Най-важното от урока
Ред на действия: Винаги спазвай реда: 1. Скоби, 2. Степенуване, 3. Умножение/деление, 4. Събиране/Изваждане. Пример: \(5 + 2 \cdot 3^2 = 5 + 2 \cdot 9 = 5 + 18 = 23\).
Сравняване: За основи \(a > 1\), по-голям показател означава по-голямо число (\(3^5 > 3^4\)). За основи \(0 < a < 1\), по-голям показател означава по-малко число (\((0.5)^5 < (0.5)^4\)).
Рационализиране: Използвай разпределителното свойство, за да улесниш сметките. Пример: \(8^2 \cdot 15 - 8^2 \cdot 5 = 8^2 \cdot (15-5) = 64 \cdot 10 = 640\).
Сравняване: За основи \(a > 1\), по-голям показател означава по-голямо число (\(3^5 > 3^4\)). За основи \(0 < a < 1\), по-голям показател означава по-малко число (\((0.5)^5 < (0.5)^4\)).
Рационализиране: Използвай разпределителното свойство, за да улесниш сметките. Пример: \(8^2 \cdot 15 - 8^2 \cdot 5 = 8^2 \cdot (15-5) = 64 \cdot 10 = 640\).
При пресмятане на числови изрази, редът на действията е:
- Действия в скоби (ако има).
- Степенуване.
- Умножение и деление.
- Събиране и изваждане.
Пресметнете \(2^2 + 5 \cdot 3^2\).
Решение:
Първо извършваме степенуването: \(2^2 = 4\) и \(3^2 = 9\).
Изразът става \(4 + 5 \cdot 9\).
Следва умножението: \(5 \cdot 9 = 45\).
Накрая събирането: \(4 + 45 = 49\).
Решение:
Първо извършваме степенуването: \(2^2 = 4\) и \(3^2 = 9\).
Изразът става \(4 + 5 \cdot 9\).
Следва умножението: \(5 \cdot 9 = 45\).
Накрая събирането: \(4 + 45 = 49\).
Пресметнете \( (10 - 3^2) \cdot 5 \).
\( (10 - 3^2) \cdot 5 = (10 - 9) \cdot 5 = 1 \cdot 5 = 5 \)
Когато степенният показател е числов израз, първо се изчислява неговата стойност и след това се извършва степенуването.
Пресметнете \(5^{2 \cdot 3 - 4}\).
Решение:
Първо изчисляваме степенния показател: \(2 \cdot 3 - 4 = 6 - 4 = 2\).
Изразът става \(5^2\), което е равно на 25.
Решение:
Първо изчисляваме степенния показател: \(2 \cdot 3 - 4 = 6 - 4 = 2\).
Изразът става \(5^2\), което е равно на 25.
Пресметнете \( 3^{2^3 - 6} \).
\( 3^{2^3 - 6} = 3^{8 - 6} = 3^2 = 9 \)
Ако основата \(a > 1\), по-голяма е степента с по-голям степенен показател.
\[ \text{При } a > 1: \quad x < y \implies a^x < a^y \]
Ако основата е между 0 и 1 (\(0 < a < 1\)), по-голяма е степента с по-малък степенен показател.
\[ \text{При } 0 < a < 1: \quad x < y \implies a^x > a^y \]
Сравнете \((\frac{2}{3})^{5}\) и \((\frac{2}{3})^{4}\).
Решение:
Основата \(\frac{2}{3}\) е по-малка от 1. Степенният показател 5 е по-голям от 4. Следователно, степента с по-голям показател е по-малка.
\((\frac{2}{3})^{5} < (\frac{2}{3})^{4}\)
Решение:
Основата \(\frac{2}{3}\) е по-малка от 1. Степенният показател 5 е по-голям от 4. Следователно, степента с по-голям показател е по-малка.
\((\frac{2}{3})^{5} < (\frac{2}{3})^{4}\)
Сравнете \( (1.1)^{8} \) и \( (1.1)^{10} \).
Основата \(1.1 > 1\). Тъй като \(8 < 10\), то \( (1.1)^{8} < (1.1)^{10} \).
\[ a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c) \]
\[ a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b - c) \]
Можем да изнесем общ множител (в случая степен) пред скоби, за да улесним пресмятанията.
Пресметнете рационално \(7^2 \cdot 88 + 7^2 \cdot 12\).
Решение:
Изнасяме общия множител \(7^2\) пред скоби:
\(7^2 \cdot (88 + 12) = 49 \cdot 100 = 4900\)
Решение:
Изнасяме общия множител \(7^2\) пред скоби:
\(7^2 \cdot (88 + 12) = 49 \cdot 100 = 4900\)
Пресметнете рационално \( 5^3 \cdot 23 - 5^3 \cdot 13 \).
\( 5^3 \cdot (23 - 13) = 125 \cdot 10 = 1250 \)
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете \(100 - 3^4\).
\(100 - 3^4 = 100 - 81 = 19\)
Средна: Пресметнете стойността на израза \((2^3 + 2) \cdot 5 - 4^2\).
\((2^3 + 2) \cdot 5 - 4^2 = (8 + 2) \cdot 5 - 16 = 10 \cdot 5 - 16 = 50 - 16 = 34\)
Трудна: Сравнете числата \( (\frac{5}{4})^{10} \) и \( (\frac{5}{4})^{12} \), и числата \( (0.9)^{10} \) и \( (0.9)^{12} \), като се обосновете.
- За \( (\frac{5}{4})^{10} \) и \( (\frac{5}{4})^{12} \): Основата \(\frac{5}{4} > 1\). Тъй като \(10 < 12\), то \( (\frac{5}{4})^{10} < (\frac{5}{4})^{12} \).
- За \( (0.9)^{10} \) и \( (0.9)^{12} \): Основата \(0 < 0.9 < 1\). Тъй като \(10 < 12\), правилото е обратно и \( (0.9)^{10} > (0.9)^{12} \).
