Най-важното от урока
Ключови формули за призма:
- Околна повърхнина: \( S = P \cdot h \)
- Пълна повърхнина: \( S_1 = S + 2B \) (две основи)
- Обем: \( V = B \cdot h \)
- Околна повърхнина: \( S = \frac{P \cdot k}{2} \) (с апотема \(k\))
- Пълна повърхнина: \( S_1 = S + B \) (една основа)
- Обем: \( V = \frac{B \cdot h}{3} \) (обемът е 3 пъти по-малък от този на призма със същите основа и височина)
Права призма е многостен с две успоредни и еднакви основи (многоъгълници) и околни стени, които са правоъгълници, перпендикулярни на основите. Ако основата е правилен многоъгълник, призмата се нарича правилна.
Лице на околна повърхнина: \( S = P \cdot h \)
Лице на пълна повърхнина: \( S_1 = S + 2B \)
Обем: \( V = B \cdot h \) където \(P\) е периметърът на основата, \(B\) е лицето на основата, а \(h\) е височината.
Лице на пълна повърхнина: \( S_1 = S + 2B \)
Обем: \( V = B \cdot h \) където \(P\) е периметърът на основата, \(B\) е лицето на основата, а \(h\) е височината.
Дадена е права призма с основа правоъгълник със страни 6 cm и 4 cm и височина на призмата \(h=10\) cm.
Лице на основата: \(B = 6 \cdot 4 = 24 \text{ cm}^2\)
Периметър на основата: \(P = 2 \cdot (6+4) = 20 \text{ cm}\)
Околна повърхнина: \(S = P \cdot h = 20 \cdot 10 = 200 \text{ cm}^2\)
Пълна повърхнина: \(S_1 = S + 2B = 200 + 2 \cdot 24 = 248 \text{ cm}^2\)
Обем: \(V = B \cdot h = 24 \cdot 10 = 240 \text{ cm}^3\)
Лице на основата: \(B = 6 \cdot 4 = 24 \text{ cm}^2\)
Периметър на основата: \(P = 2 \cdot (6+4) = 20 \text{ cm}\)
Околна повърхнина: \(S = P \cdot h = 20 \cdot 10 = 200 \text{ cm}^2\)
Пълна повърхнина: \(S_1 = S + 2B = 200 + 2 \cdot 24 = 248 \text{ cm}^2\)
Обем: \(V = B \cdot h = 24 \cdot 10 = 240 \text{ cm}^3\)
Основата на правилна четириъгълна призма е квадрат със страна 5 cm. Височината на призмата е 12 cm. Намерете обема ѝ.
Лицето на основата (квадрат) е \(B = a^2 = 5^2 = 25 \text{ cm}^2\).
Обемът е \(V = B \cdot h = 25 \cdot 12 = 300 \text{ cm}^3\).
Обемът е \(V = B \cdot h = 25 \cdot 12 = 300 \text{ cm}^3\).
Правилна пирамида е пирамида, чиято основа е правилен многоъгълник, а височината ѝ свързва върха на пирамидата с центъра на основата. Височината на околна стена се нарича апотема на пирамидата (\(k\)).
Лице на околна повърхнина: \( S = \frac{P \cdot k}{2} \)
Лице на пълна повърхнина: \( S_1 = S + B \)
Обем: \( V = \frac{B \cdot h}{3} \) където \(P\) е периметърът на основата, \(B\) е лицето на основата, \(k\) е апотемата на пирамидата, а \(h\) е височината.
Лице на пълна повърхнина: \( S_1 = S + B \)
Обем: \( V = \frac{B \cdot h}{3} \) където \(P\) е периметърът на основата, \(B\) е лицето на основата, \(k\) е апотемата на пирамидата, а \(h\) е височината.
Дадена е правилна четириъгълна пирамида с основен ръб \(a=8\) cm и апотема \(k=5\) cm.
Лице на основата: \(B = a^2 = 8^2 = 64 \text{ cm}^2\)
Периметър на основата: \(P = 4 \cdot a = 4 \cdot 8 = 32 \text{ cm}\)
Околна повърхнина: \(S = \frac{P \cdot k}{2} = \frac{32 \cdot 5}{2} = 80 \text{ cm}^2\)
Пълна повърхнина: \(S_1 = S + B = 80 + 64 = 144 \text{ cm}^2\)
Лице на основата: \(B = a^2 = 8^2 = 64 \text{ cm}^2\)
Периметър на основата: \(P = 4 \cdot a = 4 \cdot 8 = 32 \text{ cm}\)
Околна повърхнина: \(S = \frac{P \cdot k}{2} = \frac{32 \cdot 5}{2} = 80 \text{ cm}^2\)
Пълна повърхнина: \(S_1 = S + B = 80 + 64 = 144 \text{ cm}^2\)
Правилна триъгълна пирамида има периметър на основата \(P = 18 \text{ cm}\) и апотема на пирамидата \(k = 10 \text{ cm}\). Намерете лицето на околната ѝ повърхнина.
Използваме формулата \( S = \frac{P \cdot k}{2} \).
\(S = \frac{18 \cdot 10}{2} = \frac{180}{2} = 90 \text{ cm}^2\).
\(S = \frac{18 \cdot 10}{2} = \frac{180}{2} = 90 \text{ cm}^2\).
Задачи за упражнение
Лесна: Права призма има лице на основата \(B = 40 \text{ cm}^2\) и височина \(h = 5 \text{ cm}\). Намерете обема ѝ.
Формулата за обем на призма е \(V = B \cdot h\).
\(V = 40 \cdot 5 = 200 \text{ cm}^3\).
\(V = 40 \cdot 5 = 200 \text{ cm}^3\).
Средна: Правилна четириъгълна пирамида има основен ръб 6 cm и височина 4 cm. Намерете пълната ѝ повърхнина.
1. Намираме лицето на основата: \(B = 6^2 = 36 \text{ cm}^2\).
2. Намираме апотемата на пирамидата \(k\). Апотемата на основата (квадрат) е половината от страната: \(r = 6/2 = 3 \text{ cm}\). От Питагоровата теорема за триъгълника, образуван от \(h\), \(r\) и \(k\), имаме \(k^2 = h^2 + r^2\).
\(k^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \implies k=5 \text{ cm}\).
3. Намираме околната повърхнина: \(P = 4 \cdot 6 = 24 \text{ cm}\). \(S = \frac{P \cdot k}{2} = \frac{24 \cdot 5}{2} = 60 \text{ cm}^2\).
4. Намираме пълната повърхнина: \(S_1 = S + B = 60 + 36 = 96 \text{ cm}^2\).
2. Намираме апотемата на пирамидата \(k\). Апотемата на основата (квадрат) е половината от страната: \(r = 6/2 = 3 \text{ cm}\). От Питагоровата теорема за триъгълника, образуван от \(h\), \(r\) и \(k\), имаме \(k^2 = h^2 + r^2\).
\(k^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \implies k=5 \text{ cm}\).
3. Намираме околната повърхнина: \(P = 4 \cdot 6 = 24 \text{ cm}\). \(S = \frac{P \cdot k}{2} = \frac{24 \cdot 5}{2} = 60 \text{ cm}^2\).
4. Намираме пълната повърхнина: \(S_1 = S + B = 60 + 36 = 96 \text{ cm}^2\).
Трудна: Околната повърхнина на правилна шестоъгълна призма е \(S = 180 \text{ cm}^2\), а височината ѝ е \(h = 5 \text{ cm}\). Намерете обема на призмата.
1. От формулата \(S = P \cdot h\) намираме периметъра на основата:
\(180 = P \cdot 5 \implies P = \frac{180}{5} = 36 \text{ cm}\).
2. Основата е правилен шестоъгълник, следователно \(P = 6 \cdot a\).
\(36 = 6 \cdot a \implies a = 6 \text{ cm}\).
3. Намираме лицето на основата. Формулата за лице на правилен шестоъгълник е \(B = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\).
\(B = \frac{3 \cdot 6^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 36\sqrt{3}}{2} = 54\sqrt{3} \text{ cm}^2\).
4. Намираме обема: \(V = B \cdot h = 54\sqrt{3} \cdot 5 = 270\sqrt{3} \text{ cm}^3\).
\(180 = P \cdot 5 \implies P = \frac{180}{5} = 36 \text{ cm}\).
2. Основата е правилен шестоъгълник, следователно \(P = 6 \cdot a\).
\(36 = 6 \cdot a \implies a = 6 \text{ cm}\).
3. Намираме лицето на основата. Формулата за лице на правилен шестоъгълник е \(B = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\).
\(B = \frac{3 \cdot 6^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 36\sqrt{3}}{2} = 54\sqrt{3} \text{ cm}^2\).
4. Намираме обема: \(V = B \cdot h = 54\sqrt{3} \cdot 5 = 270\sqrt{3} \text{ cm}^3\).
