Най-важното от урока
Паралелограм: Лицето е "основа по височина" (\( S=a h_a \)) или "произведение на страни по синус на ъгъла" (\( S=ab\sin\alpha \)).
Трапец: Лицето е "полусбор на основите по височината" (\( S=\frac{a+b}{2}h \)).
Всеки четириъгълник: Лицето е "полупроизведение на диагоналите по синус на ъгъла между тях" (\( S=\frac{1}{2}d_1 d_2 \sin\varphi \)).
Вписан четириъгълник: Използвайте формулата на Брахмагупта: \( S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)} \).
Описан четириъгълник: Лицето е "полупериметър по радиус на вписаната окръжност" (\( S=p r \)).
Правилен n-ъгълник: Лицето е "полупериметър по апотема" (\( S=\frac{P \cdot r}{2} \)).
Трапец: Лицето е "полусбор на основите по височината" (\( S=\frac{a+b}{2}h \)).
Всеки четириъгълник: Лицето е "полупроизведение на диагоналите по синус на ъгъла между тях" (\( S=\frac{1}{2}d_1 d_2 \sin\varphi \)).
Вписан четириъгълник: Използвайте формулата на Брахмагупта: \( S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)} \).
Описан четириъгълник: Лицето е "полупериметър по радиус на вписаната окръжност" (\( S=p r \)).
Правилен n-ъгълник: Лицето е "полупериметър по апотема" (\( S=\frac{P \cdot r}{2} \)).
Четириъгълник с две двойки успоредни страни.
Периметър: \( P = 2a + 2b = 2(a+b) \)
Лице (чрез страна и височина): \( S = a \cdot h_a = b \cdot h_b \)
Лице (чрез страни и ъгъл): \( S = ab \sin \alpha \)
където \( \alpha \) е ъгълът между страните \( a \) и \( b \).
Успоредник има страни \( a = 10 \) cm, \( b = 8 \) cm и ъгъл между тях \( \alpha = 30^\circ \).
Лицето му е \( S = 10 \cdot 8 \cdot \sin 30^\circ = 80 \cdot \frac{1}{2} = 40 \) cm2.
Намерете лицето на успоредник със страна \( a=12 \) cm и височина към нея \( h_a=5 \) cm.
\( S = a \cdot h_a = 12 \cdot 5 = 60 \) cm2.
Четириъгълник с една двойка успоредни страни, наречени основи.
Периметър: \( P = a + b + c + d \)
където \(a\) и \(b\) са основите, а \(c\) и \(d\) са бедрата.
Лице: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \)
където \(a\) и \(b\) са основите, а \(h\) е височината.
Трапец има основи \( a=7 \) cm, \( b=13 \) cm и височина \( h=6 \) cm.
Лицето му е \( S = \frac{7+13}{2} \cdot 6 = \frac{20}{2} \cdot 6 = 10 \cdot 6 = 60 \) cm2.
Основите на трапец са 5 cm и 9 cm, а лицето му е 42 cm2. Намерете височината.
\( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \Rightarrow 42 = \frac{5+9}{2} \cdot h \Rightarrow 42 = 7h \Rightarrow h = 6 \) cm.
Формула за лице на всеки изпъкнал четириъгълник чрез диагоналите му.
Лице: \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \varphi \)
където \( d_1, d_2 \) са диагоналите, а \( \varphi \) е ъгълът между тях.
Четириъгълник има диагонали \( d_1 = 10 \) cm, \( d_2 = 12 \) cm, които са перпендикулярни (\( \varphi = 90^\circ \)).
Лицето е \( S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \sin 90^\circ = \frac{1}{2} \cdot 120 \cdot 1 = 60 \) cm2.
Диагоналите на четириъгълник са 16 cm и 10 cm, а ъгълът между тях е 30°. Намерете лицето му.
\( S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 10 \cdot \sin 30^\circ = 80 \cdot \frac{1}{2} = 40 \) cm2.
Описан четириъгълник: В него може да се впише окръжност. Условие: \(a+c = b+d\).
Лице на описан четириъгълник: \( S = p \cdot r \)
където \( p = \frac{a+b+c+d}{2} \) е полупериметърът, а \( r \) е радиусът на вписаната окръжност.
Вписан четириъгълник: Около него може да се опише окръжност. Условие: \(\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^\circ\).
Лице на вписан четириъгълник (Формула на Брахмагупта):
\[ S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)} \]
където \(p\) е полупериметърът.
Описан и вписан четириъгълник:
Лице: \( S = \sqrt{abcd} \)
Четириъгълник има страни 2, 3, 6, 5 и е вписан в окръжност. Намерете лицето му.
Полупериметър: \( p = \frac{2+3+6+5}{2} = \frac{16}{2} = 8 \).
Лице: \( S = \sqrt{(8-2)(8-3)(8-6)(8-5)} = \sqrt{6 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5} \).
Лице: \( S = \sqrt{(8-2)(8-3)(8-6)(8-5)} = \sqrt{6 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5} \).
Изпъкнал многоъгълник с \(n\) равни страни и \(n\) равни ъгъла.
Периметър: \( P = n \cdot a \)
Лице: \( S = \frac{P \cdot r}{2} = \frac{n \cdot a \cdot r}{2} \)
където \(r\) е апотемата (радиус на вписаната окръжност).
Връзки с радиусите \(R\) и \(r\):
\[ a = 2R \sin \frac{180^\circ}{n} \quad | \quad r = R \cos \frac{180^\circ}{n} \]
Правилен шестоъгълник има страна \(a=10\) cm. За него е известно, че \(R=a=10\) cm.
Апотемата е \( r = R \cos \frac{180^\circ}{6} = 10 \cos 30^\circ = 10 \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \) cm.
Лицето е \( S = \frac{6 \cdot 10 \cdot 5\sqrt{3}}{2} = 150\sqrt{3} \) cm2.
Апотемата е \( r = R \cos \frac{180^\circ}{6} = 10 \cos 30^\circ = 10 \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \) cm.
Лицето е \( S = \frac{6 \cdot 10 \cdot 5\sqrt{3}}{2} = 150\sqrt{3} \) cm2.
Намерете периметъра на правилен петоъгълник със страна 8 cm.
\( P = n \cdot a = 5 \cdot 8 = 40 \) cm.
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете лицето на трапец с основи 11 cm и 19 cm и височина 8 cm.
Прилагаме формулата \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \).
\( S = \frac{11+19}{2} \cdot 8 = \frac{30}{2} \cdot 8 = 15 \cdot 8 = 120 \) cm2.
\( S = \frac{11+19}{2} \cdot 8 = \frac{30}{2} \cdot 8 = 15 \cdot 8 = 120 \) cm2.
Средна: Ромб има периметър 40 cm и остър ъгъл 60°. Намерете лицето му. (Подсказка: Ромбът е вид успоредник).
1. Намираме страната: \( P = 4a \Rightarrow 40 = 4a \Rightarrow a = 10 \) cm.
2. Прилагаме формулата за лице на успоредник \( S = ab \sin \alpha \). При ромба \( a=b \), така че \( S = a^2 \sin \alpha \).
3. \( S = 10^2 \sin 60^\circ = 100 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 50\sqrt{3} \) cm2.
2. Прилагаме формулата за лице на успоредник \( S = ab \sin \alpha \). При ромба \( a=b \), така че \( S = a^2 \sin \alpha \).
3. \( S = 10^2 \sin 60^\circ = 100 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 50\sqrt{3} \) cm2.
Трудна: В окръжност е вписан четириъгълник със страни 3 cm, 5 cm, 7 cm и 9 cm. Намерете лицето на четириъгълника и радиуса на описаната окръжност около триъгълника, образуван от първите три страни.
1. Лице на четириъгълника:
Използваме формулата на Брахмагупта. Първо намираме полупериметъра:
\( p = \frac{3+5+7+9}{2} = \frac{24}{2} = 12 \) cm.
\( S_{ABCD} = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)} = \sqrt{(12-3)(12-5)(12-7)(12-9)} \)
\( S_{ABCD} = \sqrt{9 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 105} = 3\sqrt{105} \) cm2.
2. Радиус на описаната окръжност:
Описаната окръжност около четириъгълника е същата като описаната окръжност около всеки триъгълник, образуван от страните му и диагонал. За да намерим R, ще използваме \( \triangle ABC \) (със страни 3, 5 и диагонал \(AC\)). Първо трябва да намерим диагонала \(AC\) с косинусова теорема.
Нека \(\angle B = \beta\). Тогава \(\angle D = 180^\circ - \beta\).
От \( \triangle ABC \): \( AC^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cos\beta = 34 - 30\cos\beta \).
От \( \triangle ADC \): \( AC^2 = 7^2 + 9^2 - 2 \cdot 7 \cdot 9 \cos(180^\circ-\beta) = 130 + 126\cos\beta \).
Приравняваме: \( 34 - 30\cos\beta = 130 + 126\cos\beta \Rightarrow -96 = 156\cos\beta \Rightarrow \cos\beta = -\frac{96}{156} = -\frac{8}{13} \).
Намираме \( \sin\beta = \sqrt{1 - \cos^2\beta} = \sqrt{1 - \frac{64}{169}} = \sqrt{\frac{105}{169}} = \frac{\sqrt{105}}{13} \).
Лицето на \(\triangle ABC\) e \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \sin\beta = \frac{15}{2} \frac{\sqrt{105}}{13} = \frac{15\sqrt{105}}{26} \).
От формулата \( S = \frac{abc}{4R} \) за \(\triangle ABC\) имаме \( R = \frac{abc}{4S_{ABC}} \).
Първо намираме \(AC^2 = 34 - 30(-\frac{8}{13}) = 34 + \frac{240}{13} = \frac{442+240}{13} = \frac{682}{13} \).
Това става твърде сложно за стандартна задача, по-лесният път е чрез Синусова теорема за \( \triangle ABC \):
\( \frac{AC}{\sin\beta} = 2R \Rightarrow R = \frac{AC}{2\sin\beta} \).
\( R = \frac{\sqrt{682/13}}{2 \cdot \frac{\sqrt{105}}{13}} = \frac{\sqrt{682}}{\sqrt{13}} \cdot \frac{13}{2\sqrt{105}} = \frac{\sqrt{682 \cdot 13}}{2\sqrt{105}} = \frac{\sqrt{8866}}{2\sqrt{105}} \).
Използваме формулата на Брахмагупта. Първо намираме полупериметъра:
\( p = \frac{3+5+7+9}{2} = \frac{24}{2} = 12 \) cm.
\( S_{ABCD} = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)} = \sqrt{(12-3)(12-5)(12-7)(12-9)} \)
\( S_{ABCD} = \sqrt{9 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 105} = 3\sqrt{105} \) cm2.
2. Радиус на описаната окръжност:
Описаната окръжност около четириъгълника е същата като описаната окръжност около всеки триъгълник, образуван от страните му и диагонал. За да намерим R, ще използваме \( \triangle ABC \) (със страни 3, 5 и диагонал \(AC\)). Първо трябва да намерим диагонала \(AC\) с косинусова теорема.
Нека \(\angle B = \beta\). Тогава \(\angle D = 180^\circ - \beta\).
От \( \triangle ABC \): \( AC^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cos\beta = 34 - 30\cos\beta \).
От \( \triangle ADC \): \( AC^2 = 7^2 + 9^2 - 2 \cdot 7 \cdot 9 \cos(180^\circ-\beta) = 130 + 126\cos\beta \).
Приравняваме: \( 34 - 30\cos\beta = 130 + 126\cos\beta \Rightarrow -96 = 156\cos\beta \Rightarrow \cos\beta = -\frac{96}{156} = -\frac{8}{13} \).
Намираме \( \sin\beta = \sqrt{1 - \cos^2\beta} = \sqrt{1 - \frac{64}{169}} = \sqrt{\frac{105}{169}} = \frac{\sqrt{105}}{13} \).
Лицето на \(\triangle ABC\) e \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \sin\beta = \frac{15}{2} \frac{\sqrt{105}}{13} = \frac{15\sqrt{105}}{26} \).
От формулата \( S = \frac{abc}{4R} \) за \(\triangle ABC\) имаме \( R = \frac{abc}{4S_{ABC}} \).
Първо намираме \(AC^2 = 34 - 30(-\frac{8}{13}) = 34 + \frac{240}{13} = \frac{442+240}{13} = \frac{682}{13} \).
Това става твърде сложно за стандартна задача, по-лесният път е чрез Синусова теорема за \( \triangle ABC \):
\( \frac{AC}{\sin\beta} = 2R \Rightarrow R = \frac{AC}{2\sin\beta} \).
\( R = \frac{\sqrt{682/13}}{2 \cdot \frac{\sqrt{105}}{13}} = \frac{\sqrt{682}}{\sqrt{13}} \cdot \frac{13}{2\sqrt{105}} = \frac{\sqrt{682 \cdot 13}}{2\sqrt{105}} = \frac{\sqrt{8866}}{2\sqrt{105}} \).
