^2+h^2\).
Тангенциален трапец: \(a+b=c+d\) и \(h=2r\). Лицето е \(S = \frac{c+d}{2} \cdot 2r = (c+d)r\).
Зависимост за диагонали: \(d_1^2 + d_2^2 = c^2 + d^2 + 2ab\). Полезна е за намиране на елемент, ако другите са известни.
Ключов метод при решаване на правоъгълен трапец е спускането на височина от върха на малката основа към голямата. Това разделя трапеца на правоъгълник и правоъгълен триъгълник, което позволява прилагането на Питагорова теорема и тригонометрични функции.
От правоъгълника \(AQCD\) следва, че \(AQ = CD\) и \(CQ = AD\). Дължината на \(QB\) се намира от \(QB = AB - AQ\). След това се прилага Питагорова теорема за \(\triangle BQC\) (\(BC^2 = BQ^2 + CQ^2\)) за намиране на бедрото \(BC\).
В правоъгълен трапец \(ABCD\) са дадени \(AB=15\), \(CD=10\) и \(AD=12\).
- Спускаме височина \(CQ \perp AB\).
- Получаваме \(AQ = CD = 10\) и \(CQ = AD = 12\).
- \(QB = AB - AQ = 15 - 10 = 5\).
- От \(\triangle BQC\) намираме \(BC^2 = BQ^2 + CQ^2 = 5^2 + 12^2 = 169\), следователно \(BC=13\).
- Диагоналите се намират с Питагорова теорема:
- За \(\triangle ABD\): \(BD^2 = AB^2+AD^2 = 15^2+12^2=369 \Rightarrow BD = 3\sqrt{41}\).
- За \(\triangle ACQ\): \(AC^2 = AQ^2+CQ^2 = 10^2+12^2=244 \Rightarrow AC = 2\sqrt{61}\).
Даден е правоъгълен трапец с основи 8 см и 5 см и право бедро 4 см. Намерете дължината на другото бедро.
Нека \(AB=8, CD=5, AD=4\). Спускаме височина \(CQ=AD=4\). Тогава \(BQ = AB - CD = 8 - 5 = 3\) см. От правоъгълния \(\triangle BQC\), по Питагорова теорема: \(BC^2 = BQ^2 + CQ^2 = 3^2 + 4^2 = 9+16=25\). Следователно \(BC=5\) см.
Трапец, в който може да се впише окръжност, се нарича тангенциален. За него са в сила две важни свойства.
Свойство 1: Сумата от дължините на основите е равна на сумата от дължините на бедрата.
\[ a + b = c + d \]
Свойство 2: Височината на трапеца е равна на диаметъра на вписаната окръжност.
\[ h = 2r \]
В трапец е вписана окръжност с радиус \(r=3\). Бедрата са с дължини 13 и 7. За да намерим лицето:
- Намираме сумата на основите: \(a+b = c+d = 13+7=20\).
- Намираме височината: \(h = 2r = 2 \cdot 3 = 6\).
- Изчисляваме лицето: \(S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{20}{2} \cdot 6 = 10 \cdot 6 = 60\).
В трапец с бедра 10 см и 12 см е вписана окръжност. Периметърът на трапеца е 44 см. Намерете сумата на основите му.
Тъй като трапецът е тангенциален, \(a+b = c+d = 10+12 = 22\) см. Периметърът е \(P = (a+b)+(c+d) = 22+22=44\) см, което потвърждава условието. Сумата на основите е 22 см.
Ако са дадени основите \(a, b\) и ъглите при голямата основа \(\alpha\) и \(\beta\), лицето може да се намери, като първо се изрази височината \(h\) чрез основите и ъглите.
Спускат се височините \(DP\) и \(CQ\). От правоъгълните триъгълници \(\triangle APD\) и \(\triangle BQC\) се изразяват отсечките \(AP\) и \(BQ\) чрез височината \(h\) и котангенсите на ъглите \(\alpha\) и \(\beta\). От равенството \(a = AP+b+BQ\) се намира \(h\).
\[ h = \frac{a-b}{\cot\alpha + \cot\beta} \]
Където \(a\) е голямата основа, \(b\) е малката, а \(\alpha, \beta\) са прилежащите им ъгли.
За трапец с основи \(a,b\) и ъгли \(\alpha=30^\circ, \beta=60^\circ\), височината е \(h = \frac{a-b}{\cot30^\circ + \cot60^\circ} = \frac{a-b}{\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{a-b}{\frac{4\sqrt{3}}{3}} = \frac{3(a-b)}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(a-b)}{4}\). Тогава лицето е \(S=\frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{\sqrt{3}(a^2-b^2)}{8}\).
Равнобедрен трапец има основи 14 см и 4 см, и остри ъгли 45°. Намерете височината му.
Тук \(\alpha = \beta = 45^\circ\), \(\cot45^\circ=1\).
Прилагаме формулата: \(h = \frac{14-4}{\cot45^\circ + \cot45^\circ} = \frac{10}{1+1} = 5\) см.
За всеки трапец е в сила зависимост, която свързва квадратите на диагоналите с квадратите на бедрата и произведението на основите.
\[ d_1^2 + d_2^2 = c^2 + d^2 + 2ab \]
Където \(d_1, d_2\) са диагоналите, \(c, d\) са бедрата, а \(a, b\) са основите.
В равнобедрен трапец бедрата са равни (\(c=d\)) и диагоналите са равни (\(d_1=d_2\)). Формулата се опростява до:
\[ d_1^2 + d_1^2 = c^2 + c^2 + 2ab \]
\[ 2d_1^2 = 2c^2 + 2ab \]
\[ d_1^2 = c^2 + ab \]
В трапец са дадени основи \(a=10, b=4\), бедра \(c=7, d=5\). Намерете сумата от квадратите на диагоналите му.
Прилагаме директно формулата:
\(d_1^2 + d_2^2 = c^2 + d^2 + 2ab = 7^2 + 5^2 + 2 \cdot 10 \cdot 4 = 49 + 25 + 80 = 154\).
Ако диагоналите на трапец се пресичат в точка O, лицето \(S\) на целия трапец може да се изрази чрез лицата \(S_1 = S_{\triangle ABO}\) и \(S_2 = S_{\triangle CDO}\).
\[ S = (\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2 \]
Лицата на другите два триъгълника (\(\triangle AOD\) и \(\triangle BOC\)) са равни и всяко от тях е равно на \(\sqrt{S_1 S_2}\).
Ако лицата на триъгълниците при основите на трапец са \(S_1 = 9\) и \(S_2 = 4\), то лицето на трапеца е:
\[ S = (\sqrt{9} + \sqrt{4})^2 = (3+2)^2 = 5^2 = 25 \]
Лицето на трапец е 49. Лицето на триъгълника при малката основа, образуван от диагоналите, е 4. Намерете лицето на триъгълника при голямата основа.
\(S = (\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2 \Rightarrow 49 = (\sqrt{S_1} + \sqrt{4})^2\).
\(\sqrt{49} = \sqrt{S_1} + 2 \Rightarrow 7 = \sqrt{S_1} + 2\).
\(\sqrt{S_1} = 5 \Rightarrow S_1 = 25\).
Задачи за упражнение
Лесна: В равнобедрен трапец основите са 11 см и 5 см, а бедрото е 5 см. Намерете височината и лицето на трапеца.
Спускаме височини от върховете на малката основа. Те отсичат от голямата основа отсечки с дължина \(\frac{11-5}{2} = 3\) см. От получения правоъгълен триъгълник с хипотенуза 5 см (бедрото) и катет 3 см, намираме височината \(h\) по Питагорова теорема: \(h^2 = 5^2 - 3^2 = 16 \Rightarrow h=4\) см.
Лицето е \(S = \frac{11+5}{2} \cdot 4 = 8 \cdot 4 = 32\) см².
Средна: В трапец е вписана окръжност с радиус 6 см. Едното бедро е с 4 см по-голямо от другото, а сумата на основите е 40 см. Намерете дължините на бедрата.
Тъй като трапецът е тангенциален, сумата на основите е равна на сумата на бедрата: \(c+d = a+b = 40\) см.
Нека бедрата са \(d\) и \(c=d+4\).
Заместваме в сумата: \((d+4)+d = 40 \Rightarrow 2d+4=40 \Rightarrow 2d=36 \Rightarrow d=18\) см.
Другото бедро е \(c = 18+4=22\) см.
Трудна: Даден е трапец с диагонали \(d_1=3\) и \(d_2=5\). Отсечката, свързваща средите на основите, е \(m=2\). Намерете лицето на трапеца.
Страните на помощния триъгълник са 3, 5 и \(2 \cdot 2 = 4\).
Забелязваме, че това са страни на правоъгълен триъгълник, тъй като \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\).
Лицето на този правоъгълен триъгълник е \(S_{\triangle} = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6\).
Следователно лицето на трапеца е \(S=6\).
Съществува свойство, че лицето на такъв трапец е равно на лицето на триъгълник със страни, равни на диагоналите \(d_1, d_2\) и удвоената отсечка между средите на основите \(2m\).
