Най-важното от урока
Извличане на данни: Можем да четем данни директно от диаграми (стълбовидни, кръгови) и да ги организираме в таблици за прегледност.
Анализ с проценти: За да намерим реална стойност от процент, умножаваме процента (като десетична дроб) по общата стойност. Пример: \(25\% \text{ от } 80 \text{ е } 0.25 \cdot 80 = 20\).
Претеглена средна: За да намерим среден успех, умножаваме всяка оценка по броя ученици, получили я, сумираме резултатите и делим на общия брой ученици.
Диаграми с променливи: Първо намираме стойността на променливата, използвайки дадена обща сума, след което изчисляваме конкретните стойности.
Анализ с проценти: За да намерим реална стойност от процент, умножаваме процента (като десетична дроб) по общата стойност. Пример: \(25\% \text{ от } 80 \text{ е } 0.25 \cdot 80 = 20\).
Претеглена средна: За да намерим среден успех, умножаваме всяка оценка по броя ученици, получили я, сумираме резултатите и делим на общия брой ученици.
Диаграми с променливи: Първо намираме стойността на променливата, използвайки дадена обща сума, след което изчисляваме конкретните стойности.
Данните от графични изображения, като диаграми с колони, могат да бъдат извлечени и организирани в таблица за по-лесен анализ и обобщаване.
От следната диаграма можем да създадем таблица с резултатите от изпита.
Таблица:
| Оценка | Слаб | Среден | Добър | Мн. добър | Отличен | Общо |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Брой момичета | 4 | 6 | 22 | 18 | 10 | 60 |
| Брой момчета | 6 | 14 | 28 | 20 | 12 | 80 |
Като използвате данните от примера, колко общо ученици (момчета и момичета) са получили оценка "Мн. добър"?
Отговор: \(18 \text{ (момичета)} + 20 \text{ (момчета)} = 38\) ученици.
Средният успех се изчислява като претеглена средна аритметична стойност, където "тежестта" на всяка оценка е броят на учениците, които са я получили.
\[ \text{Среден успех} = \frac{\text{Сума от (оценка} \times \text{брой ученици)}}{\text{Общ брой ученици}} \]
Приемаме, че оценките имат следните точкови стойности: Слаб(2), Среден(3), Добър(4), Мн. добър(5), Отличен(6).
Изчисляване на средния успех на момичетата от горния пример:
\[ \frac{2 \cdot 4 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 22 + 5 \cdot 18 + 6 \cdot 10}{60} = \frac{8 + 18 + 88 + 90 + 60}{60} = \frac{264}{60} = 4.40 \]
Като използвате данните от горния пример, изчислете средния успех на момчетата.
\[ \frac{2 \cdot 6 + 3 \cdot 14 + 4 \cdot 28 + 5 \cdot 20 + 6 \cdot 12}{80} = \frac{12 + 42 + 112 + 100 + 72}{80} = \frac{338}{80} = 4.225 \]
Когато скалата на диаграмата е дадена с променлива (напр. \(m\)), трябва да използваме дадена обща стойност, за да намерим стойността на променливата и след това да изчислим реалните стойности за всяка категория.
На състезание са се явили общо 180 ученици. Разпределението по класове е дадено на диаграмата:
От диаграмата виждаме, че броят ученици е \(3m+4m+6m+5m = 18m\). Тъй като общият брой е 180, то \(18m = 180 \implies m=10\). Броят ученици от 6. клас е \(6 \cdot m = 6 \cdot 10 = 60\).
Колко ученици от 5. клас са се явили на състезанието?
От диаграмата броят е \(4m\). Заместваме \(m=10\).
Отговор: \(4 \cdot 10 = 40\) ученици.
Отговор: \(4 \cdot 10 = 40\) ученици.
Кръговите диаграми показват частите от едно цяло като проценти. За да намерим реалния брой за дадена част, изчисляваме съответния процент от общия брой.
Разпределението на оценките на 60-те ученици от 6. клас е показано на диаграма:
Броят ученици с оценка "Добър" (30%) се изчислява така: \[ 30\% \text{ от } 60 = 0.30 \cdot 60 = 18 \text{ ученици} \]
Колко ученици от 6. клас са получили оценка "Отличен" (15%)?
\[ 15\% \text{ от } 60 = 0.15 \cdot 60 = 9 \text{ ученици} \]
Задачи за упражнение
Лесна: От диаграмата в първия пример, колко е общият брой на учениците, явили се на изпита?
От таблицата събираме общия брой момичета и момчета:
\(60 + 80 = 140\) ученици.
Или събираме броя ученици за всяка оценка: \(10+20+50+38+22 = 140\) ученици.
\(60 + 80 = 140\) ученици.
Или събираме броя ученици за всяка оценка: \(10+20+50+38+22 = 140\) ученици.
Средна: Изчислете общия среден успех на изпита от първия пример, като използвате данните за всички 140 ученици.
Използваме данните от реда "Общ брой ученици" в таблицата:
\[ \frac{2 \cdot 10 + 3 \cdot 20 + 4 \cdot 50 + 5 \cdot 38 + 6 \cdot 22}{140} \]
\[ = \frac{20 + 60 + 200 + 190 + 132}{140} = \frac{602}{140} \approx 4.30 \]
Трудна: В едно училище има 500 ученици. Кръгова диаграма показва, че 22% от тях тренират футбол, 18% - волейбол, 10% - лека атлетика, а останалите не спортуват. Колко ученици не спортуват?
Стъпка 1: Намираме общия процент на спортуващите ученици.
\(22\% + 18\% + 10\% = 50\%\)
Стъпка 2: Намираме процента на неспортуващите.
\(100\% - 50\% = 50\%\)
Стъпка 3: Изчисляваме броя на неспортуващите ученици.
\(50\% \text{ от } 500 = 0.50 \cdot 500 = 250\) ученици.
Отговор: 250 ученици не спортуват.
\(22\% + 18\% + 10\% = 50\%\)
Стъпка 2: Намираме процента на неспортуващите.
\(100\% - 50\% = 50\%\)
Стъпка 3: Изчисляваме броя на неспортуващите ученици.
\(50\% \text{ от } 500 = 0.50 \cdot 500 = 250\) ученици.
Отговор: 250 ученици не спортуват.
