Най-важното от урока
Скоби при отрицателна основа: Винаги поставяйте отрицателната основа в скоби. \( (-5)^2 = 25 \), докато \( -5^2 = -25 \).
Знак на резултата: Основа \(< 0\). Ако показателят е четен, резултатът е +. Ако е нечетен, резултатът е -. Пример: \( (-2)^4 = 16 \), \( (-2)^5 = -32 \).
Свойства на степените: Помнете основните правила като \( a^n \cdot a^m = a^{n+m} \) и \( (a^n)^m = a^{n \cdot m} \).
Ред на действията: 1. Степенуване → 2. Умножение/Деление → 3. Събиране/Изваждане.
Знак на резултата: Основа \(< 0\). Ако показателят е четен, резултатът е +. Ако е нечетен, резултатът е -. Пример: \( (-2)^4 = 16 \), \( (-2)^5 = -32 \).
Свойства на степените: Помнете основните правила като \( a^n \cdot a^m = a^{n+m} \) и \( (a^n)^m = a^{n \cdot m} \).
Ред на действията: 1. Степенуване → 2. Умножение/Деление → 3. Събиране/Изваждане.
Когато основата на степента е отрицателно число, тя се записва в скоби. Степенуването означава умножение на основата със себе си толкова пъти, колкото показва степенният показател.
Има разлика между \( (-a)^n \) и \( -a^n \).
- \( (-a)^n \) означава \( \underbrace{(-a) \cdot (-a) \cdot \dots \cdot (-a)}_{n \text{ пъти}} \)
- \( -a^n \) означава \( - (a \cdot a \cdot \dots \cdot a) \)
\( (-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16 \)
\( -2^4 = -(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16 \)
\( -2^4 = -(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16 \)
Пресметнете \( (-3)^2 \).
Отговор: \( (-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9 \).
Когато основата е отрицателно число:
- Ако степенният показател е четно число, резултатът е положителен.
- Ако степенният показател е нечетно число, резултатът е отрицателен.
а) \( (-5)^2 = 25 \) (показателят 2 е четен, резултатът е положителен)
б) \( (-2)^3 = -8 \) (показателят 3 е нечетен, резултатът е отрицателен)
б) \( (-2)^3 = -8 \) (показателят 3 е нечетен, резултатът е отрицателен)
Без да пресмятате, определете знака на степента \( (-11)^{15} \).
Отговор: Степенният показател 15 е нечетно число, следователно резултатът ще бъде отрицателен (-).
Умножение с равни основи: \( a^n \cdot a^m = a^{n+m} \)
Деление с равни основи: \( a^n : a^m = a^{n-m} \) (при \(a \ne 0\))
Степенуване на произведение: \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \)
Степенуване на частно: \( \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} \) (при \(b \ne 0\))
Степенуване на степен: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
Деление с равни основи: \( a^n : a^m = a^{n-m} \) (при \(a \ne 0\))
Степенуване на произведение: \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \)
Степенуване на частно: \( \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} \) (при \(b \ne 0\))
Степенуване на степен: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
Изразът \( ((-2)^3)^2 : (-2)^2 \) се пресмята така:
\( ((-2)^3)^2 : (-2)^2 = (-2)^{3 \cdot 2} : (-2)^2 = (-2)^6 : (-2)^2 = (-2)^{6-2} = (-2)^4 = 16 \)
\( ((-2)^3)^2 : (-2)^2 = (-2)^{3 \cdot 2} : (-2)^2 = (-2)^6 : (-2)^2 = (-2)^{6-2} = (-2)^4 = 16 \)
Опростете израза \( (x^4)^2 \cdot x^3 \).
Отговор: \( (x^4)^2 \cdot x^3 = x^{4 \cdot 2} \cdot x^3 = x^8 \cdot x^3 = x^{8+3} = x^{11} \).
Първо се извършва действието степенуване.
След това се извършват умножение и деление според реда на записването им.
Накрая се извършват събиране и изваждане според реда на записването им.
Пресметнете \( (-3)^2 - ((-2)^3) \cdot (-1)^2 \).
1. Степенуване: \( 9 - (-8) \cdot 1 \)
2. Умножение: \( 9 - (-8) \)
3. Изваждане: \( 9 + 8 = 17 \)
1. Степенуване: \( 9 - (-8) \cdot 1 \)
2. Умножение: \( 9 - (-8) \)
3. Изваждане: \( 9 + 8 = 17 \)
Пресметнете стойността на израза \( 10 - 2 \cdot (-3)^2 \).
Отговор: \( 10 - 2 \cdot 9 = 10 - 18 = -8 \).
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете \( (-1)^{12} + (-1)^{13} \).
\( (-1)^{12} = 1 \) (четен показател)
\( (-1)^{13} = -1 \) (нечетен показател)
\( 1 + (-1) = 0 \)
Отговор: 0.
\( (-1)^{13} = -1 \) (нечетен показател)
\( 1 + (-1) = 0 \)
Отговор: 0.
Средна: Опростете израза и го запишете като степен: \( \frac{(-3)^9 \cdot (-3)^2}{(-3)^8} \).
\( \frac{(-3)^{9+2}}{(-3)^8} = \frac{(-3)^{11}}{(-3)^8} = (-3)^{11-8} = (-3)^3 \)
Отговор: \( (-3)^3 \).
Отговор: \( (-3)^3 \).
Трудна: Намерете числената стойност на израза \( A = -x^2 + 5x - 4 \) при \( x = -2 \).
Заместваме \( x \) с \( -2 \):
\( A = -(-2)^2 + 5 \cdot (-2) - 4 \)
\( A = -(4) + (-10) - 4 \)
\( A = -4 - 10 - 4 = -18 \)
Отговор: -18.
\( A = -(-2)^2 + 5 \cdot (-2) - 4 \)
\( A = -(4) + (-10) - 4 \)
\( A = -4 - 10 - 4 = -18 \)
Отговор: -18.
