Най-важното от урока
Решаване на уравнения: Основната цел е да се изолира неизвестното \(x\). Това става чрез еквивалентни преобразувания: опростяване на изразите, прехвърляне на членове (със смяна на знака), разкриване на скоби и освобождаване от знаменатели (чрез умножение с НОК).
Пример: \(2(x+1) = 10 \rightarrow 2x+2 = 10 \rightarrow 2x = 8 \rightarrow x=4\).
Моделиране на задачи: Превеждане на текстово условие в уравнение.
Пример (движение): \(S = v \cdot t\). Ако двама се движат един срещу друг, сборът от пътищата им е равен на общото разстояние.
Пример (работа): Цялата работа е 1. Ако някой я върши за \(t\) часа, неговата производителност е \(\frac{1}{t}\) работа за час.
Пример: \(2(x+1) = 10 \rightarrow 2x+2 = 10 \rightarrow 2x = 8 \rightarrow x=4\).
Моделиране на задачи: Превеждане на текстово условие в уравнение.
Пример (движение): \(S = v \cdot t\). Ако двама се движат един срещу друг, сборът от пътищата им е равен на общото разстояние.
Пример (работа): Цялата работа е 1. Ако някой я върши за \(t\) часа, неговата производителност е \(\frac{1}{t}\) работа за час.
Числовите равенства имат свойства, които ни позволяват да ги преобразуваме, без да нарушаваме верността им. Тези свойства са основата за решаване на уравнения.
1. Симетричност: Ако \(a = b\), то \(b = a\).
2. Транзитивност: Ако \(a = b\) и \(b = c\), то \(a = c\).
3. Събиране и изваждане: Ако \(a = b\), то \(a \pm c = b \pm c\). (Можем да съберем или извадим едно и също число от двете страни).
4. Умножение и деление: Ако \(a = b\), то \(a \cdot c = b \cdot c\) и \(a : c = b : c\) (за \(c \neq 0\)). (Можем да умножим или разделим двете страни с едно и също число, различно от нула).
2. Транзитивност: Ако \(a = b\) и \(b = c\), то \(a = c\).
3. Събиране и изваждане: Ако \(a = b\), то \(a \pm c = b \pm c\). (Можем да съберем или извадим едно и също число от двете страни).
4. Умножение и деление: Ако \(a = b\), то \(a \cdot c = b \cdot c\) и \(a : c = b : c\) (за \(c \neq 0\)). (Можем да умножим или разделим двете страни с едно и също число, различно от нула).
Ако имаме вярното равенство \(5x = 10\), можем да разделим двете страни на 5 (свойство 4), за да намерим \(x\):
\[ 5x : 5 = 10 : 5 \]
\[ x = 2 \]
Дадено е равенството \(a = b\). Като използвате свойствата на равенствата, покажете, че \(2a - 5 = 2b - 5\).
От \(a = b\), прилагаме свойство 4 (умножение с 2) \(\rightarrow 2a = 2b\).
След това прилагаме свойство 3 (изваждане на 5) \(\rightarrow 2a - 5 = 2b - 5\).
След това прилагаме свойство 3 (изваждане на 5) \(\rightarrow 2a - 5 = 2b - 5\).
Равенство, което съдържа неизвестно число (означено с буква, напр. \(x\)), се нарича уравнение. Стойността на неизвестното, която превръща уравнението във вярно числово равенство, се нарича корен (решение).
Уравнение от вида \(ax + b = 0\) (където \(a \neq 0\)) се решава в две стъпки:
Прехвърляме свободния член \(b\) вдясно със сменен знак: \(ax = -b\).
Делим двете страни на коефициента \(a\) пред \(x\): \(x = -\frac{b}{a}\).
Да решим уравнението \(3x - 12 = 0\):
1. Прехвърляме -12: \(3x = 12\)
2. Делим на 3: \(x = \frac{12}{3} \rightarrow x = 4\)
Проверка: \(3 \cdot 4 - 12 = 12 - 12 = 0\). Равенството е вярно.
1. Прехвърляме -12: \(3x = 12\)
2. Делим на 3: \(x = \frac{12}{3} \rightarrow x = 4\)
Проверка: \(3 \cdot 4 - 12 = 12 - 12 = 0\). Равенството е вярно.
Решете уравнението \(5x + 20 = 0\).
\(5x = -20\)
\(x = \frac{-20}{5}\)
\(x = -4\)
\(x = \frac{-20}{5}\)
\(x = -4\)
Това са преобразувания, които променят вида на уравнението, но не и неговите корени. Те се основават на свойствата на равенствата.
1. Опростяване: Можем да заместим израз с равен на него.
Пример: \(7x - 2x\) се заменя с \(5x\).
2. Прехвърляне: Можем да прехвърлим член от едната страна на уравнението в другата, като сменим знака му.
Пример: Уравнението \(5x = 2x + 9\) е еквивалентно на \(5x - 2x = 9\).
3. Умножение/деление: Можем да умножим или разделим двете страни на уравнението с едно и също число, различно от нула.
Пример: Уравнението \(-3x = 18\) е еквивалентно на \(x = -6\) (разделили сме на -3).
Пример: \(7x - 2x\) се заменя с \(5x\).
2. Прехвърляне: Можем да прехвърлим член от едната страна на уравнението в другата, като сменим знака му.
Пример: Уравнението \(5x = 2x + 9\) е еквивалентно на \(5x - 2x = 9\).
3. Умножение/деление: Можем да умножим или разделим двете страни на уравнението с едно и също число, различно от нула.
Пример: Уравнението \(-3x = 18\) е еквивалентно на \(x = -6\) (разделили сме на -3).
Решаване на \(9x - 5 = 4x + 10\):
1. Прехвърляме \(4x\) вляво и \(-5\) вдясно: \(9x - 4x = 10 + 5\)
2. Опростяваме: \(5x = 15\)
3. Делим на 5: \(x = 3\)
1. Прехвърляме \(4x\) вляво и \(-5\) вдясно: \(9x - 4x = 10 + 5\)
2. Опростяваме: \(5x = 15\)
3. Делим на 5: \(x = 3\)
Решете уравнението \(7x + 3 = 2x - 12\).
\(7x - 2x = -12 - 3\)
\(5x = -15\)
\(x = -3\)
\(5x = -15\)
\(x = -3\)
Когато уравнение съдържа скоби, първо ги разкриваме, като използваме дистрибутивното свойство на умножението.
\[ a(b+c) = ab + ac \]
\[ a(b-c) = ab - ac \]
Внимание: Ако има знак минус пред скобата, сменяме знаците на всички членове в нея. \( -(b+c) = -b-c \).
Да решим уравнението \(5(x - 2) = 3x + 4\).
1. Разкриваме скобата: \(5 \cdot x - 5 \cdot 2 = 3x + 4 \rightarrow 5x - 10 = 3x + 4\)
2. Прехвърляме: \(5x - 3x = 4 + 10\)
3. Опростяваме: \(2x = 14\)
4. Делим: \(x = 7\)
1. Разкриваме скобата: \(5 \cdot x - 5 \cdot 2 = 3x + 4 \rightarrow 5x - 10 = 3x + 4\)
2. Прехвърляме: \(5x - 3x = 4 + 10\)
3. Опростяваме: \(2x = 14\)
4. Делим: \(x = 7\)
Решете уравнението \(4(x + 3) - 2 = 6(x - 1)\).
\(4x + 12 - 2 = 6x - 6\)
\(4x + 10 = 6x - 6\)
\(10 + 6 = 6x - 4x\)
\(16 = 2x\)
\(x = 8\)
\(4x + 10 = 6x - 6\)
\(10 + 6 = 6x - 4x\)
\(16 = 2x\)
\(x = 8\)
За да се освободим от знаменателите в едно уравнение, умножаваме двете му страни с най-малкото общо кратно (НОК) на всички знаменатели.
Алгоритъм:
Намираме НОК на всички знаменатели в уравнението.
Умножаваме всеки член на уравнението с НОК.
Съкращаваме знаменателите и решаваме полученото уравнение без дроби.
Да решим уравнението \(\frac{x}{3} + \frac{x}{2} = 10\).
1. НОК(3, 2) = 6.
2. Умножаваме двете страни с 6: \(6 \cdot \frac{x}{3} + 6 \cdot \frac{x}{2} = 6 \cdot 10\)
3. Съкращаваме и решаваме: \(2x + 3x = 60 \rightarrow 5x = 60 \rightarrow x = 12\).
1. НОК(3, 2) = 6.
2. Умножаваме двете страни с 6: \(6 \cdot \frac{x}{3} + 6 \cdot \frac{x}{2} = 6 \cdot 10\)
3. Съкращаваме и решаваме: \(2x + 3x = 60 \rightarrow 5x = 60 \rightarrow x = 12\).
Решете уравнението \(\frac{x+1}{4} = \frac{x-1}{6}\).
НОК(4, 6) = 12.
\(12 \cdot \frac{x+1}{4} = 12 \cdot \frac{x-1}{6}\)
\(3(x+1) = 2(x-1)\)
\(3x + 3 = 2x - 2\)
\(3x - 2x = -2 - 3\)
\(x = -5\)
\(12 \cdot \frac{x+1}{4} = 12 \cdot \frac{x-1}{6}\)
\(3(x+1) = 2(x-1)\)
\(3x + 3 = 2x - 2\)
\(3x - 2x = -2 - 3\)
\(x = -5\)
Решаването на текстова задача с уравнение означава да се "преведе" условието от говорим на математически език. Този процес се нарича съставяне на математически модел.
Стъпки за решаване:
Избираме неизвестно (\(x\)) – обикновено това е търсената в задачата величина.
Изразяваме останалите величини от условието чрез \(x\).
Намираме връзка (равенство) между изразите и съставяме уравнение.
Решаваме уравнението.
Анализираме получения корен (дали е логичен за задачата) и записваме отговора с думи.
Задача: Сборът на три последователни четни числа е 42. Намерете числата.
1. Нека първото четно число е \(x\).
2. Следващите две четни числа са \(x+2\) и \(x+4\).
3. Уравнението е: \(x + (x+2) + (x+4) = 42\).
4. Решение: \(3x + 6 = 42 \rightarrow 3x = 36 \rightarrow x = 12\).
5. Числата са 12, 14 и 16. Сборът им е 42.
1. Нека първото четно число е \(x\).
2. Следващите две четни числа са \(x+2\) и \(x+4\).
3. Уравнението е: \(x + (x+2) + (x+4) = 42\).
4. Решение: \(3x + 6 = 42 \rightarrow 3x = 36 \rightarrow x = 12\).
5. Числата са 12, 14 и 16. Сборът им е 42.
Майка е на 39 години, а синът ѝ е на 13. След колко години майката ще бъде 2 пъти по-възрастна от сина си?
Нека това се случи след \(x\) години.
Тогава майката ще е на \(39+x\), а синът на \(13+x\).
Уравнението е: \(39+x = 2(13+x)\).
\(39+x = 26 + 2x \rightarrow 39 - 26 = 2x - x \rightarrow x = 13\).
Отговор: След 13 години.
Тогава майката ще е на \(39+x\), а синът на \(13+x\).
Уравнението е: \(39+x = 2(13+x)\).
\(39+x = 26 + 2x \rightarrow 39 - 26 = 2x - x \rightarrow x = 13\).
Отговор: След 13 години.
При тези задачи цялата работа се приема за 1 (една единица). Ключово е да се определи каква част от работата се извършва за единица време (час, ден и др.).
\[ \text{Производителност} = \frac{\text{Работа}}{\text{Време}} \]
Ако цялата работа е 1, то производителността за 1 час е \(\frac{1}{t}\), където \(t\) е времето за свършване на цялата работа.
Задача: Един работник свършва дадена работа за 3 дни, а друг – за 6 дни. За колко дни ще свършат работата, ако работят заедно?
1. Нека работят заедно за \(x\) дни.
2. За 1 ден първият върши \(\frac{1}{3}\) от работата, а вторият \(\frac{1}{6}\). Заедно за 1 ден вършат \(\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\).
3. Уравнението е: \((\frac{1}{3} + \frac{1}{6}) \cdot x = 1\).
4. Решение: \((\frac{2}{6} + \frac{1}{6}) \cdot x = 1 \rightarrow \frac{3}{6}x = 1 \rightarrow \frac{1}{2}x = 1 \rightarrow x = 2\).
Отговор: За 2 дни.
1. Нека работят заедно за \(x\) дни.
2. За 1 ден първият върши \(\frac{1}{3}\) от работата, а вторият \(\frac{1}{6}\). Заедно за 1 ден вършат \(\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\).
3. Уравнението е: \((\frac{1}{3} + \frac{1}{6}) \cdot x = 1\).
4. Решение: \((\frac{2}{6} + \frac{1}{6}) \cdot x = 1 \rightarrow \frac{3}{6}x = 1 \rightarrow \frac{1}{2}x = 1 \rightarrow x = 2\).
Отговор: За 2 дни.
Една тръба пълни басейн за 4 часа, а друга го пълни за 12 часа. За колко часа ще се напълни басейнът, ако двете тръби работят едновременно?
Нека времето е \(x\) часа.
Уравнението е: \((\frac{1}{4} + \frac{1}{12}) \cdot x = 1\).
\((\frac{3}{12} + \frac{1}{12}) \cdot x = 1 \rightarrow \frac{4}{12}x = 1 \rightarrow \frac{1}{3}x = 1 \rightarrow x=3\).
Отговор: За 3 часа.
Уравнението е: \((\frac{1}{4} + \frac{1}{12}) \cdot x = 1\).
\((\frac{3}{12} + \frac{1}{12}) \cdot x = 1 \rightarrow \frac{4}{12}x = 1 \rightarrow \frac{1}{3}x = 1 \rightarrow x=3\).
Отговор: За 3 часа.
Тези задачи се решават чрез зависимостта между път (\(S\)), скорост (\(v\)) и време (\(t\)). За улеснение често се използва таблица.
\[ S = v \cdot t \qquad v = \frac{S}{t} \qquad t = \frac{S}{v} \]
При движение по река:
- Скоростта по течението е \(v_{лодка} + v_{течение}\).
- Скоростта срещу течението е \(v_{лодка} - v_{течение}\).
- Скоростта по течението е \(v_{лодка} + v_{течение}\).
- Скоростта срещу течението е \(v_{лодка} - v_{течение}\).
Задача: Разстоянието между градовете А и В е 280 km. От А тръгва камион със 60 km/h, а по същото време от В тръгва кола с 80 km/h. След колко часа ще се срещнат?
1. Нека се срещнат след \(x\) часа.
2. Пътят на камиона е \(S_1 = 60x\). Пътят на колата е \(S_2 = 80x\).
3. Сборът от пътищата им е равен на цялото разстояние: \(60x + 80x = 280\).
4. Решение: \(140x = 280 \rightarrow x = 2\).
Отговор: Ще се срещнат след 2 часа.
1. Нека се срещнат след \(x\) часа.
2. Пътят на камиона е \(S_1 = 60x\). Пътят на колата е \(S_2 = 80x\).
3. Сборът от пътищата им е равен на цялото разстояние: \(60x + 80x = 280\).
4. Решение: \(140x = 280 \rightarrow x = 2\).
Отговор: Ще се срещнат след 2 часа.
Кораб изминава разстоянието между две пристанища по течението за 4 часа, а срещу течението – за 5 часа. Скоростта на течението е 2 km/h. Намерете скоростта на кораба в спокойна вода.
Нека скоростта на кораба в спокойна вода е \(v\) km/h. Разстоянието \(S\) е едно и също.
По течението: \(S = (v+2) \cdot 4\).
Срещу течението: \(S = (v-2) \cdot 5\).
Приравняваме двете разстояния: \(4(v+2) = 5(v-2)\).
\(4v + 8 = 5v - 10 \rightarrow 18 = v\).
Отговор: 18 km/h.
По течението: \(S = (v+2) \cdot 4\).
Срещу течението: \(S = (v-2) \cdot 5\).
Приравняваме двете разстояния: \(4(v+2) = 5(v-2)\).
\(4v + 8 = 5v - 10 \rightarrow 18 = v\).
Отговор: 18 km/h.
Задачи за упражнение
Лесна: Решете уравнението \(8(x - 3) - 1 = 5(x + 1)\).
\(8x - 24 - 1 = 5x + 5\)
\(8x - 25 = 5x + 5\)
\(8x - 5x = 5 + 25\)
\(3x = 30\)
\(x = 10\)
\(8x - 25 = 5x + 5\)
\(8x - 5x = 5 + 25\)
\(3x = 30\)
\(x = 10\)
Средна: В един склад имало 4 пъти повече книги, отколкото в друг. След като от първия продали 6000 книги, а във втория доставили 3000, в двата склада броят на книгите се изравнил. По колко книги е имало първоначално във всеки склад?
Нека във втория склад е имало \(x\) книги, а в първия \(4x\).
След промените:
Първи склад: \(4x - 6000\)
Втори склад: \(x + 3000\)
Уравнение: \(4x - 6000 = x + 3000\)
\(4x - x = 3000 + 6000\)
\(3x = 9000 \rightarrow x = 3000\).
Отговор: В първия склад е имало \(4 \cdot 3000 = 12000\) книги, а във втория - 3000 книги.
След промените:
Първи склад: \(4x - 6000\)
Втори склад: \(x + 3000\)
Уравнение: \(4x - 6000 = x + 3000\)
\(4x - x = 3000 + 6000\)
\(3x = 9000 \rightarrow x = 3000\).
Отговор: В първия склад е имало \(4 \cdot 3000 = 12000\) книги, а във втория - 3000 книги.
Трудна: Разстоянието между две гари е 334 km. От тях тръгват едновременно един срещу друг два влака и се срещат след 2 часа. Скоростта на единия влак е със 7 km/h по-висока от тази на другия. Намерете скоростите на двата влака.
Нека скоростта на по-бавния влак е \(v\) km/h. Тогава скоростта на по-бързия е \(v+7\) km/h.
За 2 часа първият влак изминава път \(S_1 = 2v\).
За 2 часа вторият влак изминава път \(S_2 = 2(v+7)\).
Сборът от пътищата им е равен на цялото разстояние: \(S_1 + S_2 = 334\).
Уравнение: \(2v + 2(v+7) = 334\).
\(2v + 2v + 14 = 334\)
\(4v = 320\)
\(v = 80\) km/h.
Скоростта на другия влак е \(80 + 7 = 87\) km/h.
Отговор: Скоростите на влаковете са 80 km/h и 87 km/h.
За 2 часа първият влак изминава път \(S_1 = 2v\).
За 2 часа вторият влак изминава път \(S_2 = 2(v+7)\).
Сборът от пътищата им е равен на цялото разстояние: \(S_1 + S_2 = 334\).
Уравнение: \(2v + 2(v+7) = 334\).
\(2v + 2v + 14 = 334\)
\(4v = 320\)
\(v = 80\) km/h.
Скоростта на другия влак е \(80 + 7 = 87\) km/h.
Отговор: Скоростите на влаковете са 80 km/h и 87 km/h.
