Най-важното от урока
Разместително свойство: Можем да сменяме местата на множителите. \(a \cdot b = b \cdot a\). Пример: \(-2 \cdot 5 = 5 \cdot (-2)\)
Съдружително свойство: Можем да групираме множителите по различен начин. \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\). Пример: \((2 \cdot 5) \cdot 3 = 2 \cdot (5 \cdot 3)\). Удобно е за пресмятане на \(2 \cdot (-8.3) \cdot 5 = (2 \cdot 5) \cdot (-8.3) = 10 \cdot (-8.3) = -83\).
Разпределително свойство: Умножаваме множител с всеки член в скобите. \(a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c\). Пример: \(3 \cdot (10+4) = 3 \cdot 10 + 3 \cdot 4\). Обратното му приложение (изнасяне на общ множител) улеснява изчисленията: \(7 \cdot 15 + 7 \cdot 5 = 7 \cdot (15+5) = 7 \cdot 20 = 140\).
Съдружително свойство: Можем да групираме множителите по различен начин. \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\). Пример: \((2 \cdot 5) \cdot 3 = 2 \cdot (5 \cdot 3)\). Удобно е за пресмятане на \(2 \cdot (-8.3) \cdot 5 = (2 \cdot 5) \cdot (-8.3) = 10 \cdot (-8.3) = -83\).
Разпределително свойство: Умножаваме множител с всеки член в скобите. \(a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c\). Пример: \(3 \cdot (10+4) = 3 \cdot 10 + 3 \cdot 4\). Обратното му приложение (изнасяне на общ множител) улеснява изчисленията: \(7 \cdot 15 + 7 \cdot 5 = 7 \cdot (15+5) = 7 \cdot 20 = 140\).
При умножение на две числа, редът на множителите може да се сменя, без това да променя резултата.
\[ a \cdot b = b \cdot a \]
Изчисляването на \(-7 \cdot 4\) и \(4 \cdot (-7)\) дава един и същ резултат:
\( -7 \cdot 4 = -28 \)
\( 4 \cdot (-7) = -28 \)
\( -7 \cdot 4 = -28 \)
\( 4 \cdot (-7) = -28 \)
Пресметнете \( -2.5 \cdot 4 \). Като използвате разместителното свойство, колко е \( 4 \cdot (-2.5) \)?
\( -2.5 \cdot 4 = -10 \). Според разместителното свойство, \( 4 \cdot (-2.5) \) също е равно на \( -10 \).
При умножение на три или повече числа, можем да ги групираме по различен начин (чрез скоби), без това да променя крайния резултат.
\[ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \]
Да пресметнем \(-2 \cdot (-5) \cdot 3\) по два начина:
1. Групираме първите два множителя: \( (-2 \cdot (-5)) \cdot 3 = 10 \cdot 3 = 30 \)
2. Групираме втория и третия множител: \( -2 \cdot (-5 \cdot 3) = -2 \cdot (-15) = 30 \)
Резултатът е еднакъв.
1. Групираме първите два множителя: \( (-2 \cdot (-5)) \cdot 3 = 10 \cdot 3 = 30 \)
2. Групираме втория и третия множител: \( -2 \cdot (-5 \cdot 3) = -2 \cdot (-15) = 30 \)
Резултатът е еднакъв.
Пресметнете по най-удобния начин \( 25 \cdot (-7) \cdot 4 \).
Най-удобно е първо да умножим \(25\) по \(4\), като използваме разместителното и съдружителното свойство:
\( (25 \cdot 4) \cdot (-7) = 100 \cdot (-7) = -700 \)
\( (25 \cdot 4) \cdot (-7) = 100 \cdot (-7) = -700 \)
Това свойство свързва умножението със събирането и изваждането. Позволява ни да умножим число със сбор (или разлика), като го умножим с всяко от събираемите поотделно.
\[ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \]
\[ a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c \]
За да пресметнем \( 5 \cdot (-7 + 3) \), можем да разкрием скобите:
\( 5 \cdot (-7) + 5 \cdot 3 = -35 + 15 = -20 \)
Проверка: \( 5 \cdot (-7 + 3) = 5 \cdot (-4) = -20 \)
\( 5 \cdot (-7) + 5 \cdot 3 = -35 + 15 = -20 \)
Проверка: \( 5 \cdot (-7 + 3) = 5 \cdot (-4) = -20 \)
Разкрийте скобите и пресметнете: \( -3 \cdot (10 - 2) \).
\( -3 \cdot 10 - (-3) \cdot 2 = -30 - (-6) = -30 + 6 = -24 \)
Това е обратното приложение на разпределителното свойство. Когато едно и също число участва като множител в няколко събираеми, можем да го "изнесем" пред скоби, за да улесним пресмятането.
\[ a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c) \]
За да пресметнем рационално \( (-8) \cdot 0.5 + (-8) \cdot (-100.5) \), изнасяме общия множител \(-8\):
\( (-8) \cdot (0.5 + (-100.5)) = (-8) \cdot (0.5 - 100.5) = (-8) \cdot (-100) = 800 \)
\( (-8) \cdot (0.5 + (-100.5)) = (-8) \cdot (0.5 - 100.5) = (-8) \cdot (-100) = 800 \)
Пресметнете рационално: \( 27 \cdot 31.3 - 17 \cdot 31.3 \).
Изнасяме общия множител 31.3:
\( (27 - 17) \cdot 31.3 = 10 \cdot 31.3 = 313 \)
\( (27 - 17) \cdot 31.3 = 10 \cdot 31.3 = 313 \)
Задачи за упражнение
Лесна: Като знаете, че \(14 \cdot (-5) = -70\), на колко е равно \((-5) \cdot 14\)? Кое свойство използвахте?
Резултатът е \(-70\). Използвано е разместителното свойство на умножението.
Средна: Пресметнете по най-рационалния начин произведението \( -2 \cdot (-1.7) \cdot 50 \).
Използваме разместителното и съдружителното свойство, за да умножим първо \(-2\) и \(50\):
\( (-2 \cdot 50) \cdot (-1.7) = -100 \cdot (-1.7) = 170 \)
\( (-2 \cdot 50) \cdot (-1.7) = -100 \cdot (-1.7) = 170 \)
Трудна: Пресметнете стойността на израза \( -12.7 \cdot \frac{5}{9} - (-12.7) \cdot \frac{4}{9} \).
Изнасяме общия множител \(-12.7\) пред скоби:
\( -12.7 \cdot (\frac{5}{9} - \frac{4}{9}) = -12.7 \cdot \frac{1}{9} = -\frac{12.7}{9} = -\frac{127}{90} \)
\( -12.7 \cdot (\frac{5}{9} - \frac{4}{9}) = -12.7 \cdot \frac{1}{9} = -\frac{12.7}{9} = -\frac{127}{90} \)
