Най-важното от урока
Пресмятане на изрази: Винаги първо опростявайте израза, като използвате правилата за действия със степени, и едва тогава извършвайте крайните пресмятания или замествания.
Дробни изрази: Комбинирайте степени с еднакви основи в числителя и знаменателя. Пример: \( \frac{2^5 \cdot 2^3}{2^6} = \frac{2^8}{2^6} = 2^2 = 4 \).
Събиране/Изваждане: Изнасяйте пред скоби обща степен (обикновено с най-малкия показател). Пример: \(3^5 - 3^4 = 3^4(3-1) = 2 \cdot 3^4\).
Делимост: Факторизирайте израза, за да покажете, че съдържа търсения делител като множител. Пример: \(7^{n+1}+7^n = 7^n(7+1) = 8 \cdot 7^n\), следователно се дели на 8.
Дробни изрази: Комбинирайте степени с еднакви основи в числителя и знаменателя. Пример: \( \frac{2^5 \cdot 2^3}{2^6} = \frac{2^8}{2^6} = 2^2 = 4 \).
Събиране/Изваждане: Изнасяйте пред скоби обща степен (обикновено с най-малкия показател). Пример: \(3^5 - 3^4 = 3^4(3-1) = 2 \cdot 3^4\).
Делимост: Факторизирайте израза, за да покажете, че съдържа търсения делител като множител. Пример: \(7^{n+1}+7^n = 7^n(7+1) = 8 \cdot 7^n\), следователно се дели на 8.
При умножение и деление на степени с еднакви основи, се използват правилата \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \). Често се налага първо да представим числата като степени на обща основа.
Пресметнете израза \( \frac{128 \cdot 5^{5}}{625 \cdot 2^{13}} \).
Решение: Представяме 128 като \(2^7\) и 625 като \(5^4\). \[ \frac{2^{7} \cdot 5^{5}}{5^{4} \cdot 2^{13}} = \frac{2^{7}}{2^{13}} \cdot \frac{5^{5}}{5^{4}} = 2^{7-13} \cdot 5^{5-4} = 2^{-6} \cdot 5^{1} = \frac{5}{2^6} = \frac{5}{64} \]
Решение: Представяме 128 като \(2^7\) и 625 като \(5^4\). \[ \frac{2^{7} \cdot 5^{5}}{5^{4} \cdot 2^{13}} = \frac{2^{7}}{2^{13}} \cdot \frac{5^{5}}{5^{4}} = 2^{7-13} \cdot 5^{5-4} = 2^{-6} \cdot 5^{1} = \frac{5}{2^6} = \frac{5}{64} \]
Пресметнете \( \frac{3^5 \cdot 27}{3^6} \).
Представяме \(27\) като \(3^3\).
\[ \frac{3^5 \cdot 3^3}{3^6} = \frac{3^{5+3}}{3^6} = \frac{3^8}{3^6} = 3^{8-6} = 3^2 = 9 \]
Степени с еднакви основи не могат да се събират директно чрез събиране на степенните им показатели. Вместо това, използваме разпределителното свойство, като изнасяме пред скоби степента с най-малък показател.
Опростете израза \( 2^{10} + 2^{8} \).
Решение: Най-малкият степенен показател е 8. Изнасяме \(2^8\) пред скоби. \[ 2^{10} + 2^{8} = 2^{8} \cdot 2^{2} + 2^{8} \cdot 1 = 2^{8}(2^2 + 1) = 2^8(4+1) = 5 \cdot 2^8 \]
Решение: Най-малкият степенен показател е 8. Изнасяме \(2^8\) пред скоби. \[ 2^{10} + 2^{8} = 2^{8} \cdot 2^{2} + 2^{8} \cdot 1 = 2^{8}(2^2 + 1) = 2^8(4+1) = 5 \cdot 2^8 \]
Опростете израза \( 5^7 - 5^5 \).
Изнасяме \(5^5\) пред скоби:
\[ 5^7 - 5^5 = 5^5 \cdot 5^2 - 5^5 \cdot 1 = 5^5(5^2 - 1) = 5^5(25 - 1) = 24 \cdot 5^5 \]
За да докажем, че даден израз се дели на число, трябва да го представим като произведение, в което единият от множителите е самото число.
Покажете, че \( A = 2^{17} + 2^{16} + 2^{15} \) се дели на 7.
Решение: Изнасяме степента с най-малък показател (\(2^{15}\)). \[ A = 2^{15}(2^2 + 2^1 + 1) = 2^{15}(4 + 2 + 1) = 2^{15} \cdot 7 \] Тъй като изразът е равен на произведение, в което единият множител е 7, той се дели на 7.
Решение: Изнасяме степента с най-малък показател (\(2^{15}\)). \[ A = 2^{15}(2^2 + 2^1 + 1) = 2^{15}(4 + 2 + 1) = 2^{15} \cdot 7 \] Тъй като изразът е равен на произведение, в което единият множител е 7, той се дели на 7.
Покажете, че \( 3^{10} + 3^9 \) е кратно на 4.
Изнасяме \(3^9\) пред скоби:
\[ 3^{10} + 3^9 = 3^9(3^1 + 1) = 3^9(4) = 4 \cdot 3^9 \]
Тъй като изразът е произведение, съдържащо множител 4, той е кратен на 4.
Когато трябва да намерим стойността на израз с променлива, е най-добре първо да опростим израза и чак тогава да заместим променливата с конкретната стойност.
Пресметнете стойността на израза \( A = \frac{x^{15} \cdot x^{17}}{x^{30}} + 1 \), ако \( x = \frac{1}{3} \).
Решение:
Решение:
\( A = \frac{x^{15+17}}{x^{30}} + 1 = \frac{x^{32}}{x^{30}} + 1 = x^{32-30} + 1 = x^2 + 1 \)
\( A = \left(\frac{1}{3}\right)^2 + 1 = \frac{1}{9} + 1 = \frac{10}{9} \)
Пресметнете стойността на \( B = \frac{a^9 \cdot a}{a^6} - a^2 \) за \( a=3 \).
Опростяване: \( B = \frac{a^{9+1}}{a^6} - a^2 = \frac{a^{10}}{a^6} - a^2 = a^{10-6} - a^2 = a^4 - a^2 \).
Заместване: \( B = 3^4 - 3^2 = 81 - 9 = 72 \).
Заместване: \( B = 3^4 - 3^2 = 81 - 9 = 72 \).
Задачи за упражнение
Лесна: Пресметнете \( \frac{7^8}{7^3 \cdot 7^4} \).
\[ \frac{7^8}{7^{3+4}} = \frac{7^8}{7^7} = 7^{8-7} = 7^1 = 7 \]
Средна: Пресметнете стойността на израза \( C = \frac{(x^3)^4 \cdot x^2}{x^{11}} \) за \( x = 0.5 \).
Първо опростяваме израза:
\[ C = \frac{x^{3 \cdot 4} \cdot x^2}{x^{11}} = \frac{x^{12} \cdot x^2}{x^{11}} = \frac{x^{14}}{x^{11}} = x^{14-11} = x^3 \]
Сега заместваме \( x = 0.5 \):
\[ C = (0.5)^3 = 0.5 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 0.125 \]
Трудна: Докажете, че \( 5^{20} + 5^{18} + 5^{17} \) се дели на 151.
Изнасяме пред скоби степента с най-малък показател, която е \(5^{17}\).
\[ 5^{17} \cdot 5^3 + 5^{17} \cdot 5^1 + 5^{17} \cdot 1 = 5^{17}(5^3 + 5^1 + 1) \]
Пресмятаме стойността в скобите:
\[ 5^{17}(125 + 5 + 1) = 5^{17} \cdot 151 \]
Тъй като изразът е представен като произведение с множител 151, той се дели на 151.
