Най-важното от урока
Рационално число (\(Q\)): Всяко число, което може да се запише като дроб \(\frac{p}{q}\). Пример: \(8 = \frac{8}{1}\); \(-0.7 = -\frac{7}{10}\); \(\frac{1}{3}\).
Числови множества: Естествените числа (\(N\)) са част от целите (\(Z\)), а целите са част от рационалните (\(Q\)).
Модул: Стойността на числото без знак. Винаги е положително число или нула. Пример: \(|-10| = 10\).
Сравняване на отрицателни числа: По-голямо е това, което е "по-близо" до нулата (има по-малък модул). Пример: \(-2 > -100\).
Числови множества: Естествените числа (\(N\)) са част от целите (\(Z\)), а целите са част от рационалните (\(Q\)).
Модул: Стойността на числото без знак. Винаги е положително число или нула. Пример: \(|-10| = 10\).
Сравняване на отрицателни числа: По-голямо е това, което е "по-близо" до нулата (има по-малък модул). Пример: \(-2 > -100\).
Естествени числа (\(N\)): Числата за броене. \( N = \{1, 2, 3, \ldots\} \).
Цели числа (\(Z\)): Естествените числа, техните противоположни и нулата. \( Z = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\} \).
Рационални числа (\(Q\)): Всички числа, които могат да се представят като дроб \( \frac{p}{q} \), където \(p\) и \(q\) са цели числа и \(q \neq 0\).
Съществува следната зависимост между множествата: Всяко естествено число е цяло, а всяко цяло число е рационално.
- Числото 7 е естествено, цяло и рационално (може да се запише като \(\frac{7}{1}\)).
- Числото -5 е цяло и рационално (може да се запише като \(\frac{-5}{1}\)), но не е естествено.
- Числото 2.8 е рационално (може да се запише като \(\frac{28}{10}\)), но не е цяло или естествено.
Към кои числови множества (\(N\), \(Z\), \(Q\)) принадлежи числото 0?
Отговор: Числото 0 принадлежи на множествата на целите числа (\(Z\)) и на рационалните числа (\(Q\)), но не и на естествените (\(N\)).
Модул на едно число е неговата стойност, без да се отчита знакът. Геометрично, това е разстоянието от образа на числото до нулата върху числовата ос. Модулът винаги е неотрицателно число (\(\ge 0\)).
\[ |a| = \begin{cases} a, & \text{ ако } a \ge 0 \\ -a, & \text{ ако } a < 0 \end{cases} \]
- \(|15| = 15\)
- \(|-4.7| = 4.7\)
- \(|0| = 0\)
Пресметнете стойността на израза \(|-9| - |3|\).
Отговор: \(|-9| - |3| = 9 - 3 = 6\).
- Всяко положително число е по-голямо от 0 и от всяко отрицателно число.
- Всяко отрицателно число е по-малко от 0 и от всяко положително число.
- От две положителни числа, по-голямо е това с по-голям модул. (Пример: \(5 > 3\))
- От две отрицателни числа, по-голямо е това с по-малък модул. (Пример: \(-3 > -5\))
Да сравним числата \(-\frac{2}{3}\) и \(-0.6\).
Първо, представяме \(-\frac{2}{3}\) като десетична дроб: \(-\frac{2}{3} \approx -0.666...\)
Сравняваме модулите: \(|-0.6| = 0.6\) и \(|-0.666...| = 0.666...\)
Тъй като \(0.6 < 0.666...\), числото с по-малкия модул е по-голямо.
Следователно \(-0.6 > -\frac{2}{3}\).
Първо, представяме \(-\frac{2}{3}\) като десетична дроб: \(-\frac{2}{3} \approx -0.666...\)
Сравняваме модулите: \(|-0.6| = 0.6\) и \(|-0.666...| = 0.666...\)
Тъй като \(0.6 < 0.666...\), числото с по-малкия модул е по-голямо.
Следователно \(-0.6 > -\frac{2}{3}\).
Кое число е по-малко: \(-7\) или \(-1\)?
Отговор: По-малко е числото \(-7\), защото има по-голям модул (\(|-7| > |-1|\)).
Задачи за упражнение
Лесна: Запишете числото \(-4.5\) като частно на две цели числа по два различни начина.
Например: \( -4.5 = -\frac{45}{10} = -\frac{9}{2} \).
Средна: Подредете по големина числата \(3.5; -4; 0; -\frac{11}{2}; 3.05\), като започнете от най-малкото.
Първо превръщаме \(-\frac{11}{2}\) в \(-5.5\).
Сега сравняваме: \(-5.5, -4, 0, 3.05, 3.5\).
Отговор: \(-\frac{11}{2} < -4 < 0 < 3.05 < 3.5\).
Сега сравняваме: \(-5.5, -4, 0, 3.05, 3.5\).
Отговор: \(-\frac{11}{2} < -4 < 0 < 3.05 < 3.5\).
Трудна: Намерете всички цели числа \(x\), за които е вярно неравенството \(|x| < 3.5\).
Търсим целите числа, чието разстояние до нулата е по-малко от 3.5. Това са числата, които се намират между -3.5 и 3.5 на числовата ос.
Отговор: Целите числа са: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.
Отговор: Целите числа са: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.
