Най-важното от урока
Ключови формули:
- Околна повърхнина: \(S = \pi r l\)
- Лице на основа: \(B = \pi r^2\)
- Пълна повърхнина: \(S_1 = S + B = \pi r(l+r)\)
- Да разпознаваш \(r\) (радиус) и \(l\) (образуваща) в задачата.
- Ако конусът е получен от въртене на правоъгълен триъгълник, да използваш Питагоровата теорема (\(r^2+h^2=l^2\)), за да намериш липсващ елемент.
Повърхнината на прав кръгов конус се състои от две части: околна повърхнина (извитата част) и основа (кръг). За изчисления са нужни радиусът на основата (\(r\)) и дължината на образуващата (\(l\)).
Лице на околна повърхнина:
\[ S = \pi r l \]
Лице на основата:
\[ B = \pi r^2 \]
Лице на пълна повърхнина (сбор от двете):
\[ S_1 = S + B = \pi r l + \pi r^2 = \pi r(l + r) \]
Даден е конус с радиус \(r = 7\) cm и образуваща \(l = 11\) cm.
- Околна повърхнина: \(S = \pi \cdot 7 \cdot 11 = 77\pi\) cm²
- Лице на основата: \(B = \pi \cdot 7^2 = 49\pi\) cm²
- Пълна повърхнина: \(S_1 = 77\pi + 49\pi = 126\pi\) cm²
Намерете пълната повърхнина на конус с радиус 3 cm и образуваща 8 cm.
Използваме формулата \(S_1 = \pi r(l + r)\).
\(S_1 = \pi \cdot 3 \cdot (8 + 3) = \pi \cdot 3 \cdot 11 = 33\pi\) cm².
\(S_1 = \pi \cdot 3 \cdot (8 + 3) = \pi \cdot 3 \cdot 11 = 33\pi\) cm².
Прав кръгов конус се получава при завъртане на правоъгълен триъгълник около един от неговите катети.
При завъртане на правоъгълен триъгълник около катет:
- Катетът, около който се върти, е височината (\(h\)) на конуса.
- Другият катет е радиусът (\(r\)) на основата.
- Хипотенузата е образуващата (\(l\)) на конуса.
Правоъгълен триъгълник с катети \(AC = 6\) cm и \(BC = 8\) cm се върти около катета \(BC\).
- Тялото е конус с височина \(h = BC = 8\) cm и радиус \(r = AC = 6\) cm.
- Намираме образуващата \(l\) (хипотенузата) с Питагорова теорема: \(l^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\), следователно \(l = 10\) cm.
- Околната повърхнина е \(S = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi\) cm².
Правоъгълен триъгълник с хипотенуза 13 cm и катет 12 cm се върти около този катет. Намерете радиуса на получения конус и околната му повърхнина.
Дадено: \(l = 13\) cm (хипотенуза), \(h = 12\) cm (катетът, около който въртим).
Търсим радиуса \(r\) (другия катет) с Питагорова теорема: \(r^2 + 12^2 = 13^2 \Rightarrow r^2 + 144 = 169 \Rightarrow r^2 = 25 \Rightarrow r = 5\) cm.
Околната повърхнина е \(S = \pi r l = \pi \cdot 5 \cdot 13 = 65\pi\) cm².
Търсим радиуса \(r\) (другия катет) с Питагорова теорема: \(r^2 + 12^2 = 13^2 \Rightarrow r^2 + 144 = 169 \Rightarrow r^2 = 25 \Rightarrow r = 5\) cm.
Околната повърхнина е \(S = \pi r l = \pi \cdot 5 \cdot 13 = 65\pi\) cm².
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете лицето на пълната повърхнина на конус с радиус на основата 5 cm и образуваща 12 cm.
\(S = \pi r l = \pi \cdot 5 \cdot 12 = 60\pi\) cm².
\(B = \pi r^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi\) cm².
\(S_1 = S + B = 60\pi + 25\pi = 85\pi\) cm².
\(B = \pi r^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi\) cm².
\(S_1 = S + B = 60\pi + 25\pi = 85\pi\) cm².
Средна: Лицето на основата на конус е \(B = 36\pi\) cm², а образуващата му е \(l=10\) cm. Намерете лицето на околната и на пълната повърхнина на конуса.
От \(B = \pi r^2 \Rightarrow 36\pi = \pi r^2 \Rightarrow r^2 = 36 \Rightarrow r = 6\) cm.
Околна повърхнина: \(S = \pi r l = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi\) cm².
Пълна повърхнина: \(S_1 = S + B = 60\pi + 36\pi = 96\pi\) cm².
Околна повърхнина: \(S = \pi r l = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi\) cm².
Пълна повърхнина: \(S_1 = S + B = 60\pi + 36\pi = 96\pi\) cm².
Трудна: Правоъгълен триъгълник с катет 15 cm и хипотенуза 17 cm е завъртян около дадения катет. Намерете лицето на пълната повърхнина на полученото тяло.
Полученото тяло е конус. Даденият катет е височината \(h = 15\) cm, а хипотенузата е образуващата \(l = 17\) cm.
Трябва да намерим радиуса \(r\) (другия катет) чрез Питагоровата теорема:
\(r^2 + h^2 = l^2 \Rightarrow r^2 + 15^2 = 17^2 \Rightarrow r^2 + 225 = 289\)
\(r^2 = 289 - 225 = 64 \Rightarrow r = 8\) cm.
Сега намираме пълната повърхнина:
\(S_1 = \pi r (l + r) = \pi \cdot 8 \cdot (17 + 8) = \pi \cdot 8 \cdot 25 = 200\pi\) cm².
Трябва да намерим радиуса \(r\) (другия катет) чрез Питагоровата теорема:
\(r^2 + h^2 = l^2 \Rightarrow r^2 + 15^2 = 17^2 \Rightarrow r^2 + 225 = 289\)
\(r^2 = 289 - 225 = 64 \Rightarrow r = 8\) cm.
Сега намираме пълната повърхнина:
\(S_1 = \pi r (l + r) = \pi \cdot 8 \cdot (17 + 8) = \pi \cdot 8 \cdot 25 = 200\pi\) cm².
