Най-важното от урока
Ако две успоредни прави (\(a \parallel b\)) са пресечени от трета права (\(c\)):
- Кръстните ъгли са равни (напр. \(\angle 4 = \angle 5\)).
- Съответните ъгли са равни (напр. \(\angle 1 = \angle 5\)).
- Прилежащите ъгли се допълват до \(180^\circ\) (напр. \(\angle 4 + \angle 6 = 180^\circ\)).
- Ако \(c \perp a\), то \(c \perp b\) (ъгълът е \(90^\circ\)).
Ако две успоредни прави бъдат пресечени с трета, всяка двойка кръстни ъгли са равни.
На чертежа правите \(a \parallel b\). Тогава кръстните ъгли са равни. Например \(\angle 4 = \angle 5\). Също така \(\angle 3 = \angle 6\).
На чертежа \(a \parallel b\). Ако \(\angle 3 = 55^\circ\), колко е \(\angle 6\)?
Отговор: Ъгли \(\angle 3\) и \(\angle 6\) са кръстни. Тъй като \(a \parallel b\), те са равни. Следователно \(\angle 6 = 55^\circ\).
Ако две успоредни прави бъдат пресечени с трета, всяка двойка съответни ъгли са равни.
На чертежа правите \(a \parallel b\). Тогава съответните ъгли са равни. Например \(\angle 1 = \angle 5\). Също така \(\angle 2 = \angle 6\), \(\angle 3 = \angle 7\) и \(\angle 4 = \angle 8\).
На чертежа \(a \parallel b\). Ако \(\angle 2 = 130^\circ\), колко е \(\angle 6\)?
Отговор: Ъгли \(\angle 2\) и \(\angle 6\) са съответни. Тъй като \(a \parallel b\), те са равни. Следователно \(\angle 6 = 130^\circ\).
Ако две успоредни прави бъдат пресечени с трета, сборът на всяка двойка прилежащи ъгли е \(180^\circ\).
На чертежа правите \(a \parallel b\). Тогава сборът на прилежащите ъгли е \(180^\circ\). Например \(\angle 4 + \angle 6 = 180^\circ\). Също така \(\angle 3 + \angle 5 = 180^\circ\).
На чертежа \(a \parallel b\). Ако \(\angle 3 = 70^\circ\), колко е \(\angle 5\)?
Отговор: Ъгли \(\angle 3\) и \(\angle 5\) са прилежащи. Тъй като \(a \parallel b\), сборът им е \(180^\circ\). Следователно \(\angle 5 = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\).
Ако една права е перпендикулярна на една от две успоредни прави, то тя е перпендикулярна и на другата.
Ако \(a \parallel b\) и \(c \perp a\), то следва, че \(c \perp b\).
Дадени са успоредни прави \(m\) и \(n\). Права \(p\) пресича \(m\) под ъгъл \(90^\circ\). Под какъв ъгъл права \(p\) пресича права \(n\)?
Отговор: Правата \(p\) ще пресече \(n\) също под ъгъл \(90^\circ\), т.е. \(p \perp n\).
Разстоянието от точка до права е дължината на отсечката, спусната перпендикулярно от точката към правата. Тази отсечка е най-късото разстояние между точката и правата.
На чертежа разстоянието от точка \(M\) до правата \(a\) е дължината на отсечката \(MM_1\), където \(MM_1 \perp a\). Точка \(M_1\) се нарича пета на перпендикуляра.
От точка А е спуснат перпендикуляр към права \(b\), който я пресича в точка B. Ако дължината на отсечката AB е 8 cm, какво е разстоянието от точка А до права \(b\)?
Отговор: Разстоянието е равно на дължината на перпендикуляра, т.е. 8 cm.
Задачи за упражнение
Лесна: На чертежа \(a \parallel b\). Ако ъгълът, съответен на \(\angle x\), е \(50^\circ\), намерете \(\angle x\).
Тъй като правите са успоредни, съответните ъгли са равни. Следователно \(\angle x = 50^\circ\).
Средна: На чертежа е дадено, че \(a \parallel b\). Намерете големината на ъглите, означени с \(x\), \(y\) и \(z\).
- Ъгълът с мярка 75° и ъгъл \(z\) са кръстни ъгли, образувани от успоредните прави \(a\) и \(b\), пресечени с правата \(c\). Следователно \(z = 75^\circ\).
- Ъгълът с мярка 110° и ъгъл \(y\) са прилежащи ъгли, образувани от успоредните прави \(a\) и \(b\), пресечени с правата \(d\). Следователно \(y = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\).
- Ъглите \(x\), \(y\) и връхният на 75° образуват изправен ъгъл (\(180^\circ\)) при пресичането на правите \(c\) и \(d\). Връхният на 75° също е 75°. Следователно \(x + y + 75^\circ = 180^\circ \Rightarrow x + 70^\circ + 75^\circ = 180^\circ \Rightarrow x = 180^\circ - 145^\circ = 35^\circ\).
Трудна: За правите \(a\), \(b\) и \(c\) на чертежа е дадено, че \(a \parallel b\). Намерете \(x\), ако единият ъгъл е \(2x\), а другият е \(x + 30^\circ\).
Ъглите с мерки \(2x\) и \(x + 30^\circ\) са съответни. Тъй като \(a \parallel b\), те са равни.
Съставяме уравнението: \[ 2x = x + 30^\circ \] \[ 2x - x = 30^\circ \] \[ x = 30^\circ \] Отговор: \(x = 30^\circ\).
Съставяме уравнението: \[ 2x = x + 30^\circ \] \[ 2x - x = 30^\circ \] \[ x = 30^\circ \] Отговор: \(x = 30^\circ\).
