Най-важното от урока
Окръжност/Кръг: Обиколка \(c=2\pi r\), Лице \(S=\pi r^2\).
Правилен многоъгълник: Периметър \(P=n \cdot b\), Лице \(S = \frac{P \cdot a}{2}\).
Права призма: Околна повърхнина \(S = P \cdot h\), Пълна повърхнина \(S_1 = S + 2B\), Обем \(V = B \cdot h\).
Правилна пирамида: Околна повърхнина \(S = \frac{P \cdot k}{2}\), Пълна повърхнина \(S_1 = S + B\), Обем \(V = \frac{B \cdot h}{3}\).
Правилен многоъгълник: Периметър \(P=n \cdot b\), Лице \(S = \frac{P \cdot a}{2}\).
Права призма: Околна повърхнина \(S = P \cdot h\), Пълна повърхнина \(S_1 = S + 2B\), Обем \(V = B \cdot h\).
Правилна пирамида: Околна повърхнина \(S = \frac{P \cdot k}{2}\), Пълна повърхнина \(S_1 = S + B\), Обем \(V = \frac{B \cdot h}{3}\).
Окръжност е затворена крива линия, чиито точки са на равно разстояние (\(r\)) от една точка (\(O\)). Кръг е частта от равнината, заградена от окръжност.
Обиколка на окръжност (дължина):
\[ c = 2 \cdot \pi \cdot r \]
Лице на кръг:
\[ S = \pi \cdot r^2 \]
Където \(r\) е радиус, а \(\pi \approx 3,14\).
Ако една окръжност има радиус \(r=5\) cm, то обиколката ѝ е \(c = 2 \cdot \pi \cdot 5 = 10\pi\) cm, а лицето на заградения от нея кръг е \(S = \pi \cdot 5^2 = 25\pi\) cm².
Намерете радиуса на кръг с лице \(S = 36\pi\) cm².
От формулата \(S = \pi r^2\), имаме \(36\pi = \pi r^2\).
Делим двете страни на \(\pi\): \(r^2 = 36\).
Отговор: \(r = 6\) cm.
Делим двете страни на \(\pi\): \(r^2 = 36\).
Отговор: \(r = 6\) cm.
Многоъгълник, на който всички страни и всички ъгли са равни.
Периметър:
\[ P = n \cdot b \]
Лице:
\[ S = \frac{P \cdot a}{2} \]
Където \(n\) е броят на страните, \(b\) е дължината на страната, а \(a\) е апотемата.
Правилен шестоъгълник (\(n=6\)) има страна \(b=4\) cm и апотема \(a=3,5\) cm.
Периметърът му е \(P = 6 \cdot 4 = 24\) cm.
Лицето му е \(S = \frac{24 \cdot 3,5}{2} = 42\) cm².
Периметърът му е \(P = 6 \cdot 4 = 24\) cm.
Лицето му е \(S = \frac{24 \cdot 3,5}{2} = 42\) cm².
Периметърът на правилен осмоъгълник е 40 cm. Намерете дължината на страната му.
От формулата \(P = n \cdot b\), имаме \(40 = 8 \cdot b\).
Отговор: \(b = 40 : 8 = 5\) cm.
Отговор: \(b = 40 : 8 = 5\) cm.
Ръбесто тяло с две успоредни и еднакви основи (многоъгълници) и околни стени правоъгълници.
Ако основите са правилни многоъгълници, призмата се нарича правилна. Ако основите са правоъгълници, призмата е правоъгълен паралелепипед.
Лице на околна повърхнина: \( S = P \cdot h \)
Лице на пълна повърхнина: \( S_1 = S + 2B \)
Обем: \( V = B \cdot h \) Където \(P\) е периметърът на основата, \(B\) е лицето на основата, а \(h\) е височината на призмата.
Лице на пълна повърхнина: \( S_1 = S + 2B \)
Обем: \( V = B \cdot h \) Където \(P\) е периметърът на основата, \(B\) е лицето на основата, а \(h\) е височината на призмата.
Права триъгълна призма има лице на основата \(B=10\) cm², периметър на основата \(P=15\) cm и височина \(h=8\) cm.
\(S = 15 \cdot 8 = 120\) cm²
\(S_1 = 120 + 2 \cdot 10 = 140\) cm²
\(V = 10 \cdot 8 = 80\) cm³
\(S = 15 \cdot 8 = 120\) cm²
\(S_1 = 120 + 2 \cdot 10 = 140\) cm²
\(V = 10 \cdot 8 = 80\) cm³
Обемът на куб е 27 cm³. Намерете пълната му повърхнина.
Кубът е вид права призма. Обемът му е \(V = a \cdot a \cdot a = a^3\).
\(a^3 = 27 \Rightarrow a=3\) cm.
Лицето на една стена (основа) е \(B = 3 \cdot 3 = 9\) cm².
Пълната повърхнина е \(S_1 = 6 \cdot B = 6 \cdot 9 = 54\) cm².
\(a^3 = 27 \Rightarrow a=3\) cm.
Лицето на една стена (основа) е \(B = 3 \cdot 3 = 9\) cm².
Пълната повърхнина е \(S_1 = 6 \cdot B = 6 \cdot 9 = 54\) cm².
Ръбесто тяло с основа правилен многоъгълник и околни стени еднакви равнобедрени триъгълници с общ връх.
Лице на околна повърхнина: \( S = \frac{P \cdot k}{2} \)
Лице на пълна повърхнина: \( S_1 = S + B \)
Обем: \( V = \frac{B \cdot h}{3} \) Където \(P\) е периметърът на основата, \(B\) е лицето на основата, \(h\) е височината, а \(k\) е апотемата на пирамидата (височината на околна стена).
Лице на пълна повърхнина: \( S_1 = S + B \)
Обем: \( V = \frac{B \cdot h}{3} \) Където \(P\) е периметърът на основата, \(B\) е лицето на основата, \(h\) е височината, а \(k\) е апотемата на пирамидата (височината на околна стена).
Правилна четириъгълна пирамида има страна на основата \(b=6\) cm, апотема на пирамидата \(k=5\) cm и височина \(h=4\) cm.
Основата е квадрат: \(P = 4 \cdot 6 = 24\) cm, \(B = 6^2 = 36\) cm².
\(S = \frac{24 \cdot 5}{2} = 60\) cm²
\(S_1 = 60 + 36 = 96\) cm²
\(V = \frac{36 \cdot 4}{3} = 48\) cm³
Основата е квадрат: \(P = 4 \cdot 6 = 24\) cm, \(B = 6^2 = 36\) cm².
\(S = \frac{24 \cdot 5}{2} = 60\) cm²
\(S_1 = 60 + 36 = 96\) cm²
\(V = \frac{36 \cdot 4}{3} = 48\) cm³
Околната повърхнина на правилна пирамида е \(S=100\) cm², а периметърът на основата ѝ е \(P=20\) cm. Намерете апотемата \(k\) на пирамидата.
От формулата \(S = \frac{P \cdot k}{2}\), имаме \(100 = \frac{20 \cdot k}{2}\).
\(100 = 10 \cdot k\)
Отговор: \(k = 10\) cm.
\(100 = 10 \cdot k\)
Отговор: \(k = 10\) cm.
Задачи за упражнение
Лесна: Намерете периметъра и лицето на правилен шестоъгълник със страна \(b = 8\) cm и апотема \(a = 6,9\) cm.
1. Периметър: \(P = n \cdot b = 6 \cdot 8 = 48\) cm.
2. Лице: \(S = \frac{P \cdot a}{2} = \frac{48 \cdot 6,9}{2} = 24 \cdot 6,9 = 165,6\) cm².
Отговор: \(P=48\) cm, \(S=165,6\) cm².
2. Лице: \(S = \frac{P \cdot a}{2} = \frac{48 \cdot 6,9}{2} = 24 \cdot 6,9 = 165,6\) cm².
Отговор: \(P=48\) cm, \(S=165,6\) cm².
Средна: Основата на права призма е правоъгълен триъгълник с катети 8 cm и 15 cm. Височината на призмата е 20 cm. Намерете пълната повърхнина \(S_1\) и обема \(V\).
1. Намираме хипотенузата \(c\) на основата с Питагорова теорема: \(c^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289\), следователно \(c = 17\) cm.
2. Периметър на основата: \(P = 8 + 15 + 17 = 40\) cm.
3. Лице на основата: \(B = \frac{8 \cdot 15}{2} = 60\) cm².
4. Околна повърхнина: \(S = P \cdot h = 40 \cdot 20 = 800\) cm².
5. Пълна повърхнина: \(S_1 = S + 2B = 800 + 2 \cdot 60 = 800 + 120 = 920\) cm².
6. Обем: \(V = B \cdot h = 60 \cdot 20 = 1200\) cm³.
Отговор: \(S_1 = 920\) cm², \(V = 1200\) cm³.
2. Периметър на основата: \(P = 8 + 15 + 17 = 40\) cm.
3. Лице на основата: \(B = \frac{8 \cdot 15}{2} = 60\) cm².
4. Околна повърхнина: \(S = P \cdot h = 40 \cdot 20 = 800\) cm².
5. Пълна повърхнина: \(S_1 = S + 2B = 800 + 2 \cdot 60 = 800 + 120 = 920\) cm².
6. Обем: \(V = B \cdot h = 60 \cdot 20 = 1200\) cm³.
Отговор: \(S_1 = 920\) cm², \(V = 1200\) cm³.
Трудна: Дадена е правилна шестоъгълна пирамида с основен ръб \(b=10\) cm и апотема на основата \(a=8,7\) cm. Апотемата на пирамидата е \(k=15\) cm, а височината ѝ е \(h=12,2\) cm. Намерете пълната повърхнина \(S_1\) и обема \(V\) на пирамидата.
1. Периметър на основата: \(P = n \cdot b = 6 \cdot 10 = 60\) cm.
2. Лице на основата: \(B = \frac{P \cdot a}{2} = \frac{60 \cdot 8,7}{2} = 30 \cdot 8,7 = 261\) cm².
3. Околна повърхнина: \(S = \frac{P \cdot k}{2} = \frac{60 \cdot 15}{2} = 450\) cm².
4. Пълна повърхнина: \(S_1 = S + B = 450 + 261 = 711\) cm².
5. Обем: \(V = \frac{B \cdot h}{3} = \frac{261 \cdot 12,2}{3} = 87 \cdot 12,2 = 1061,4\) cm³.
Отговор: \(S_1 = 711\) cm², \(V = 1061,4\) cm³.
2. Лице на основата: \(B = \frac{P \cdot a}{2} = \frac{60 \cdot 8,7}{2} = 30 \cdot 8,7 = 261\) cm².
3. Околна повърхнина: \(S = \frac{P \cdot k}{2} = \frac{60 \cdot 15}{2} = 450\) cm².
4. Пълна повърхнина: \(S_1 = S + B = 450 + 261 = 711\) cm².
5. Обем: \(V = \frac{B \cdot h}{3} = \frac{261 \cdot 12,2}{3} = 87 \cdot 12,2 = 1061,4\) cm³.
Отговор: \(S_1 = 711\) cm², \(V = 1061,4\) cm³.
