Най-важното от урока
Решаване с пропорции: За да намериш неизвестна величина при дадено отношение (напр. съставки, размери), състави пропорция. Пример: \(x \text{ злато} : 9 \text{ мед} = 6:5\).
Мащаб \(1:M\): Означава, че 1 единица на картата/чертежа е равна на \(M\) единици в действителност.
Ключов принцип: Преди да съставиш пропорция с мащаб, винаги превръщай величините в еднакви мерни единици (най-често сантиметри).
От умалено към реално: \(S_{\text{реално}} = S_{\text{карта}} \cdot M\).
От реално към умалено: \(S_{\text{карта}} = S_{\text{реално}} / M\).
Мащаб \(1:M\): Означава, че 1 единица на картата/чертежа е равна на \(M\) единици в действителност.
Ключов принцип: Преди да съставиш пропорция с мащаб, винаги превръщай величините в еднакви мерни единици (най-често сантиметри).
От умалено към реално: \(S_{\text{реално}} = S_{\text{карта}} \cdot M\).
От реално към умалено: \(S_{\text{карта}} = S_{\text{реално}} / M\).
Когато две величини са в дадено отношение (например \(a:b\)), можем да намерим неизвестната стойност на едната, ако знаем стойността на другата, като съставим пропорция.
Означете неизвестното количество с \(x\).
Съставете пропорция, като спазвате реда на величините от даденото отношение.
Решете пропорцията спрямо \(x\).
Годините на Иван се отнасят към годините на Петър както \(22:7\). Ако Петър е на 21 години, на колко е Иван?
Нека годините на Иван са \(x\). \[ x : 21 = 22 : 7 \] \[ \frac{x}{21} = \frac{22}{7} \Rightarrow x = \frac{21 \cdot 22}{7} = 3 \cdot 22 = 66 \text{ години} \]
Нека годините на Иван са \(x\). \[ x : 21 = 22 : 7 \] \[ \frac{x}{21} = \frac{22}{7} \Rightarrow x = \frac{21 \cdot 22}{7} = 3 \cdot 22 = 66 \text{ години} \]
За смес са необходими цимент и пясък в отношение 1:4. Ако са използвани 250 кг пясък, колко килограма цимент са необходими?
Нека количеството цимент е \(x\) кг.
Отношението цимент:пясък е \(1:4\). \[ x : 250 = 1 : 4 \Rightarrow \frac{x}{250} = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{250}{4} = 62.5 \text{ кг} \] Отговор: Необходими са 62.5 кг цимент.
Отношението цимент:пясък е \(1:4\). \[ x : 250 = 1 : 4 \Rightarrow \frac{x}{250} = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{250}{4} = 62.5 \text{ кг} \] Отговор: Необходими са 62.5 кг цимент.
Мащабът \(1:M\) показва, че 1 мерна единица на картата/чертежа отговаря на \(M\) същите мерни единици в действителност.
За да намерите разстоянието на картата, разделете действителното разстояние на числото от мащаба, след като сте уеднаквили мерните единици.
\[ \text{Разстояние на картата} = \frac{\text{Действително разстояние}}{M} \]
Разстоянието между два града е 165 km. Какво е разстоянието (в cm) между тях на карта с мащаб 1 : 1 000 000?
1. Превръщаме km в cm: \(165 \text{ km} = 16\,500\,000 \text{ cm}\).
2. Нека разстоянието на картата е \(x\). Съставяме пропорцията: \[ x : 16\,500\,000 = 1 : 1\,000\,000 \] \[ x = \frac{16\,500\,000}{1\,000\,000} = 16.5 \text{ cm} \]
1. Превръщаме km в cm: \(165 \text{ km} = 16\,500\,000 \text{ cm}\).
2. Нека разстоянието на картата е \(x\). Съставяме пропорцията: \[ x : 16\,500\,000 = 1 : 1\,000\,000 \] \[ x = \frac{16\,500\,000}{1\,000\,000} = 16.5 \text{ cm} \]
Действителната дължина на един мост е 2 km. Колко сантиметра ще бъде дължината му на чертеж с мащаб 1:5000?
1. Превръщаме \(2 \text{ km}\) в \(\text{cm}\): \(2 \text{ km} = 2000 \text{ m} = 200\,000 \text{ cm}\).
2. Дължина на чертежа \( = \frac{200\,000}{5000} = 40 \text{ cm}\).
Отговор: 40 cm.
2. Дължина на чертежа \( = \frac{200\,000}{5000} = 40 \text{ cm}\).
Отговор: 40 cm.
За да намерите действителното разстояние, умножете разстоянието от картата по числото от мащаба. След това превърнете в подходяща по-голяма мерна единица (cm \(\rightarrow\) m \(\rightarrow\) km).
\[ \text{Действително разстояние} = \text{Разстояние на картата} \cdot M \]
На карта с мащаб 1:40 000 000 разстоянието е 2.6 cm. Намерете действителното разстояние в km.
1. Намираме действителното разстояние в cm: \[ x = 2.6 \cdot 40\,000\,000 = 104\,000\,000 \text{ cm} \] 2. Превръщаме в km: \[ 104\,000\,000 \text{ cm} = 1\,040\,000 \text{ m} = 1040 \text{ km} \]
1. Намираме действителното разстояние в cm: \[ x = 2.6 \cdot 40\,000\,000 = 104\,000\,000 \text{ cm} \] 2. Превръщаме в km: \[ 104\,000\,000 \text{ cm} = 1\,040\,000 \text{ m} = 1040 \text{ km} \]
Разстоянието между две точки на план с мащаб 1:200 е 15 cm. Намерете действителното разстояние в метри.
1. Действително разстояние в cm \( = 15 \cdot 200 = 3000 \text{ cm}\).
2. Превръщаме в метри: \(3000 \text{ cm} = 30 \text{ m}\).
Отговор: 30 m.
2. Превръщаме в метри: \(3000 \text{ cm} = 30 \text{ m}\).
Отговор: 30 m.
За да намерите мащаба, съставете отношение на умаления размер към действителния размер, като предварително ги превърнете в еднакви мерни единици. Опростете отношението до вида \(1:x\).
На чертеж дължината на детайл е 60 cm, а действителната му дължина е 30 m. Намерете мащаба.
1. Уеднаквяваме единиците: \(30 \text{ m} = 3000 \text{ cm}\).
2. Съставяме отношението: \[ \text{Мащаб} = \frac{\text{размер на чертежа}}{\text{действителен размер}} = \frac{60}{3000} = \frac{1}{50} \] Мащабът е \(1:50\).
1. Уеднаквяваме единиците: \(30 \text{ m} = 3000 \text{ cm}\).
2. Съставяме отношението: \[ \text{Мащаб} = \frac{\text{размер на чертежа}}{\text{действителен размер}} = \frac{60}{3000} = \frac{1}{50} \] Мащабът е \(1:50\).
Височината на модел на сграда е 25 cm. Действителната височина на сградата е 50 m. Намерете мащаба на модела.
1. \(50 \text{ m} = 5000 \text{ cm}\).
2. \(\text{Мащаб} = \frac{25}{5000} = \frac{1}{200}\).
Отговор: Мащабът е 1:200.
2. \(\text{Мащаб} = \frac{25}{5000} = \frac{1}{200}\).
Отговор: Мащабът е 1:200.
Задачи за упражнение
Лесна: Отношението на ябълки към круши в една кошница е 5:2. Ако в кошницата има 8 круши, колко са ябълките?
Нека броят на ябълките е \(x\).
\[ x : 8 = 5 : 2 \Rightarrow \frac{x}{8} = \frac{5}{2} \Rightarrow x = \frac{8 \cdot 5}{2} = 20 \]
Отговор: Ябълките са 20.
Средна: Действителната височина на Айфеловата кула е около 330 m. Колко сантиметра ще бъде височината на неин модел, изработен в мащаб 1:1500?
1. Превръщаме метрите в сантиметри: \(330 \text{ m} = 33\,000 \text{ cm}\).
2. Височина на модела = \(\frac{\text{действителна височина}}{\text{мащаб}} = \frac{33\,000}{1500} = 22 \text{ cm}\).
Отговор: 22 cm.
2. Височина на модела = \(\frac{\text{действителна височина}}{\text{мащаб}} = \frac{33\,000}{1500} = 22 \text{ cm}\).
Отговор: 22 cm.
Трудна: Разстоянието между град А и град Б на карта с мащаб 1:400 000 е 15 cm. Колко сантиметра ще бъде разстоянието между същите градове на друга карта, чийто мащаб е 1:1 000 000?
Стъпка 1: Намиране на действителното разстояние от първата карта.
Действително разстояние = \(15 \text{ cm} \cdot 400\,000 = 6\,000\,000 \text{ cm}\).
Стъпка 2: Намиране на разстоянието на втората карта.
Разстояние на карта 2 = \(\frac{\text{действително разстояние}}{\text{мащаб 2}} = \frac{6\,000\,000}{1\,000\,000} = 6 \text{ cm}\).
Отговор: Разстоянието на втората карта ще бъде 6 cm.
Действително разстояние = \(15 \text{ cm} \cdot 400\,000 = 6\,000\,000 \text{ cm}\).
Стъпка 2: Намиране на разстоянието на втората карта.
Разстояние на карта 2 = \(\frac{\text{действително разстояние}}{\text{мащаб 2}} = \frac{6\,000\,000}{1\,000\,000} = 6 \text{ cm}\).
Отговор: Разстоянието на втората карта ще бъде 6 cm.
