Най-важното от урока
Ключови елементи: Всеки цилиндър се определя от своя радиус (\(r\)) и височина (\(h\)).
Получаване: Може да се разглежда като тяло, получено при въртене на правоъгълник около една от страните му.
Осно сечение: Разрезът по оста на цилиндъра е правоъгълник с размери \(2r\) (диаметър) и \(h\).
Развивка: Състои се от два кръга (с радиус \(r\)) и един правоъгълник (с размери \(2\pi r\) и \(h\)).
Получаване: Може да се разглежда като тяло, получено при въртене на правоъгълник около една от страните му.
Осно сечение: Разрезът по оста на цилиндъра е правоъгълник с размери \(2r\) (диаметър) и \(h\).
Развивка: Състои се от два кръга (с радиус \(r\)) и един правоъгълник (с размери \(2\pi r\) и \(h\)).
Прав кръгов цилиндър е геометрично тяло, което има две еднакви кръгли основи, разположени в успоредни равнини, и цилиндрична повърхнина.
Основните елементи на цилиндъра са:
- Основи: Два еднакви кръга.
- Радиус (\(r\)): Радиусът на кръговите основи.
- Височина (\(h\)): Разстоянието между центровете на двете основи.
- Образуваща (\(l\)): Отсечка от цилиндричната повърхнина, която е успоредна на оста. При прав кръгов цилиндър дължината на образуващата е равна на височината (\(l = h\)).
- Ос (\(o\)): Правата, която минава през центровете на двете основи.
Цилиндър има радиус \(r = 5\) см и височина \(h = 15\) см. Това означава, че основите му са кръгове с радиус 5 см, а всяка негова образуваща има дължина \(l = 15\) см.
Образуващата на прав кръгов цилиндър е 20 см. Колко е височината му?
При прав кръгов цилиндър височината е равна на образуващата. Следователно, \(h = l = 20\) см.
Прав кръгов цилиндър може да се получи при пълно завъртане на правоъгълник около една от страните му. Страната, около която се върти, определя височината (\(h\)) на цилиндъра, а съседната ѝ страна - неговия радиус (\(r\)).
Осно сечение на цилиндър е правоъгълникът, който се получава при разрязването му с равнина, съдържаща оста. Размерите на този правоъгълник са диаметърът на основата (\(2r\)) и височината на цилиндъра (\(h\)).
Ако завъртим правоъгълник със страни 4 см и 7 см около страната от 7 см, ще получим цилиндър с височина \(h = 7\) см и радиус \(r = 4\) см. Осното му сечение ще бъде правоъгълник с размери \(d = 2 \cdot 4 = 8\) см и \(h = 7\) см.
Осното сечение на цилиндър е квадрат със страна 12 см. Намерете радиуса и височината на цилиндъра.
Тъй като осното сечение е квадрат, височината е равна на диаметъра: \(h = d = 12\) см. Радиусът е половината от диаметъра: \(r = \frac{d}{2} = \frac{12}{2} = 6\) см.
Развивката на прав кръгов цилиндър се състои от два еднакви кръга (основите) и един правоъгълник (цилиндричната повърхнина, наречена още околна повърхнина).
Размерите на правоъгълника от развивката са:
- Дължина: Равна на обиколката на основата (\(C = 2\pi r\)).
- Ширина: Равна на височината на цилиндъра (\(h\)).
За цилиндър с радиус \(r=2\) см и височина \(h=10\) см, развивката се състои от два кръга с радиус 2 см и правоъгълник с размери \(2\pi \cdot 2 = 4\pi\) см и 10 см.
Правоъгълникът от развивката на цилиндър има размери 16π см и 15 см. Намерете радиуса и височината на цилиндъра, ако височината е по-малкото измерение.
Височината е по-малкото измерение, следователно \(h = 15\) см. Дължината на правоъгълника е обиколката на основата: \(C = 2\pi r = 16\pi\). Оттук намираме \(r = \frac{16\pi}{2\pi} = 8\) см.
Задачи за упражнение
Лесна: Цилиндър има радиус \(r = 3\) см и височина \(h = 8\) см. Какви са размерите на осното му сечение?
Осното сечение е правоъгълник с размери: диаметър \(d = 2r\) и височина \(h\).
\(d = 2 \cdot 3 = 6\) см.
\(h = 8\) см.
Отговор: Правоъгълник с размери 6 см и 8 см.
\(d = 2 \cdot 3 = 6\) см.
\(h = 8\) см.
Отговор: Правоъгълник с размери 6 см и 8 см.
Средна: Правоъгълник със страни 5 см и 12 см се завърта около по-дългата си страна. Намерете радиуса и височината на получения цилиндър.
Страната, около която се върти, става височина. В случая това е по-дългата страна.
Височина \(h = 12\) см.
Другата страна става радиус: \(r = 5\) см.
Отговор: Радиусът е 5 см, а височината е 12 см.
Височина \(h = 12\) см.
Другата страна става радиус: \(r = 5\) см.
Отговор: Радиусът е 5 см, а височината е 12 см.
Трудна: Обиколката на основата на прав кръгов цилиндър е 20π см, а осното му сечение е квадрат. Намерете височината на цилиндъра.
От формулата за обиколка на кръг \(C = 2\pi r\) намираме радиуса:
\(2\pi r = 20\pi \implies r = \frac{20\pi}{2\pi} = 10\) см.
Диаметърът на основата е \(d = 2r = 2 \cdot 10 = 20\) см.
Тъй като осното сечение е квадрат, страните му са равни. Това означава, че височината е равна на диаметъра: \(h = d\).
Отговор: Височината на цилиндъра е 20 см.
\(2\pi r = 20\pi \implies r = \frac{20\pi}{2\pi} = 10\) см.
Диаметърът на основата е \(d = 2r = 2 \cdot 10 = 20\) см.
Тъй като осното сечение е квадрат, страните му са равни. Това означава, че височината е равна на диаметъра: \(h = d\).
Отговор: Височината на цилиндъра е 20 см.
