Най-важното от урока
Основна стратегия: Опростете уравнението (разкрийте скоби, освободете се от знаменатели), докато го сведете до един от основните видове.
- \(ax=b\): Изолирайте \(x\). Пример: \(2x=10 \Rightarrow x=5\).
- Произведение = 0: Разложете на множители и приравнете всеки от тях на нула. Пример: \(x(x+2)=0 \Rightarrow x=0\) или \(x=-2\).
- \(|A| = c\) (при \(c > 0\)): Разделете на два случая: \(A=c\) или \(A=-c\). Пример: \(|x-1|=3 \Rightarrow x-1=3\) или \(x-1=-3\).
Това е основен вид уравнение, към което се стремим да сведем по-сложните задачи. Решенията зависят от стойностите на \(a\) и \(b\):
- Ако \(a \ne 0\), уравнението има единствено решение: \(x = \frac{b}{a}\).
- Ако \(a = 0\) и \(b = 0\), получаваме \(0x = 0\). Всяко число е решение.
- Ако \(a = 0\) и \(b \ne 0\), получаваме \(0x = b\). Уравнението няма решение.
Да решим уравнението \(5x - 9 = 2x + 3\).
Прехвърляме членовете със \(x\) вляво, а свободните членове вдясно:
\(5x - 2x = 3 + 9\)
\(3x = 12\)
\(x = \frac{12}{3} = 4\)
Прехвърляме членовете със \(x\) вляво, а свободните членове вдясно:
\(5x - 2x = 3 + 9\)
\(3x = 12\)
\(x = \frac{12}{3} = 4\)
Решете уравнението \(7x + 5 = 19\).
\(7x = 19 - 5\)
\(7x = 14\)
\(x = \frac{14}{7} = 2\)
\(7x = 14\)
\(x = \frac{14}{7} = 2\)
Ако едно произведение е равно на нула, то поне един от множителите е равен на нула.
Ако \((ax + b)(cx + d) = 0\), то решенията се намират от \(ax + b = 0\) или \(cx + d = 0\).
Ако \((ax + b)(cx + d) = 0\), то решенията се намират от \(ax + b = 0\) или \(cx + d = 0\).
Да решим уравнението \(x^2 - 4x = 0\).
Изнасяме общ множител \(x\):
\(x(x - 4) = 0\)
Приравняваме всеки множител на нула:
\(x = 0\) или \(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\).
Решенията са \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 4\).
Изнасяме общ множител \(x\):
\(x(x - 4) = 0\)
Приравняваме всеки множител на нула:
\(x = 0\) или \(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\).
Решенията са \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 4\).
Решете уравнението \((2x + 6)(x - 5) = 0\).
Приравняваме всеки от множителите на нула:
1) \(2x + 6 = 0 \Rightarrow 2x = -6 \Rightarrow x = -3\)
2) \(x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\)
Решенията са \(x_1 = -3\) и \(x_2 = 5\).
1) \(2x + 6 = 0 \Rightarrow 2x = -6 \Rightarrow x = -3\)
2) \(x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\)
Решенията са \(x_1 = -3\) и \(x_2 = 5\).
При решаване на уравнения от вида \(|ax + b| = c\), разглеждаме стойността на \(c\):
- Ако \(c > 0\), уравнението има две решения: \(ax + b = c\) или \(ax + b = -c\).
- Ако \(c = 0\), уравнението има едно решение: \(ax + b = 0\).
- Ако \(c < 0\), уравнението няма реални решения, тъй като абсолютната стойност е винаги неотрицателна.
Понякога се налага първо да опростим израза. Например, тъй като \(x^2 + k > 0\) (където \(k\) е положително число), то \(|x^2+k| = x^2+k\).
Да решим уравнението \(|2x - 3| = 7\).
Тъй като \(7 > 0\), имаме два случая:
1) \(2x - 3 = 7 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5\)
2) \(2x - 3 = -7 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2\)
Решенията са \(x_1 = 5\) и \(x_2 = -2\).
Тъй като \(7 > 0\), имаме два случая:
1) \(2x - 3 = 7 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5\)
2) \(2x - 3 = -7 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2\)
Решенията са \(x_1 = 5\) и \(x_2 = -2\).
Решете уравнението \(|5 - x| - 2 = 4\).
Първо изолираме абсолютната стойност:
\(|5 - x| = 4 + 2 \Rightarrow |5 - x| = 6\).
Сега разглеждаме двата случая:
1) \(5 - x = 6 \Rightarrow -x = 1 \Rightarrow x = -1\)
2) \(5 - x = -6 \Rightarrow -x = -11 \Rightarrow x = 11\)
Решенията са \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 11\).
\(|5 - x| = 4 + 2 \Rightarrow |5 - x| = 6\).
Сега разглеждаме двата случая:
1) \(5 - x = 6 \Rightarrow -x = 1 \Rightarrow x = -1\)
2) \(5 - x = -6 \Rightarrow -x = -11 \Rightarrow x = 11\)
Решенията са \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 11\).
Задачи за упражнение
Лесна: Решете уравнението \(\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 10\).
Привеждаме под общ знаменател 6:
\(\frac{3x}{6} + \frac{2x}{6} = 10\)
\(\frac{5x}{6} = 10\)
\(5x = 60\)
\(x = 12\)
\(\frac{3x}{6} + \frac{2x}{6} = 10\)
\(\frac{5x}{6} = 10\)
\(5x = 60\)
\(x = 12\)
Средна: Решете уравнението \(|2x - 8| = |x - 1|\).
Уравнение от вида \(|A| = |B|\) е еквивалентно на \(A=B\) или \(A=-B\).
Случай 1: \(2x - 8 = x - 1\)
\(2x - x = 8 - 1 \Rightarrow x = 7\)
Случай 2: \(2x - 8 = -(x - 1)\)
\(2x - 8 = -x + 1\)
\(2x + x = 8 + 1 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3\)
Отговор: Решенията са \(x_1 = 7\) и \(x_2 = 3\).
Случай 1: \(2x - 8 = x - 1\)
\(2x - x = 8 - 1 \Rightarrow x = 7\)
Случай 2: \(2x - 8 = -(x - 1)\)
\(2x - 8 = -x + 1\)
\(2x + x = 8 + 1 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3\)
Отговор: Решенията са \(x_1 = 7\) и \(x_2 = 3\).
Трудна: Намерете корените на уравнението \(x^2(x-3) - 9(x-3) = 0\).
Изнасяме общия множител \((x-3)\):
\((x-3)(x^2 - 9) = 0\)
Разлагаме \(x^2 - 9\) по формулата \(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\):
\((x-3)(x-3)(x+3) = 0\)
\((x-3)^2(x+3) = 0\)
Приравняваме всеки множител на нула:
1) \((x-3)^2 = 0 \Rightarrow x-3=0 \Rightarrow x = 3\) (двоен корен)
2) \(x+3 = 0 \Rightarrow x = -3\)
Отговор: Корените са 3 и -3.
\((x-3)(x^2 - 9) = 0\)
Разлагаме \(x^2 - 9\) по формулата \(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\):
\((x-3)(x-3)(x+3) = 0\)
\((x-3)^2(x+3) = 0\)
Приравняваме всеки множител на нула:
1) \((x-3)^2 = 0 \Rightarrow x-3=0 \Rightarrow x = 3\) (двоен корен)
2) \(x+3 = 0 \Rightarrow x = -3\)
Отговор: Корените са 3 и -3.
