Най-важното от урока
Ключови формули за кълбо:
- Повърхнина: \(S = 4\pi r^2\)
- Обем: \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
- Обем: \(V_{\text{полу}} = \frac{2}{3}\pi r^3\)
- Пълна повърхнина: \(S_{\text{полу}} = 3\pi r^2\) (изпъкнала част + основа)
- За да намерите \(V\) от \(S\), първо намерете \(r\) от \(S=4\pi r^2\).
- Ако радиусът се увеличи 2 пъти, повърхнината се увеличава \(2^2=4\) пъти, а обемът - \(2^3=8\) пъти.
За да намерите радиуса \(r\) на кълбо, когато обемът \(V\) е известен, използвайте формулата за обем \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) и я решете спрямо \(r\).
Ако обемът на кълбо е \(V = \frac{32}{3}\pi \text{ cm}^3\), намираме радиуса така:
- Приравняваме дадения обем към формулата: \( \frac{32}{3}\pi = \frac{4}{3}\pi r^3 \)
- Съкращаваме \( \pi \) и \( \frac{1}{3} \). Получаваме: \( 32 = 4r^3 \)
- Решаваме за \(r^3\): \( r^3 = \frac{32}{4} = 8 \)
- Намираме кубичен корен: \( r = \sqrt[3]{8} = 2 \text{ cm} \)
Намерете радиуса на кълбо с обем \(V = 36\pi \text{ cm}^3\).
\( \frac{4}{3}\pi r^3 = 36\pi \)
\( r^3 = 36 \cdot \frac{3}{4} = 27 \)
\( r = \sqrt[3]{27} = 3 \text{ cm} \)
\( r^3 = 36 \cdot \frac{3}{4} = 27 \)
\( r = \sqrt[3]{27} = 3 \text{ cm} \)
Това е двуетапен процес. Първо намерете радиуса \(r\) от дадената повърхнина \(S\) чрез формулата \(S = 4\pi r^2\). След това използвайте намерения радиус, за да изчислите обема \(V\) с формулата \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\).
Ако повърхнината на кълбо е \(S = 100\pi \text{ cm}^2\), намираме обема му така:
- Намираме радиуса \(r\):
\( 4\pi r^2 = 100\pi \implies r^2 = \frac{100}{4} = 25 \implies r=5 \text{ cm} \) - Изчисляваме обема \(V\) с намерения радиус:
\( V = \frac{4}{3}\pi (5)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 125 = \frac{500}{3}\pi \text{ cm}^3 \)
Повърхнината на кълбо е \(S = 36\pi \text{ cm}^2\). Намерете обема му.
1. Намираме радиуса: \(4\pi r^2 = 36\pi \implies r^2 = 9 \implies r = 3 \text{ cm}\).
2. Намираме обема: \(V = \frac{4}{3}\pi (3)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi \text{ cm}^3\).
2. Намираме обема: \(V = \frac{4}{3}\pi (3)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi \text{ cm}^3\).
Полукълбото е половината от кълбо. Неговата повърхнина включва изпъкналата част и плоската кръгла основа.
Обем на полукълбо: \(V_{\text{полу}} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{4}{3}\pi r^3\right) = \frac{2}{3}\pi r^3 \)
Повърхнина на полукълбо: \(S_{\text{полу}} = \frac{1}{2}(4\pi r^2) + \pi r^2 = 2\pi r^2 + \pi r^2 = 3\pi r^2 \)
Повърхнината е сбор от изпъкналата част (\(2\pi r^2\)) и основата (\(\pi r^2\)).
Намерете повърхнината на полукълбо с обем \(V = 18\pi \text{ cm}^3\).
1. Намираме радиуса от обема: \( \frac{2}{3}\pi r^3 = 18\pi \implies r^3 = 18 \cdot \frac{3}{2} = 27 \implies r=3 \text{ cm} \).
2. Намираме повърхнината: \( S_{\text{полу}} = 3\pi r^2 = 3\pi (3)^2 = 27\pi \text{ cm}^2 \).
2. Намираме повърхнината: \( S_{\text{полу}} = 3\pi r^2 = 3\pi (3)^2 = 27\pi \text{ cm}^2 \).
Ако радиусът на кълбо се промени \(n\) пъти:
- Повърхнината му се променя \(n^2\) пъти.
- Обемът му се променя \(n^3\) пъти.
Повърхнината на сфера с радиус \(r\) е \(15 \text{ cm}^2\). Ако радиусът стане \(r_1 = 3r\) (увеличава се 3 пъти), новата повърхнина \(S_1\) ще се увеличи \(3^2=9\) пъти.
\(S_1 = 9 \cdot S = 9 \cdot 15 = 135 \text{ cm}^2\).
\(S_1 = 9 \cdot S = 9 \cdot 15 = 135 \text{ cm}^2\).
Обемът на кълбо с радиус \(r\) е \(32 \text{ cm}^3\). Ако радиусът стане \(r_1 = \frac{r}{2}\) (намалява се 2 пъти), новият обем \(V_1\) ще намалее \(2^3=8\) пъти.
\(V_1 = V \div 8 = 32 \div 8 = 4 \text{ cm}^3\).
\(V_1 = V \div 8 = 32 \div 8 = 4 \text{ cm}^3\).
Как ще се промени обемът на кълбо, ако повърхнината му се е увеличила 4 пъти?
Щом повърхнината се е увеличила 4 пъти (\(n^2 = 4\)), значи радиусът се е увеличил \(n=\sqrt{4}=2\) пъти.
Следователно обемът ще се увеличи \(n^3 = 2^3 = 8\) пъти.
Следователно обемът ще се увеличи \(n^3 = 2^3 = 8\) пъти.
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете повърхнината и обема на кълбо с радиус \(r=6 \text{ cm}\).
Повърхнина: \(S = 4\pi r^2 = 4\pi (6)^2 = 4\pi \cdot 36 = 144\pi \text{ cm}^2\).
Обем: \(V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (6)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 4\pi \cdot 72 = 288\pi \text{ cm}^3\).
Обем: \(V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (6)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 4\pi \cdot 72 = 288\pi \text{ cm}^3\).
Средна: Радиусът на кълбо е 6 cm. С колко ще се увеличат повърхнината и обемът на кълбото, ако радиусът му се увеличи с 3 cm?
Новият радиус е \(r_1 = 6+3 = 9\) cm.
1. Първоначални стойности (\(r=6\)): \(S = 144\pi \text{ cm}^2\), \(V = 288\pi \text{ cm}^3\) (от предната задача).
2. Нови стойности (\(r_1=9\)):
\(S_1 = 4\pi (9)^2 = 4\pi \cdot 81 = 324\pi \text{ cm}^2\).
\(V_1 = \frac{4}{3}\pi (9)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 729 = 4\pi \cdot 243 = 972\pi \text{ cm}^3\).
3. Увеличение:
\(\Delta S = S_1 - S = 324\pi - 144\pi = 180\pi \text{ cm}^2\).
\(\Delta V = V_1 - V = 972\pi - 288\pi = 684\pi \text{ cm}^3\).
1. Първоначални стойности (\(r=6\)): \(S = 144\pi \text{ cm}^2\), \(V = 288\pi \text{ cm}^3\) (от предната задача).
2. Нови стойности (\(r_1=9\)):
\(S_1 = 4\pi (9)^2 = 4\pi \cdot 81 = 324\pi \text{ cm}^2\).
\(V_1 = \frac{4}{3}\pi (9)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 729 = 4\pi \cdot 243 = 972\pi \text{ cm}^3\).
3. Увеличение:
\(\Delta S = S_1 - S = 324\pi - 144\pi = 180\pi \text{ cm}^2\).
\(\Delta V = V_1 - V = 972\pi - 288\pi = 684\pi \text{ cm}^3\).
Трудна: Тяло е образувано от цилиндър и полукълбо с обща основа. Радиусът на полукълбото е 3 cm, а височината на цилиндъра е 10 cm. Намерете повърхнината и обема на тялото.
Радиусът на цилиндъра и полукълбото е \(r=3 \text{ cm}\), височината на цилиндъра е \(h=10 \text{ cm}\).
Обем на тялото: \(V = V_{\text{цилиндър}} + V_{\text{полукълбо}}\)
\(V = (\pi r^2 h) + (\frac{2}{3}\pi r^3) = \pi(3)^2(10) + \frac{2}{3}\pi(3)^3 = 90\pi + 18\pi = 108\pi \text{ cm}^3\).
Повърхнина на тялото: \(S = S_{\text{основа}} + S_{\text{околна цил.}} + S_{\text{изпъкнала полукл.}}\)
\(S = (\pi r^2) + (2\pi r h) + (2\pi r^2) = \pi(3)^2 + 2\pi(3)(10) + 2\pi(3)^2 = 9\pi + 60\pi + 18\pi = 87\pi \text{ cm}^2\).
Обем на тялото: \(V = V_{\text{цилиндър}} + V_{\text{полукълбо}}\)
\(V = (\pi r^2 h) + (\frac{2}{3}\pi r^3) = \pi(3)^2(10) + \frac{2}{3}\pi(3)^3 = 90\pi + 18\pi = 108\pi \text{ cm}^3\).
Повърхнина на тялото: \(S = S_{\text{основа}} + S_{\text{околна цил.}} + S_{\text{изпъкнала полукл.}}\)
\(S = (\pi r^2) + (2\pi r h) + (2\pi r^2) = \pi(3)^2 + 2\pi(3)(10) + 2\pi(3)^2 = 9\pi + 60\pi + 18\pi = 87\pi \text{ cm}^2\).
